Кручення вала

Q: Як перевести кут закручування з радіанів у градуси й назад?

Помножте радіани на 180/π ≈ 57,2958 , щоб отримати градуси, або поділіть градуси на цей коефіцієнт для зворотного переходу. Калькулятор видає обидва значення, а також градуси на метр і на фут. Традиційна межа для трансмісійних валів — приблизно 1° закручування на довжині 20 діаметрів, що для вала діаметром 40 мм становить приблизно 0,75°/м; для прецизійних приводів межі зазвичай значно суворіші.

Оновлено: 15.10.2026

Обчисліть максимальні дотичні напруження та кут закручування суцільного або порожнистого круглого вала. Досить ввести крутний момент, розміри, довжину та модуль зсуву — і перевірка конструкції вала займе кілька секунд.

Перевірка дотичних напружень і кута закручення круглого вала

Навантаження

Прикладений крутний момент (T)

Постійний крутний момент, який передає вал.

Геометрія вала

Тип вала

Зовнішній діаметр (D)

Зовнішній діаметр поперечного перерізу вала.

Довжина вала (L)

Довжина вала між точкою прикладання крутного моменту та защемленим кінцем.

Матеріал

Модуль зсуву (G)

Модуль пружності при зсуві матеріалу вала. Типові значення: сталь ≈ 80 GPa (11,6·10⁶ psi), алюміній ≈ 27 GPa, мідь ≈ 45 GPa.

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Результати розрахунку кручення

Максимальні дотичні напруження (τmax)τmax

Кут закручення (φ)φ

Формула кручення вала

Формула

\[ J = \frac{\pi D^4}{32} \quad (\text{суцільний}) \qquad J = \frac{\pi (D^4 - d^4)}{32} \quad (\text{порожнистий}) \] \[ \tau_{max} = \frac{T \cdot c}{J}, \quad c = \frac{D}{2} \qquad \varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G} \]

Де:

\(T\) — прикладений крутний момент (Н·м)
\(D\) — зовнішній діаметр вала (м)
\(d\) — внутрішній діаметр (діаметр отвору) порожнистого вала (м)
\(c\) — відстань від центра до зовнішньої поверхні (м)
\(J\) — полярний момент інерції поперечного перерізу (м⁴)
\(G\) — модуль зсуву (модуль пружності при зсуві) матеріалу (Па)
\(L\) — довжина вала від місця прикладання крутного моменту до закріпленого кінця (м)
\(\tau_{max}\) — максимальне дотичне напруження на зовнішній поверхні (Па)
\(\varphi\) — кут закручування на довжині \(L\) (рад)

Перші два співвідношення описують кручення круглого вала: дотичне напруження зростає лінійно від нуля в центрі до максимуму на зовнішній поверхні, а вал закручується на кут, який пропорційний моменту та довжині й обернено пропорційний крутильній жорсткості \(JG\).

Кручення вала — приклад розрахунку

Приклад: суцільний сталевий вал діаметром \(D = 40\) мм і завдовжки \(L = 1\) м передає постійний крутний момент \(T = 1000\) Н·м. Модуль зсуву сталі становить \(G = 80\) ГПа.

\[ J = \frac{\pi (0.04)^4}{32} = 2.513 \times 10^{-7}\ \text{м}^4 \]

\[ \tau_{max} = \frac{1000 \times 0.02}{2.513 \times 10^{-7}} = 79.6 \times 10^6\ \text{Па} \approx 79.6\ \text{МПа} \]

\[ \varphi = \frac{1000 \times 1}{2.513 \times 10^{-7} \times 80 \times 10^9} = 0.04974\ \text{рад} \approx 2.85^\circ \]

Результат: максимальне дотичне напруження на зовнішній поверхні становить близько 79,6 МПа (≈ 11,5 ksi), а вал закручується приблизно на 2,85° (0,0497 рад) на своїй довжині 1 м — тобто близько 2,85° на метр.

Як користуватися калькулятором кручення вала

Введіть прикладений крутний момент (T) та виберіть його одиницю — Н·м, кН·м, lb·ft або lb·in.
Виберіть тип вала: суцільний круглий вал або порожнистий круглий вал (труба). Для порожнистого вала також введіть внутрішній діаметр (d) — він має бути меншим за зовнішній.
Вкажіть зовнішній діаметр (D) і довжину вала (L) з їхніми одиницями (мм, см, м, in або ft).
Введіть модуль зсуву (G) матеріалу — для сталі ≈ 80 ГПа, для алюмінію ≈ 27 ГПа, для міді ≈ 45 ГПа — і виберіть одиницю (ГПа, МПа, psi або ksi).
Зчитайте результати: максимальне дотичне напруження (τmax) у МПа, ksi та psi і кут закручування (φ) у градусах, радіанах, а також у градусах на метр і градусах на фут.

Що таке кручення вала?

Коли до вала вздовж його осі прикладено крутний момент — як це відбувається в будь-якому трансмісійному валу, карданній передачі, бурильній колоні або гребному валу — матеріал скручується. Кожен поперечний переріз повертається відносно сусіднього, і цьому повороту протидіють дотичні напруження, розподілені по перерізу. Для круглих валів (суцільних або з концентричним отвором) розрахунок точний і простий: дотичне напруження змінюється лінійно від нуля в центрі до максимуму на зовнішній поверхні — саме тому вали й труби руйнуються або починають текти насамперед із зовнішньої поверхні.

У перевірці на кручення важливі дві величини. Перша — максимальне дотичне напруження \(\tau_{max} = Tc/J\): воно не має перевищувати допустиме дотичне напруження матеріалу. Для пластичних сталей межа текучості при зсуві приблизно становить 0,5–0,6 від межі текучості при розтягу, після чого застосовують відповідний коефіцієнт запасу. Друга — кут закручування \(\varphi = TL/JG\): навіть достатньо міцний вал може закручуватися занадто сильно, що спричиняє перекіс, вібрації, «закрутку» в системах керування або похибку позиціонування в прецизійних приводах.

Геометричний параметр \(J\) — полярний момент інерції — зростає пропорційно четвертому степеню діаметра. Подвоєння діаметра суцільного вала зменшує напруження й закручування в 16 разів. Саме тому порожнисті вали такі ефективні: вилучення слабо навантаженого матеріалу біля центра майже не зменшує жорсткість, але суттєво економить вагу — тому карданні вали, валки та багато авіаційних деталей виконують у вигляді труб.

Під час інтерпретації результату порівняйте \(\tau_{max}\) з допустимим дотичним напруженням матеріалу, а \(\varphi\) — із вашим обмеженням на кут закручування. За традиційним практичним правилом для машинних валів допускається приблизно 1° закручування на довжині 20 діаметрів; для прецизійних і довгих трансмісійних ліній межі зазвичай значно суворіші.

Припущення, обмеження та практичні поради

Лише круглі перерізи. Формули точні для суцільних або порожнистих круглих валів із концентричним отвором. Некруглі перерізи (прямокутні бруси, шпонкові пази, шліцьові з’єднання) закручуються зовсім інакше і потребують окремих методів розрахунку.
Однорідний вал, постійний момент. Розрахунок припускає сталий поперечний переріз, один матеріал і момент, який не змінюється по довжині. Для ступінчастих валів або кількох моментів обчисліть кожну ділянку окремо й складіть кути закручування.
Лінійно-пружна поведінка. Напруження мають залишатися нижче межі пружності; результат не прогнозує текучість або пластичне руйнування.
Шпонкові пази, отвори й буртики концентрують напруження. У реальному валі зі шпонковим пазом або буртиком локальні напруження можуть у 1,5–3 рази перевищувати номінальні, тому у відповідальних конструкціях враховуйте коефіцієнти концентрації напружень.
Перевіряйте обидва критерії. Короткий і потовщений вал зазвичай обмежується напруженнями, а довгий і тонкий — закручуванням. Також пам’ятайте, що довгий вал може втратити стійкість через поздовжній вигин або критичні оберти — споріднену перевірку виконає наш калькулятор критичної сили Ейлера.
Для валів, які водночас несуть і згинальне навантаження (зубчасті колеса, паси, шківи), додайте згинальні напруження з розрахунку балки — дивіться калькулятори балки на двох опорах із сосередоточеним навантаженням у центрі та балки з рівномірно розподіленим навантаженням.

Часті запитання

Як перевести кут закручування з радіанів у градуси й назад?

Помножте радіани на \( 180/\pi \approx 57{,}2958 \), щоб отримати градуси, або поділіть градуси на цей коефіцієнт для зворотного переходу. Калькулятор видає обидва значення, а також градуси на метр і на фут. Традиційна межа для трансмісійних валів — приблизно 1° закручування на довжині 20 діаметрів, що для вала діаметром 40 мм становить приблизно 0,75°/м; для прецизійних приводів межі зазвичай значно суворіші.