Перевірка простого числа

Q: Як перевірити, чи число просте, вручну?

Перевірте, чи ділить ваше число націло хоча б одне ціле число від 2 до √(n). Якщо ні — число просте. Для 137 маємо √(137) ≈ 11.7, тож перевіряємо лише 2, 3, 5, 7 і 11 — жодне з них не ділить 137, отже, число просте. Після перевірки 2 пропускайте парні кандидати, щоб заощадити час, і пам’ятайте: перевіряти дільники за межами квадратного кореня ніколи не потрібно.

Q: Чому 1 не є простим числом?

Просте число мусить мати рівно два додатні дільники: 1 і самого себе. У числа 1 лише один дільник, тож воно не відповідає цьому визначенню. Така домовленість також зберігає справедливість основної теореми арифметики: якби 1 вважали простим, кожне число, більше за 1, мало б нескінченно багато розкладів, як-от 6 = 2 × 3 = 2 × 3 × 1. Тож 1 — ні просте, ні складене.

Q: Які найшвидші ознаки подільності варто перевірити перед тестом?

Гляньте на останню цифру: числа, що закінчуються на 0, 2, 4, 5, 6 або 8, діляться на 2 або 5. Додайте цифри: якщо сума кратна 3, то й число кратне 3 (для 87: 8 + 7 = 15, а 15 кратне 3, отже, 87 — складене). Для 11 поперемінно додавайте й віднімайте цифри: якщо результат кратний 11, то й саме число. Ці правила одразу відсіюють більшість складених чисел.

Q: Чим відрізняються прості числа від взаємно простих?

Простота — це властивість одного числа: воно має рівно два дільники. Взаємна простота — властивість пари чисел: два числа взаємно прості, якщо їхній найбільший спільний дільник дорівнює 1. Наприклад, 8 і 15 — обидва складені, але взаємно прості, бо gcd(8, 15) = 1. Зауважте: взаємно простими є не лише 2 і 3, а й 4 і 9 — жодне з чисел пари не мусить бути простим саме по собі.

Q: Які числа часто виглядають простими, але такими не є?

Відомі «хибно прості» числа: 91 (= 7 × 13), 57 (= 3 × 19), 51 (= 3 × 17), 87 (= 3 × 29) і 119 (= 7 × 17). Їх часто пропускають, бо вони не діляться ні на 2, ні на 5, ні на очевидний квадрат. Перевіряючи вручну, завжди ретельно тестуйте ознаку ділення на 3 (за сумою цифр), а також дільники 7 і 11 — саме вони викривають більшість підступних випадків до 150.

Q: Як крок за кроком знайти розклад числа на прості множники?

Послідовно діліть на найменший простий дільник, який підходить. Для 360: ділимо на 2 — отримуємо 180, знову на 2 — 90, ще раз на 2 — 45; 45 непарне, тож ділимо на 3 — отримуємо 15, і ще раз на 3 — 5. Отже, 360 = 2^3 × 3^2 × 5. Продовжуйте, доки частка сама не стане простим числом. Кожен крок ділення гарантовано виконується на якійсь простій множнику завдяки основній теоремі арифметики.

Q: Чи існує нескінченно багато простих чисел?

Так — Евклід довів це близько 300 року до н. е. Припустімо, що існує найбільше просте число; перемножимо всі відомі прості числа й додамо 1 — результат не ділиться на жодне з них, отже, мусить мати новий простий дільник. Простих чисел, менших за мільйон, — 78 498, а менших за трильйон — близько π(10^12) ≈ 37.6 мільярда. Проміжки між простими числами в середньому зростають, але нові рекордні прості числа знаходять і досі — у найновіших знахідок понад 24 мільйони цифр.

Оновлено: 14.10.2026

Введіть будь-яке ціле число до одного трильйона й одразу дізнайтеся, просте воно чи складене. Калькулятор також показує найменший простий дільник і повний розклад на прості множники з поясненням.

Чи є це число простим?

Формула перевірки простого числа

Формула

\[ n \text{ просте} \;\iff\; n > 1 \text{ і жодне ціле } d \text{, де } 1 < d \le \sqrt{n} \text{, не ділить } n \]

Де:

\(n\) — ціле число, яке перевіряємо
\(d\) — кандидат у дільники
\(\sqrt{n}\) — квадратний корінь із \(n\), округлений донизу до найближчого цілого

Формула описує метод перебору дільників: шукати дільники достатньо лише до \(\sqrt{n}\), бо якщо \(n = a \times b\), де обидва множники більші за 1, то хоча б один із них не перевищує \(\sqrt{n}\). Саме тому калькулятор перевіряє лише кандидати до квадратного кореня, пропускаючи кратні 2 і 3 (спершу перевіряються 2 і 3, а потім числа виду \(6k \pm 1\)).

Перевірка простого числа — приклад обчислення

Приклад: чи є 91 простим числом? Перевіряємо дільники-кандидати до \(\sqrt{91} \approx 9.54\), отже, достатньо перевірити лише 2, 3, 5 і 7.

\[ 91 \div 2 = 45.5 \quad (\text{не дільник}) \]

\[ 91 \div 3 = 30.\overline{3} \quad (\text{не дільник}) \]

\[ 91 \div 5 = 18.2 \quad (\text{не дільник}) \]

\[ 91 \div 7 = 13 \quad (\text{ділиться націло — 7 є дільником!}) \]

Результат: 91 — складене число. Його найменший простий дільник — 7, оскільки \(91 = 7 \times 13\), а повний розклад на прості множники: \(91 = 7 \times 13\).

Як користуватися перевіркою простого числа

Введіть ціле число, яке хочете перевірити, у поле Число для перевірки (n). Приймається будь-яке ціле число від 0 до 1 000 000 000 000 (10¹²).
Прочитайте вердикт у рядку Результат — просте чи складене. Числа, менші за 2, позначаються як ні прості, ні складені.
Якщо число складене, зверніться до поля Простий дільник (показується для складених чисел) — це найменше просте число, на яке ділиться ваше число, разом із другим множником добутку.
Прочитайте розділ Повний розклад на прості множники з поясненням: у ньому число розкладається на прості множники та пояснюється, як було перевірено відповідь.

Що таке просте число?

Просте число — це ціле число, більше за 1, яке має рівно два додатні дільники: 1 і самого себе. Перші прості числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Кожне інше ціле число, більше за 1, — складене, тобто його можна подати як добуток двох менших цілих чисел, кожне з яких більше за 1.

Число 2 заслуговує на окрему згадку: це єдине парне просте число, адже будь-яке інше парне число ділиться на 2. Числа 0 і 1 не є ні простими, ні складеними: у 1 лише один дільник, а 0 ділиться на кожне додатне ціле число, тож жодне з них не відповідає визначенню «рівно два дільники».

Прості числа — це цеглинки, з яких побудована арифметика. Основна теорема арифметики стверджує, що кожне ціле число, більше за 1, розкладається на прості множники єдиним способом (з точністю до порядку множників). Саме тому калькулятор завжди показує повний розклад, щойно число виявляється складеним: з нього видно, з яких саме простих «цеглинок» складається ваше число і скільки разів кожна з них зустрічається.

Тлумачити результат просто. Якщо вердикт — просте, то число далі розкласти не можна. Якщо ж воно складене, найлегший спосіб це довести — показаний найменший простий дільник: поділивши на нього ваше число, ви отримаєте ціле число, і це одразу спростовує простоту.

Припущення, обмеження та поради

Обсяг: калькулятор приймає цілі числа від 0 до 10¹². Для більших чисел потрібні складніші методи.
Метод: використовується перебір дільників з оптимізацією \(6k \pm 1\) — він швидкий і дає математично достовірну відповідь для чисел у підтримуваному діапазоні. Для астрономічно великих чисел натомість застосовують імовірнісні тести, як-от малу теорему Ферма, бо перебір дільників, хоч і точний, стає надто повільним.
Дроби та від’ємні числа: простота визначена лише для цілих чисел, більших за 1, тому для десяткових дробів, від’ємних чисел, а також 0 і 1 калькулятор повертає пояснення замість вердикту.
Швидка перевірка вручну: перед тим як відкривати калькулятор, простоту часто можна спростувати в думці: число, що закінчується на 0, 2, 4, 5, 6 або 8, ділиться на 2 або 5, а якщо сума цифр числа кратна 3, то й саме число кратне 3 (для 91 сума 9 + 1 = 10... перевіряємо: 10 не кратне 3, тож цей прийом тут не спрацьовує). Перевірку за сумою цифр пов’язано з цифровим коренем.
Навіщо потрібен розклад: розклади на прості множники — основа багатьох інструментів теорії чисел: від мультиплікативного оберненого за модулем n, що застосовується в криптографії, до розв’язування систем порівнянь за китайською теоремою про залишки.

Часті запитання

Як перевірити, чи число просте, вручну?

Перевірте, чи ділить ваше число націло хоча б одне ціле число від 2 до \(\sqrt{n}\). Якщо ні — число просте. Для 137 маємо \(\sqrt{137} \approx 11.7\), тож перевіряємо лише 2, 3, 5, 7 і 11 — жодне з них не ділить 137, отже, число просте. Після перевірки 2 пропускайте парні кандидати, щоб заощадити час, і пам’ятайте: перевіряти дільники за межами квадратного кореня ніколи не потрібно.

Чому 1 не є простим числом?

Просте число мусить мати рівно два додатні дільники: 1 і самого себе. У числа 1 лише один дільник, тож воно не відповідає цьому визначенню. Така домовленість також зберігає справедливість основної теореми арифметики: якби 1 вважали простим, кожне число, більше за 1, мало б нескінченно багато розкладів, як-от \(6 = 2 \times 3 = 2 \times 3 \times 1\). Тож 1 — ні просте, ні складене.

Які найшвидші ознаки подільності варто перевірити перед тестом?

Гляньте на останню цифру: числа, що закінчуються на 0, 2, 4, 5, 6 або 8, діляться на 2 або 5. Додайте цифри: якщо сума кратна 3, то й число кратне 3 (для 87: \(8 + 7 = 15\), а 15 кратне 3, отже, 87 — складене). Для 11 поперемінно додавайте й віднімайте цифри: якщо результат кратний 11, то й саме число. Ці правила одразу відсіюють більшість складених чисел.

Чим відрізняються прості числа від взаємно простих?

Простота — це властивість одного числа: воно має рівно два дільники. Взаємна простота — властивість пари чисел: два числа взаємно прості, якщо їхній найбільший спільний дільник дорівнює 1. Наприклад, 8 і 15 — обидва складені, але взаємно прості, бо \(\gcd(8, 15) = 1\). Зауважте: взаємно простими є не лише 2 і 3, а й 4 і 9 — жодне з чисел пари не мусить бути простим саме по собі.

Які числа часто виглядають простими, але такими не є?

Відомі «хибно прості» числа: 91 (\(= 7 \times 13\)), 57 (\(= 3 \times 19\)), 51 (\(= 3 \times 17\)), 87 (\(= 3 \times 29\)) і 119 (\(= 7 \times 17\)). Їх часто пропускають, бо вони не діляться ні на 2, ні на 5, ні на очевидний квадрат. Перевіряючи вручну, завжди ретельно тестуйте ознаку ділення на 3 (за сумою цифр), а також дільники 7 і 11 — саме вони викривають більшість підступних випадків до 150.

Як крок за кроком знайти розклад числа на прості множники?

Послідовно діліть на найменший простий дільник, який підходить. Для 360: ділимо на 2 — отримуємо 180, знову на 2 — 90, ще раз на 2 — 45; 45 непарне, тож ділимо на 3 — отримуємо 15, і ще раз на 3 — 5. Отже, \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Продовжуйте, доки частка сама не стане простим числом. Кожен крок ділення гарантовано виконується на якійсь простій множнику завдяки основній теоремі арифметики.

Чи існує нескінченно багато простих чисел?

Так — Евклід довів це близько 300 року до н. е. Припустімо, що існує найбільше просте число; перемножимо всі відомі прості числа й додамо 1 — результат не ділиться на жодне з них, отже, мусить мати новий простий дільник. Простих чисел, менших за мільйон, — 78 498, а менших за трильйон — близько \(\pi(10^{12}) \approx 37.6\) мільярда. Проміжки між простими числами в середньому зростають, але нові рекордні прості числа знаходять і досі — у найновіших знахідок понад 24 мільйони цифр.