Eşit Dağıtımlı Yüklü Basit Mesnetli Kiriş
Eşit dağıtımlı yük taşıyan basit mesnetli bir kirişin mesnet tepkilerini, maksimum eğilme momentini ve açıklık ortasındaki sehimi hesaplar. Açıklığı, yükü, Young modülünü ve atalet momentini girin.
Kiriş tepkileri, eğilme momenti ve sehim
Eşit dağıtımlı yüklü basit mesnetli kiriş formülü
Buradaki:
- \(w\) — birim uzunluk başına yayılı yük (N/m)
- \(L\) — açıklık, iki mesnet arasındaki uzaklık (m)
- \(E\) — kiriş malzemesinin Young modülü (Pa)
- \(I\) — kesitin eğilme eksenine göre atalet momenti (m⁴)
- \(R\) — her mesnetteki tepki (N), \(M_{max}\) — maksimum eğilme momenti (N·m), \(\delta_{max}\) — maksimum sehim (m)
Bunlar, tüm açıklık boyunca eşit dağıtımlı yük taşıyan basit mesnetli kirişin klasik kapalı form çözümleridir. Toplam \(wL\) yükü iki mesnet arasında eşit paylaşılır; eğilme momenti açıklık ortasında en büyük değere ulaşır ve hem yükleme hem de mesnetler simetrik olduğundan maksimum sehim de açıklık ortasında oluşur.
Eşit dağıtımlı yüklü basit mesnetli kiriş – örnek hesap
Örnek: açıklığı \(L = 4\ \text{m}\) olan bir çelik kiriş, \(w = 10\ \text{kN/m}\) büyüklüğünde eşit dağıtımlı bir yük taşıyor. Malzemenin elastisite modülü \(E = 200\ \text{GPa}\), kesitin atalet momenti ise \(I = 1000\ \text{cm}^4 = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}^4\).
\[ R = \frac{wL}{2} = \frac{10 \times 4}{2} = 20\ \text{kN} \]
\[ M_{max} = \frac{wL^2}{8} = \frac{10 \times 4^2}{8} = 20\ \text{kN}\cdot\text{m} \]
\[ \delta_{max} = \frac{5wL^4}{384EI} = \frac{5 \times 10{,}000 \times 4^4}{384 \times (200 \times 10^9) \times (1.0 \times 10^{-5})} \approx 0.0167\ \text{m} \]
Sonuç: her mesnet tepkisi 20 kN, maksimum eğilme momenti açıklık ortasında 20 kN·m ve maksimum sehim açıklık ortasında yaklaşık 16,7 mm'dir (≈ 0,656 inç).
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
- Açıklık (L) alanına iki mesnet arasındaki açıklığı girin ve birim seçiciden metre veya feet seçin.
- Yayılı yük (w) alanına birim uzunluk başına düşen yükü girip kN/m, N/m veya lbf/ft birimini seçin. Bu değer, kirişin taşıdığı toplam ağırlığın uzunluğa bölümüdür.
- Kiriş malzemesi için Young modülünü (E) girin — çelik için ≈ 200 GPa, alüminyum için ≈ 69 GPa, ahşap için ≈ 11 GPa — ve GPa, MPa veya psi birimini seçin.
- Kesit için atalet momentini (I) girin (standart kirişler için bir profil tablosuna bakın) ve cm⁴, mm⁴ veya in⁴ seçin.
- Sonuçları okuyun: her mesnetteki tepki, açıklık ortasındaki maksimum eğilme momenti ve açıklık ortasındaki maksimum sehim. Çıktılar, açıklık biriminizin belirttiği birim sisteminde gösterilir; diğer sistem parantez içinde verilir.
Eşit dağıtımlı yüklü basit mesnetli kiriş nedir?
Basit mesnetli kiriş, iki mesnet üzerinde durur — genellikle bir uçta mafsal (sabit mesnet), diğer uçta rulolu (hareketli) mesnet bulunur — böylece her iki uçta serbestçe dönebilir ama dikey yönde yer değiştiremez. Bu, yapı tasarımında en yaygın kullanılan idealizasyondur: döşeme kirişleri, çatı aşıkları ve birçok yapısal eleman fiilen bu şekilde davranır. Eşit dağıtımlı yük (EDY) ise tüm uzunluk boyunca eşit yayılmış bir yüktür; kirişin öz ağırlığı, taşıdığı döşeme plağı ya da çatıdaki kar buna örnek verilebilir.
Yükleme simetrik olduğundan her mesnet toplam yükün tam olarak yarısını taşır: \(R = wL/2\). Eğilme momenti açıklık boyunca parabolik değişir; mesnetlerde sıfırdan başlar ve açıklık ortasında \(M_{max} = wL^2/8\) değerine ulaşır. Bu açıklık ortası momenti, kirişteki eğilme gerilmesini yöneten büyüklüktür — kesit modülüyle birlikte ele alındığında elemanın yeterince güçlü olup olmadığını söyler. Karşılaştırma için, aynı toplam yük açıklık ortasına tekil yük olarak uygulanırsa (bkz. ortadan tekil yük alan basit mesnetli kiriş) moment iki katına çıkar; dolayısıyla yükü dağıtmak yapısal açıdan çok daha verimlidir.
Sehim \(\delta_{max} = 5wL^4/(384EI)\) de açıklık ortasında oluşur ve kirişin elastik eğrisini izler. Açıklığın güçlü etkisine dikkat edin: sehim \(L\)'nin dördüncü kuvvetiyle artar; yani açıklık iki katına çıkarsa sehim on altı katına çıkar. Rijitlik \(EI\) çarpımına bağlıdır: daha rijit bir malzeme (yüksek \(E\)) ya da daha derin bir kesit (\(I\), derinlikle kabaca küp olarak arttığından çok daha büyük \(I\)) sehimi azaltır. Young modülünün dinamik davranışı da nasıl belirlediğini merak ediyorsanız Young modülü yay rezonans frekansı hesaplayıcısına bakın.
Varsayımlar ve pratik ipuçları
- Küçük sehimler, doğrusal elastisite: formüller malzemenin akma sınırının altında kaldığını ve sehimlerin açıklığa göre küçük olduğunu varsayar; böylece süperpozisyon ve Euler–Bernoulli kiriş teorisi geçerlidir.
- İdeal mesnetler: kiriş bir uçta mafsal, diğer uçta rulolu mesnetle, hiçbir ankastrelik olmaksızın ele alınır. Dönmeyi kısıtlayan gerçek bağlantılar hem momenti hem sehimi azaltır; bu nedenle bu yaklaşım sehim açısından güvenli tarafta kalan bir idealizasyondur.
- Yük tüm açıklığı kaplar: açıklığın yalnızca bir bölümüne etkiyen yükler, tekil yükler veya konsollar farklı (ya da süperpoze edilmiş) formüller gerektirir. Yalnızca ortadaki tekil yük durumunu merkez tekil yük hesaplayıcısı çözer.
- Öz ağırlık dahildir: yük açıkça yalnızca faydalı (ek) yük olarak belirtilmemişse kirişin kendi ağırlığını \(w\)'ya ekleyin.
- Sehim sınırlarını kontrol edin: birçok yönetmelik hareketli yük sehimini \(L/360\) (örn. döşemeler) veya \(L/240\) ile sınırlar. Örnek hesapta \(L/360 = 4000/360 \approx 11\ \text{mm}\) olduğundan, 16,7 mm'lik sehim tipik bir döşeme sınırını aşar ve daha rijit bir kesit gerekir.
- Birimler tutarlı olmalıdır: hesaplayıcı tüm birimleri içeriden dönüştürür; ancak formülleri elle uygulayacaksanız sonucu dönüştürmeden önce \(w\), \(L\), \(E\) ve \(I\)'yı tek bir tutarlı birim sisteminde (N, m, Pa, m⁴) tutun.
Sıkça Sorulan Sorular
Sehimi hesaplayıcı olmadan nasıl elle hesaplarım?
Önce her şeyi tutarlı birimlere dönüştürün: yük N/m, açıklık m, E Pa, I m⁴ cinsinden olsun. Sonra \( \delta = 5wL^4/(384EI) \) formülünü uygulayın. Elle hesapta en sık yapılan hata, \(I\)'yı cm⁴ veya mm⁴'ten m⁴'e (1 cm⁴ = 10⁻⁸ m⁴, 1 mm⁴ = 10⁻¹² m⁴) ve E'yi GPa'dan Pa'ya (10⁹ ile çarpın) dönüştürmeyi atlamaktır. Aritmetiği tek bir tutarlı birim sisteminde yapmak sehimi doğrudan metre cinsinden verir.
Bir kiriş için kabul edilebilir sehim ne kadardır?
Çoğu yapı yönetmeliği hareketli yük sehimini döşemeler ve sıva tavanlar için \( L/360 \), çatılar ve daha az kırılgan kaplamalar taşıyan elemanlar için \( L/240 \) ile sınırlar. 6 m'lik bir döşeme kirişinde \( L/360 \) yaklaşık 16,7 mm demektir. Bunlar genel kılavuzlardır — gerçek sınırlar yerel yönetmeliğinize, kaplama malzemelerine ve yükün kısa süreli mi uzun süreli mi olduğuna bağlıdır; bu yüzden her zaman projenizde geçerli olan standartla doğrulayın.
Kirişimin atalet momentini (I) nasıl bulurum?
Standart haddelenmiş çelik kesitlerde \(I\) değerini üreticinin profil tablosundan bulup doğrudan girin. Dolu dikdörtgen kesit için \( I = bh^3/12 \) formülünü kullanın; burada \(b\) genişlik, \(h\) eğilme yönündeki yüksekliktir. Dairesel kesit için \( I = \pi d^4/64 \). \(I\)'nın yüksekliğin küpüyle arttığını unutmayın; bu yüzden biraz daha derin bir kiriş, daha geniş bir kirişe kıyasla çarpıcı biçimde daha rijittir.
Kirişin öz ağırlığı yayılı yükün içinde sayılır mı?
Evet. Yükünüz açıkça faydalı (ek) yük olarak belirtilmemişse öz ağırlığı ekleyin: kirişin metre başına kütlesini 9,81 m/s² ile çarpın (veya tablolardaki birim uzunluk başına ağırlığını kullanın) ve bunu \(w\)'ya dahil edin. Ağır çelik veya betonarme elemanlarda öz ağırlık toplam yükün önemli bir bölümünü oluşturabilir; göz ardı edilirse hem moment hem de sehim olduğundan küçük hesaplanır.
Bu hesaplayıcıyı ABD импeryal birimleriyle kullanabilir miyim?
Evet — açıklık için feet'i seçin ve yükü lbf/ft cinsinden girin. Young modülü psi (çelik için ≈ 29.000.000 psi) ve \(I\) in⁴ cinsinden bu birimlerle uyumlu çalışır. Dilerseniz birim seçicileri serbestçe karıştırabilirsiniz: hesaplayıcı her şeyi içeriden dönüştürür. İmperial birimlerle elle hesap yapacaksanız, kuvvet, uzunluk ve bunların türevleri tutarlı kaldığı sürece (her yerde lbf, ft veya inç) aynı formüller geçerlidir.
Maksimum momentten eğilme gerilmesini nasıl bulurum?
Açıklık ortasındaki maksimum eğilme gerilmesi \( \sigma = M_{max} \cdot c / I \) formülüyle bulunur; burada \(c\), nötr eksen ile dış lif arasındaki mesafedir (simetrik kesitte derinliğin yarısı). \(I\)'yı \(c\)'ye bölmek kesit modülü \(S\)'yi verir, dolayısıyla \( \sigma = M/S \). Sonucu, uygun güvenlik katsayısını uygulayarak malzemenin emniyetli veya akma gerilmesiyle karşılaştırın — bu hesaplayıcı momenti verir, gerilme kontrolünü yapmaz.
Yüküm açıklığın yalnızca bir bölümünü kaplıyorsa veya tekil yükler varsa ne olur?
Bu kapalı form formülleri yalnızca iki basit mesnet arasındaki tüm açıklığa yayılmış eşit dağıtımlı yük için geçerlidir. Kısmi açıklık yükleri, tekil yükler veya konsollar için farklı formüller ya da süperpozisyon yöntemi (tek tek yük durumlarının sonuçlarının toplanması) gerekir. Toplam yük açıklık ortasına tek bir tekil yük olarak etki ederse moment iki katına çıkarak \( wL^2/4 \) olur ve sehim \( 5wL^4/(384EI) \times 8/5 \) değerine yükselir — bu durum için merkez tekil yük hesaplayıcısını kullanın.