Калькулятор дільників — усі дільники числа

Q: Як знайти всі дільники числа вручну?

Перевіряйте кожне ціле число від 1 до √(n) і діліть n на кожного кандидата. Щойно ділення дає нуль остачі, ви знайшли одразу два дільники: кандидат d та його пару n ÷ d. Приклад із числом 60: перевірка до √(60) ≈ 7.7 знаходить пари 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10. Зберіть усі числа з цих пар і відсортуйте їх — це й буде повний список дільників.

Q: Чому повні квадрати мають непарну кількість дільників?

Зазвичай дільники утворюють пари d × (n ÷ d), тому їхня загальна кількість парна. Але в повного квадрата, як-от 36, середня пара — це √(36) = 6, і шістка париться сама з собою (6 × 6 = 36), тож її рахують лише раз. Саме ця єдина «пара з самим собою» робить кількість дільників непарною. І навпаки: якщо у числа непарна кількість дільників, воно обов’язково є повним квадратом.

Q: Чим дільник відрізняється від кратного?

Це взаємно обернені поняття. Дільник числа n ділить його націло, тому дільники ніколи не більші за саме n; кратне числа n — це результат множення, тому кратні ніколи не менші за n. Наприклад, 3 — дільник числа 12, а 12 — кратне числа 3. Типова плутанина: 12 не є дільником числа 3, але 3 водночас є кратним самого себе — кожне число є і дільником, і кратним самого себе.

Q: Чи вважаються від’ємні числа дільниками?

У строгій цілочисельній арифметиці — так: якщо d ділить n, то -d також, тож −2 і 2 — обидва дільники числа 10, і кількість подвоюється. У шкільній практиці та в більшості підручників під «дільниками числа n» розуміють лише додатні дільники — саме їх калькулятор і виводить за замовчуванням. Для від’ємного вхідного числа показано дільники |n|, а від’ємні пари зазначено окремо.

Оновлено: 06.11.2026

Введіть будь-яке ціле число до 10¹² і одразу отримайте всі його дільники, їхню кількість і суму, розклад на прості множники, пари дільників і те, чи є число простим, досконалим, надлишковим чи недостатнім — або порівняйте 2–5 чисел, щоб знайти їхні спільні дільники та НСД.

Знайдіть усі дільники, пари дільників і канонічний розклад на прості множники

Режим

Число (n)

Ціле число від 1 до 10¹² (10 000 000 000 000). Можна зі знаком мінус — буде розглянуто |n|, а від’ємні дільники вказано окремо.

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Ваші результати

Усі дільникиd

Кількість дільниківτ(n)

Сума дільниківσ(n)

Розклад на прості множники

Пари дільників (a × b = n)

Просте, досконале, достатнє чи недостатнє?

Спільні дільники та НСД

Формула дільників

Формула

\[ d \text{ — дільник числа } n \iff n = d \cdot k \text{ для деякого цілого числа } k \] \[ n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r} \;\Rightarrow\; \tau(n) = \prod_{i=1}^{r} (e_i + 1), \qquad \sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_i^{e_i + 1} - 1}{p_i - 1} \]

Де:

\(d\) — дільник числа \(n\)
\(n\) — число, яке розкладаємо на дільники
\(p_i\), \(e_i\) — різні прості множники числа \(n\) та їхні показники в розкладі на прості множники
\(\tau(n)\) — кількість усіх дільників числа \(n\)
\(\sigma(n)\) — сума всіх дільників числа \(n\)

Перший рядок — це означення дільника: число \(d\) ділить \(n\) націло, без остачі. Другий рядок показує, як саме розклад на прості множники визначає і кількість дільників, і їхню суму.

Дільники — приклад обчислення

Приклад: знайдемо всі дільники числа \(n = 360\) — значення, виставленого в калькуляторі за замовчуванням.

\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

\[ \tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24 \]

\[ \sigma(360) = \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1} \cdot \frac{5^2 - 1}{5 - 1} = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \]

Результат: у числа 360 є 24 дільники: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Їхня сума — 1170. Оскільки сума власних дільників \(1170 - 360 = 810 > 360\), число 360 — надлишкове. Дільники утворюють 12 пар — від \(1 \times 360\) до \(18 \times 20\).

Як користуватися калькулятором дільників

Оберіть режим: усі дільники одного числа або спільні дільники 2–5 чисел.
У режимі «Усі дільники» введіть ціле число від 1 до 10¹² у поле Число (n). Можна ввести і від’ємне значення — калькулятор виведе дільники \(|n|\) і зазначить від’ємні.
Зчитайте результати: усі дільники за зростанням, кількість дільників \(\tau(n)\), сума дільників \(\sigma(n)\), розклад на прості множники, таблиця пар дільників і класифікація: просте, досконале, надлишкове чи недостатнє число.
У режимі «Спільні дільники» введіть у поле Числа два-п’ять цілих чисел, відмінних від нуля, розділивши їх комами, пробілами, крапками з комами або переводами рядка (наприклад, 12, 18, 30). У результаті буде перелічено всі спільні дільники цих чисел, а найбільший спільний дільник виділено окремо.

Що таке дільники і навіщо вони потрібні

Дільником числа \(n\) називають будь-яке ціле число, на яке \(n\) ділиться без остачі. Наприклад, 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6 і 12 — це й усі його дільники. Кожен дільник \(d\) числа \(n\) має собі пару: оскільки \(n = d \times k\), то парою буде \(k = n \div d\). Саме тому дільники природно групуються в пари дільників. Число, яке є повним квадратом, як-от 36 із парою \(6 \times 6\), має непарну кількість дільників, адже \(\sqrt{n}\) париться саме із собою.

Найшвидший спосіб знайти всі дільники великого числа — розклад на прості множники. Якщо \(n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\), то кожен дільник — це добуток тих самих простих чисел із показниками, що не перевищують \(e_i\). Кількість одразу випливає з формули: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\). Покрокове розкладання на прості множники виконує калькулятор розкладу на прості множники, а щоб перевірити одне конкретне число, швидше скористатися перевіркою простого числа.

Сума дільників \(\sigma(n)\) — не просто цікавинка: вона дає числу класифікацію. Якщо власні дільники (усі дільники, крім самого \(n\)) дають у сумі рівно \(n\), число досконале, як 6 або 28. Якщо сума більша — число надлишкове, якщо менша — недостатнє. Прості числа завжди недостатні, адже їхній єдиний власний дільник — це 1.

Спільні дільники — це дільники, які мають два чи більше чисел. Це рівно дільники найбільшого спільного дільника (НСД), тому калькулятор спершу знаходить НСД, а потім виводить список його дільників. Спільні дільники — ключ до скорочення дробів; поняття-супутник, найменше спільне кратне, охоплює калькулятор НСК.

Припущення, обмеження та поради

Лише цілі числа. Дроби та десяткові числа не приймаються. Ноль виключено, бо він ділиться на кожне ціле число, відмінне від нуля, і утворив би нескінченний список.
Межа розміру. Абсолютне значення кожного числа може становити щонайбільше 10¹² (1 000 000 000 000 000). У дуже великих чисел із тисячами дільників список скорочується: показано перші 2000 дільників, а таблиця пар — до 500 пар, решту лише підраховано.
Від’ємні числа. Якщо ввести від’ємне значення, буде виведено додатні дільники \(|n|\) із позначкою, що кожен із них має ще й від’ємного «двійника» \(-d\), тож кількість цілих дільників подвоюється.
Порада. Щоб швидко перевірити, чи ділиться якесь число \(n\) націло, не перелічаючи всі дільники, поділіть \(n\) на нього й подивіться, чи частка є цілим числом. Перевіряти варто лише кандидатів до \(\sqrt{n}\), бо будь-який дільник, більший за \(\sqrt{n}\), — це пара до меншого, який ви вже знайшли.
Порада. Пари дільників зручні для спрощення радикалів і розкладання квадратних тричленів на множники: якщо \(a \times b = n\) і дає зручну суму або різницю, ви знайшли корисне розкладання числа \(n\).

Часті запитання

Як знайти всі дільники числа вручну?

Перевіряйте кожне ціле число від 1 до \(\sqrt{n}\) і діліть \(n\) на кожного кандидата. Щойно ділення дає нуль остачі, ви знайшли одразу два дільники: кандидат \(d\) та його пару \(n \div d\). Приклад із числом 60: перевірка до \(\sqrt{60} \approx 7.7\) знаходить пари \(1 \times 60\), \(2 \times 30\), \(3 \times 20\), \(4 \times 15\), \(5 \times 12\), \(6 \times 10\). Зберіть усі числа з цих пар і відсортуйте їх — це й буде повний список дільників.

Чому повні квадрати мають непарну кількість дільників?

Зазвичай дільники утворюють пари \(d \times (n \div d)\), тому їхня загальна кількість парна. Але в повного квадрата, як-от 36, середня пара — це \(\sqrt{36} = 6\), і шістка париться сама з собою (\(6 \times 6 = 36\)), тож її рахують лише раз. Саме ця єдина «пара з самим собою» робить кількість дільників непарною. І навпаки: якщо у числа непарна кількість дільників, воно обов’язково є повним квадратом.

Чим дільник відрізняється від кратного?

Це взаємно обернені поняття. Дільник числа \(n\) ділить його націло, тому дільники ніколи не більші за саме \(n\); кратне числа \(n\) — це результат множення, тому кратні ніколи не менші за \(n\). Наприклад, 3 — дільник числа 12, а 12 — кратне числа 3. Типова плутанина: 12 не є дільником числа 3, але 3 водночас є кратним самого себе — кожне число є і дільником, і кратним самого себе.

Чи є 1 дільником кожного числа, і чи є 1 простим числом?

Так: 1 ділить націло кожне ціле число, тому 1 завжди є дільником \(n\) і утворює пару з самим \(n\) на початку списку дільників. Проте 1 не є простим числом: просте число має мати рівно два дільники — 1 і себе самого, а в 1 дільник лише один. Саме тому 1 не класифікують ні як складене число, ні як досконале, надлишкове чи недостатнє.

Скільки дільників може мати число?

Фіксованої межі немає — одні числа мають значно більше дільників, ніж інші подібного розміру. Такі числа називають надскладеними; наприклад, 720720 має 240 дільників, а 963761198400 (менше за 10¹²) — 6720. Кількість дільників зростає зі збільшенням числа різних простих множників та їхніх показників: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\), тому додавання нового простого множника завжди помножує кількість.

Чи вважаються від’ємні числа дільниками?

У строгій цілочисельній арифметиці — так: якщо \(d\) ділить \(n\), то \(-d\) також, тож −2 і 2 — обидва дільники числа 10, і кількість подвоюється. У шкільній практиці та в більшості підручників під «дільниками числа n» розуміють лише додатні дільники — саме їх калькулятор і виводить за замовчуванням. Для від’ємного вхідного числа показано дільники \(|n|\), а від’ємні пари зазначено окремо.

Які перші досконалі числа і чому вони такі рідкісні?

Досконале число дорівнює сумі своїх власних дільників: найменші з них — 6 (1 + 2 + 3), 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 і 8128. Кожне відоме парне досконале число має форму Евкліда — Ейлера \(2^{p-1}(2^p - 1)\), де \(2^p - 1\) обов’язково має бути простим числом Мерсенна, — це і пояснює їхню рідкість: відомо лише 52 таких числа, а довести існування хоча б одного непарного досконалого числа досі не вдалося.