Балка на двох опорах з рівномірно розподіленим навантаженням
Обчислює реакції опор, максимальний згинальний момент і прогин у середині проліту балки на двох опорах із рівномірно розподіленим навантаженням. Вкажіть проліт, навантаження, модуль Юнга та момент інерції перерізу.
Реакції опор, згинальний момент і прогин балки
Формула балки на двох опорах з рівномірним навантаженням
Де:
- \(w\) — рівномірно розподілене навантаження на одиницю довжини (Н/м)
- \(L\) — проліт, тобто відстань між двома опорами (м)
- \(E\) — модуль Юнга матеріалу балки (Па)
- \(I\) — момент інерції перерізу відносно осі згину (м⁴)
- \(R\) — реакція кожної опори (Н), \(M_{max}\) — максимальний згинальний момент (Н·м), \(\delta_{max}\) — максимальний прогин (м)
Це класичні аналітичні результати для балки на двох опорах із рівномірно розподіленим по всьому прольоту навантаженням. Повне навантаження \(wL\) ділиться між двома опорами навпіл, згинальний момент сягає максимуму в середині проліту, і там само виникає найбільший прогин — адже і навантаження, і опори розташовані симетрично.
Балка на двох опорах з рівномірним навантаженням — приклад розрахунку
Приклад: стальна балка з прольотом \(L = 4\ \text{м}\) несе рівномірне навантаження \(w = 10\ \text{кН/м}\). Матеріал має \(E = 200\ \text{ГПа}\), а переріз — \(I = 1000\ \text{см}^4 = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{м}^4\).
\[ R = \frac{wL}{2} = \frac{10 \times 4}{2} = 20\ \text{кН} \]
\[ M_{max} = \frac{wL^2}{8} = \frac{10 \times 4^2}{8} = 20\ \text{кН}\cdot\text{м} \]
\[ \delta_{max} = \frac{5wL^4}{384EI} = \frac{5 \times 10{,}000 \times 4^4}{384 \times (200 \times 10^9) \times (1.0 \times 10^{-5})} \approx 0.0167\ \text{м} \]
Результат: реакція кожної опори становить 20 кН, максимальний згинальний момент — 20 кН·м у середині проліту, а максимальний прогин — приблизно 16,7 мм (≈ 0,656 дюйма), теж у середині проліту.
Як користуватися калькулятором
- Введіть відстань між двома опорами в поле Проліт (L) і виберіть метри чи фути в перемикачі одиниць.
- Введіть навантаження на одиницю довжини в поле Розподілене навантаження (w) і виберіть кН/м, Н/м або lbf/ft. Це загальна вага, яку несе балка, поділена на її довжину.
- Введіть модуль Юнга (E) для матеріалу балки — сталь ≈ 200 ГПа, алюміній ≈ 69 ГПа, дерево ≈ 11 ГПа — і виберіть ГПа, МПа або psi.
- Введіть момент інерції перерізу (I) (для стандартних прокатних балок знайдіть значення в сортаменті) і виберіть см⁴, мм⁴ або in⁴.
- Зчитайте результати: реакцію кожної опори, максимальний згинальний момент у середині проліту й максимальний прогин там само. Значення виводяться в системі одиниць, що відповідає вибраній одиниці прольоту, а в дужках — в іншій системі.
Що таке балка на двох опорах з рівномірним навантаженням?
Балка на двох опорах спирається на дві опори — зазвичай шарнірну нерухому на одному кінці й шарнірну рухому на іншому — тому вона вільно обертається на обох кінцях, але не може переміщуватися вертикально. Це найпоширеніша розрахункова схема в будівельному проєктуванні: так фактично працюють лаги перекриттів, прогони покриттів і чимало інших конструктивних елементів. Рівномірно розподілене навантаження — це навантаження, що рівномірно діє по всій довжині, наприклад власна вага балки, плита перекриття, яку вона несе, або сніг на покритті.
Через симетрію навантаження кожна опора сприймає рівно половину від повного навантаження: \(R = wL/2\). Згинальний момент змінюється вздовж проліту за параболою — від нуля на кожній опорі до \(M_{max} = wL^2/8\) у середині проліту. Саме цей момент визначає згинальні напруження в балці: разом із моментом опору перерізу він показує, чи витримає елемент навантаження. Для порівняння: те саме повне навантаження, зосереджене в середині проліту (див. балку на двох опорах із зосередженим навантаженням у центрі), дає удвічі більший момент, тож розподілене навантаження конструктивно значно вигідніше.
Прогин \(\delta_{max} = 5wL^4/(384EI)\) також виникає в середині проліту й відповідає пружній лінії балки. Зверніть увагу на сильний вплив прольоту: прогин зростає пропорційно четвертому ступеню \(L\), тож подвоєння прольоту збільшує прогин у шістнадцять разів. Жорсткість визначається добутком \(EI\): жорсткіший матеріал (більший \(E\)) або вищий переріз (набагато більший \(I\), адже \(I\) зростає приблизно як куб висоти) зменшують прогин. Якщо вас цікавить, як модуль Юнга впливає ще й на динамічну поведінку, скористайтеся калькулятором резонансної частоти пружини з урахуванням модуля Юнга.
Припущення та практичні поради
- Малі прогини, лінійна пружність: формули передбачають, що матеріал не перевищує межі текучості, а прогини малі порівняно з прольотом, тому застосовуються принцип суперпозиції та теорія балок Ейлера — Бернуллі.
- Ідеальні опори: балку вважають шарнірно опертою одним кінцем на нерухому опору, іншим — на рухому, без защемлення. Реальні з’єднання, що стримують поворот, зменшують і момент, і прогин, тож це консервативне припущення щодо прогину.
- Навантаження по всьому прольоту: для навантаження на частині довжини, зосереджених сил чи консолей потрібні інші формули (або суперпозиція). Випадок однієї центральної зосередженої сили розглядає калькулятор балки із зосередженим навантаженням у центрі.
- Власна вага враховується: додайте вагу самої балки до \(w\), якщо навантаження не задано суто як корисне.
- Перевіряйте граничні прогини: багато норм обмежують прогин від тимчасового навантаження значенням \(L/360\) (наприклад, для перекриттів) або \(L/240\). Для нашого прикладу \(L/360 = 4000/360 \approx 11\ \text{мм}\), отже прогин 16,7 мм перевищує типовий ліміт для перекриття і знадобиться жорсткіший переріз.
- Узгоджені одиниці: калькулятор усе перетворює внутрішньо, але якщо рахуєте вручну, тримайте \(w\), \(L\), \(E\) і \(I\) в одній узгодженій системі (Н, м, Па, м⁴), перш ніж конвертувати результат.
Часті запитання
Як розрахувати прогин вручну, без калькулятора?
Спочатку переведіть усе в узгоджені одиниці: навантаження в Н/м, проліт у м, E у Па, I у м⁴. Потім застосуйте \( \delta = 5wL^4/(384EI) \). Найпоширеніша помилка у ручному розрахунку — забути перевести \(I\) зі см⁴ або мм⁴ у м⁴ (1 см⁴ = 10⁻⁸ м⁴, 1 мм⁴ = 10⁻¹² м⁴), а E — з ГПа у Па (помножити на 10⁹). Обчислення в одній узгодженій системі одиниць дає прогин одразу в метрах.
Який прогин вважається допустимим для балки?
Більшість будівельних норм обмежують прогин від тимчасового навантаження значенням \( L/360 \) для перекриттів і тинькованих стель та \( L/240 \) для покриттів або елементів із менш крихкою обробкою. Для лаги перекриття прольотом 6 м \( L/360 \) означає приблизно 16,7 мм. Це загальні орієнтири — фактичні межі залежать від місцевих норм, матеріалів оздоблення та того, чи навантаження короткочасне, чи тривале, тож завжди звіряйтеся з чинним стандартом для вашого проєкту.
Як знайти момент інерції перерізу (I) для моєї балки?
Для стандартних прокатних профілів знайдіть \(I\) у сортаменті виробника й уведіть значення безпосередньо. Для суцільного прямокутного перерізу скористайтеся формулою \( I = bh^3/12 \), де \(b\) — ширина, а \(h\) — висота в напрямку згину. Для круглого перерізу \( I = \pi d^4/64 \). Зауважте, що \(I\) зростає як куб висоти, тож трохи вища балка є набагато жорсткішою за ширшу.
Чи враховується власна вага балки в розподіленому навантаженні?
Так. Якщо навантаження прямо не задане як корисне, додайте власну вагу: помножте погонну масу балки на 9,81 м/с² (або візьміть табличну вагу на одиницю довжини) і додайте її до \(w\). Для важких сталевих чи залізобетонних елементів власна вага може становити значну частку повного навантаження, і нехтування нею занижує і момент, і прогин.
Чи можна користуватися калькулятором з американськими одиницями?
Так — виберіть фути для прольоту й уведіть навантаження в lbf/ft. Модуль Юнга в psi (сталь ≈ 29 000 000 psi) і \(I\) у in⁴ узгоджуються з цими одиницями. Також можна вільно комбінувати перемикачі: калькулятор усе перетворює внутрішньо. Якщо рахуєте вручну в імперських одиницях, формули ті самі, доки сила, довжина та похідні від них залишаються узгодженими (lbf, фути або дюйми всюди).
Як отримати згинальні напруження з максимального моменту?
Максимальне згинальне напруження в середині проліту: \( \sigma = M_{max} \cdot c / I \), де \(c\) — відстань від нейтральної осі до крайнього волокна (половина висоти для симетричного перерізу). Поділивши \(I\) на \(c\), отримаєте момент опору \(S\), тобто \( \sigma = M/S \). Порівняйте результат із допустимим напруженням або межею текучості матеріалу, застосувавши відповідний коефіцієнт запасу — цей калькулятор дає момент, а не перевірку напружень.
Що робити, якщо навантаження охоплює лише частину прольоту або містить зосереджені сили?
Ці аналітичні формули стосуються лише рівномірного навантаження по всьому прольоту між двома шарнірними опорами. Для навантаження на частині довжини, зосереджених сил чи консолей потрібні інші формули або метод суперпозиції (додавання результатів окремих випадків навантаження). Якщо все навантаження діє як одна зосереджена сила в середині проліту, момент подвоюється до \( wL^2/4 \), а прогин зростає до \( 5wL^4/(384EI) \times 8/5 \) — для цього випадку скористайтеся окремим калькулятором зосередженого навантаження в центрі.