Einfeldträger mit Gleichstreckenlast
Berechnet die Auflagerkräfte, das maximale Biegemoment und die Durchbiegung in Feldmitte eines Einfeldträgers unter gleichmäßig verteilter Last. Geben Sie Stützweite, Last, Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment ein.
Auflagerreaktionen, Biegemoment und Durchbiegung
Formel für den Einfeldträger mit Gleichstreckenlast
Dabei bedeuten:
- \(w\) — Streckenlast, also Last pro Längeneinheit (N/m)
- \(L\) — Stützweite, der Abstand zwischen den beiden Auflagern (m)
- \(E\) — Elastizitätsmodul des Trägermaterials (Pa)
- \(I\) — Flächenträgheitsmoment des Querschnitts bezogen auf die Biegeachse (m⁴)
- \(R\) — Auflagerkraft an jedem Auflager (N), \(M_{max}\) — maximales Biegemoment (N·m), \(\delta_{max}\) — maximale Durchbiegung (m)
Dies sind die klassischen geschlossenen Lösungen für einen Einfeldträger mit einer über die gesamte Stützweite verteilten Gleichstreckenlast. Die Gesamtlast \(wL\) verteilt sich gleichmäßig auf beide Auflager, das Biegemoment erreicht seinen Höchstwert in Feldmitte, und auch die maximale Durchbiegung tritt dort auf, weil Last und Lagerung symmetrisch sind.
Einfeldträger mit Gleichstreckenlast – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Stahlträger mit einer Stützweite von \(L = 4\ \text{m}\) trägt eine Gleichstreckenlast von \(w = 10\ \text{kN/m}\). Das Material hat \(E = 200\ \text{GPa}\), und der Querschnitt besitzt \(I = 1000\ \text{cm}^4 = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}^4\).
\[ R = \frac{wL}{2} = \frac{10 \times 4}{2} = 20\ \text{kN} \]
\[ M_{max} = \frac{wL^2}{8} = \frac{10 \times 4^2}{8} = 20\ \text{kN}\cdot\text{m} \]
\[ \delta_{max} = \frac{5wL^4}{384EI} = \frac{5 \times 10{,}000 \times 4^4}{384 \times (200 \times 10^9) \times (1.0 \times 10^{-5})} \approx 0.0167\ \text{m} \]
Ergebnis: Jede Auflagerkraft beträgt 20 kN, das maximale Biegemoment liegt bei 20 kN·m in Feldmitte, und die maximale Durchbiegung beträgt rund 16,7 mm (≈ 0,656 in), ebenfalls in Feldmitte.
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie den Abstand zwischen den beiden Auflagern im Feld Stützweite (L) ein und wählen Sie im Einheitenmenü Meter oder Fuß.
- Geben Sie die Last pro Längeneinheit im Feld Streckenlast (w) ein und wählen Sie kN/m, N/m oder lbf/ft. Gemeint ist das Gesamtgewicht, das der Träger aufnimmt, geteilt durch seine Länge.
- Geben Sie den Elastizitätsmodul (E) des Trägermaterials ein — Stahl ≈ 200 GPa, Aluminium ≈ 69 GPa, Holz ≈ 11 GPa — und wählen Sie GPa, MPa oder psi.
- Geben Sie das Flächenträgheitsmoment (I) des Querschnitts ein (für Walzträger finden Sie den Wert in Profiltafeln) und wählen Sie cm⁴, mm⁴ oder in⁴.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Auflagerkraft an jedem Auflager, das maximale Biegemoment in Feldmitte und die maximale Durchbiegung in Feldmitte. Die Ergebnisse erscheinen im Einheitensystem, das sich aus Ihrer Stützweiteneinheit ergibt; das andere System steht in Klammern dahinter.
Was ist ein Einfeldträger mit Gleichstreckenlast?
Ein Einfeldträger liegt auf zwei Auflagern auf — in der Regel ein Festlager an einem Ende und ein Loslager am anderen —, sodass er sich an beiden Enden frei verdrehen, aber nicht vertikal verschieben kann. Dies ist die häufigste Idealisierung im Bauwesen: Deckenbalken, Dachpfetten und viele Bauteile verhalten sich im Wesentlichen so. Eine Gleichstreckenlast ist eine Last, die sich gleichmäßig über die gesamte Länge verteilt, etwa das Eigengewicht des Trägers, eine von ihm getragene Deckenplatte oder Schnee auf einem Dach.
Weil die Last symmetrisch ist, trägt jedes Auflager genau die Hälfte der Gesamtlast: \(R = wL/2\). Das Biegemoment verläuft parabolisch entlang der Stützweite: Es beginnt an jedem Auflager bei null und erreicht in Feldmitte \(M_{max} = wL^2/8\). Dieses Feldmoment bestimmt die Biegespannung im Träger — zusammen mit dem Widerstandsmoment zeigt es, ob das Bauteil ausreichend tragfähig ist. Zum Vergleich: Dieselbe Gesamtlast, konzentriert in Feldmitte (siehe den Einfeldträger mit Einzellast in Feldmitte), erzeugt das doppelte Moment. Eine verteilte Last ist also statisch deutlich günstiger.
Die Durchbiegung \(\delta_{max} = 5wL^4/(384EI)\) tritt ebenfalls in Feldmitte auf und folgt der elastischen Linie des Trägers. Beachten Sie den starken Einfluss der Stützweite: Die Durchbiegung wächst mit der vierten Potenz von \(L\) — verdoppelt man die Stützweite, vergrößert sich die Durchbiegung auf das Sechzehnfache. Die Steifigkeit hängt vom Produkt \(EI\) ab: Ein steiferes Material (höheres \(E\)) oder ein höherer Querschnitt (deutlich höheres \(I\), da \(I\) näherungsweise mit der dritten Potenz der Höhe wächst) verringern die Durchbiegung. Wenn Sie wissen möchten, wie der Elastizitätsmodul auch das Schwingungsverhalten bestimmt, sehen Sie sich den Rechner für Federeigenfrequenz und Elastizitätsmodul an.
Annahmen und praktische Hinweise
- Kleine Durchbiegungen, linear-elastisches Verhalten: Die Formeln setzen voraus, dass das Material unterhalb seiner Streckgrenze bleibt und die Durchbiegungen im Verhältnis zur Stützweite klein sind, sodass Superposition und die Euler-Bernoulli-Balkentheorie gelten.
- Ideale Auflager: Der Träger wird an einem Ende fest und am anderen Ende los gelagert betrachtet, ohne Einspannwirkung. Reale Anschlüsse, die die Verdrehung behindern, verringern sowohl Moment als auch Durchbiegung — die Idealisierung liegt also auf der sicheren Seite für die Durchbiegung.
- Last über die gesamte Stützweite: Teilbelastungen, Einzellasten oder Kragarme erfordern andere Formeln (oder Superposition). Eine alleinige Einzellast in Feldmitte behandelt der Rechner für Einfeldträger mit Einzellast in Feldmitte.
- Eigengewicht mitrechnen: Nehmen Sie das Eigengewicht des Trägers in \(w\) auf, sofern die Last nicht ausdrücklich nur als Nutzlast angegeben ist.
- Durchbiegungsgrenzen prüfen: Viele Normen begrenzen die Durchbiegung unter Verkehrslast auf \(L/360\) (z. B. bei Decken) oder \(L/240\). Im Rechenbeispiel ergibt \(L/360 = 4000/360 \approx 11\ \text{mm}\); eine Durchbiegung von 16,7 mm würde eine typische Deckengrenze also überschreiten, und ein steiferer Querschnitt wäre nötig.
- Konsistente Einheiten: Der Rechner rechnet intern alles um. Wenn Sie die Formeln von Hand anwenden, halten Sie \(w\), \(L\), \(E\) und \(I\) durchgängig in einem zusammenhängenden Einheitensystem (N, m, Pa, m⁴), bevor Sie das Ergebnis umrechnen.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Durchbiegung von Hand, ohne den Rechner?
Bringen Sie zunächst alles auf konsistente Einheiten: Last in N/m, Stützweite in m, E in Pa, I in m⁴. Wenden Sie dann \( \delta = 5wL^4/(384EI) \) an. Der häufigste Fehler bei der Handrechnung ist, \(I\) nicht von cm⁴ oder mm⁴ nach m⁴ umzurechnen (1 cm⁴ = 10⁻⁸ m⁴, 1 mm⁴ = 10⁻¹² m⁴) und E nicht von GPa nach Pa (mal 10⁹). In einem durchgängigen Einheitensystem ergibt die Rechnung die Durchbiegung direkt in Metern.
Welche Durchbiegung ist für einen Träger noch zulässig?
Die meisten Baunormen begrenzen die Durchbiegung unter Verkehrslast auf \( L/360 \) bei Decken und verputzten Unterdecken sowie auf \( L/240 \) bei Dächern oder Bauteilen mit weniger spröden Oberflächen. Für einen 6 m langen Deckenbalken bedeutet \( L/360 \) etwa 16,7 mm. Dies sind allgemeine Richtwerte — die tatsächlichen Grenzen hängen von Ihrer örtlichen Norm, den Ausbaumaterialien und davon ab, ob die Last kurz- oder langfristig wirkt. Prüfen Sie daher immer die für Ihr Projekt maßgebliche Norm.
Wie finde ich das Flächenträgheitsmoment (I) für meinen Träger?
Bei genormten Walzprofilen können Sie \(I\) direkt einer Profiltafel des Herstellers entnehmen und eingeben. Für einen massiven Rechteckquerschnitt gilt \( I = bh^3/12 \), wobei \(b\) die Breite und \(h\) die Höhe in Biegerichtung ist. Für einen Kreisquerschnitt gilt \( I = \pi d^4/64 \). Beachten Sie, dass \(I\) mit der dritten Potenz der Höhe wächst — ein etwas höherer Träger ist also dramatisch steifer als ein breiterer.
Zählt das Eigengewicht des Trägers zur Gleichstreckenlast?
Ja. Sofern Ihre Last nicht ausdrücklich als Nutzlast angegeben ist, addieren Sie das Eigengewicht: Multiplizieren Sie die Masse des Trägers pro Meter mit 9,81 m/s² (oder nehmen Sie die tabellierte Gewichtskraft pro Längeneinheit) und rechnen Sie sie in \(w\) ein. Bei schweren Stahl- oder Betonbauteilen kann das Eigengewicht einen erheblichen Anteil der Gesamtlast ausmachen; wer es weglässt, unterschätzt sowohl Moment als auch Durchbiegung.
Kann ich diesen Rechner mit US-amerikanischen Einheiten benutzen?
Ja — wählen Sie als Stützweiteneinheit Fuß und geben Sie die Last in lbf/ft ein. Elastizitätsmodul in psi (Stahl ≈ 29.000.000 psi) und \(I\) in in⁴ passen zu diesen Einheiten. Sie können die Einheitenmenüs auch beliebig mischen: Der Rechner rechnet intern alles um. Wer von Hand mit US-Einheiten rechnet, kann dieselben Formeln verwenden, solange Kraft, Länge und die daraus abgeleiteten Größen konsistent bleiben (durchgängig lbf, ft oder Zoll).
Wie erhalte ich aus dem maximalen Moment die Biegespannung?
Die maximale Biegespannung in Feldmitte beträgt \( \sigma = M_{max} \cdot c / I \), wobei \(c\) der Abstand von der neutralen Faser zum Rand ist (bei symmetrischen Querschnitten die halbe Höhe). Dividiert man \(I\) durch \(c\), erhält man das Widerstandsmoment \(S\), also \( \sigma = M/S \). Vergleichen Sie das Ergebnis mit der zulässigen Spannung oder der Streckgrenze des Materials und setzen Sie den entsprechenden Sicherheitsfaktor an — dieser Rechner liefert das Moment, nicht den Spannungsnachweis.
Was gilt, wenn meine Last nur einen Teil der Stützweite erfasst oder Einzellasten enthält?
Diese geschlossenen Formeln gelten nur für eine Gleichstreckenlast über die volle Stützweite zwischen zwei gelenkigen Auflagern. Bei Teilbelastungen, Einzellasten oder Kragarmen brauchen Sie andere Formeln oder das Superpositionsverfahren (Addition der Ergebnisse einzelner Lastfälle). Wirkt die Gesamtlast als einzige Einzellast in Feldmitte, verdoppelt sich das Moment auf \( wL^2/4 \) und die Durchbiegung steigt auf \( 5wL^4/(384EI) \times 8/5 \) — für diesen Fall verwenden Sie den Rechner für Einfeldträger mit Einzellast in Feldmitte.