Калькулятор критерия Мак-Немара — парная таблица 2×2

Сравнение парных бинарных показателей «до» и «после»

Парная таблица 2×2 — число сопряжённых пар

Положительный результат до и после

n₁₁

Пары с положительным результатом при обоих измерениях (согласованные пары — на результат критерия они не влияют).

Положительный результат до, отрицательный после

Несогласованные пары b: результат изменился с положительного на отрицательный.

Отрицательный результат до, положительный после

Несогласованные пары c: результат изменился с отрицательного на положительный.

Отрицательный результат до и после

n₂₂

Пары с отрицательным результатом при обоих измерениях (согласованные пары).

Метод расчёта

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Результаты критерия Мак-Немара

Несогласованные пары: положительный результат только доb

Несогласованные пары: отрицательный результат только доc

Всего несогласованных парn

Статистика критерияχ²

p-значение (двустороннее)p

Интерпретация и метод

Формула критерия Мак-Немара

Формула

\[ \chi^2 = \frac{\bigl(|b - c| - 1\bigr)^2}{b + c} \quad \text{(с поправкой на непрерывность)} \\ \chi^2 = \frac{(b - c)^2}{b + c} \quad \text{(без поправки)} \\ p = 2 \cdot P(X \le \min(b, c)), \quad X \sim \mathrm{Binomial}(b + c,\ 0.5) \quad \text{(точный критерий)} \]

Обозначения:

\(b\) — число несовпадающих пар, в которых результат изменился с положительного на отрицательный
\(c\) — число несовпадающих пар, в которых результат изменился с отрицательного на положительный
\(b + c\) — общее число несовпадающих пар (именно они и используются в критерии)
\(\chi^2\) — статистика критерия; её сравнивают с распределением хи-квадрат с одной степенью свободы
\(p\) — двустороннее p-значение точного биномиального варианта

Критерий отвечает на вопрос: равновероятны ли оба направления изменения. При нулевой гипотезе каждая несовпадающая пара с равной вероятностью могла сменить результат в любую сторону (вероятность 1/2), поэтому сильный перевес \(b\) над \(c\) (или наоборот) говорит о том, что истинная доля положительных результатов изменилась от первого измерения ко второму.

Критерий Мак-Немара — пример расчёта

{example}

Пример: клиника оценивает программу отказа от курения. Из 80 участников 40 курили как до, так и после, 30 не курили ни в один из двух моментов, 8 бросили курить (положительный результат до, отрицательный — после) и 2 начали курить (отрицательный до, положительный — после).

Несовпадающие пары: \(n = b + c = 8 + 2 = 10\), поэтому применяется точный биномиальный критерий:

\[ p = 2 \cdot P(X \le \min(8, 2)) = 2 \cdot P(X \le 2), \quad X \sim \mathrm{Binomial}(10,\ 0.5) \]

\[ P(X \le 2) = \frac{\binom{10}{0} + \binom{10}{1} + \binom{10}{2}}{2^{10}} = \frac{1 + 10 + 45}{1024} = 0.0547 \]

\[ p = 2 \times 0.0547 = 0.1094 \]

Итог: \(p = 0.1094\). Различие статистически незначимо на уровне 5 % — при всего лишь 10 несовпадающих парах перевес 8 против 2 недостаточно убедителен, чтобы утверждать, что программа изменила статус курения. (Для сравнения: статистика хи-квадрат с поправкой на непрерывность равна \(\chi^2 = (8-2-1)^2/10 = 2.5\) и приводит к тому же выводу.)

{/example}

Как пользоваться калькулятором

Посчитайте, сколько пар были положительными и до, и после, и введите это число в первое поле (совпадающие пары).
Укажите число пар, сменивших результат с положительного на отрицательный, в поле положительный до, отрицательный после — это \(b\).
Укажите число пар, сменивших результат с отрицательного на положительный, в поле отрицательный до, положительный после — это \(c\).
Введите число пар, оставшихся отрицательными, в поле отрицательные и до, и после.
Выберите метод критерия: точный биномиальный критерий рекомендуется, когда общее число несовпадающих пар меньше примерно 25; асимптотический критерий хи-квадрат подходит для больших выборок.
Если выбран метод хи-квадрат, решите, применять ли поправку на непрерывность (поправку Эдвардса). По умолчанию она включена, и обычно её рекомендуют оставлять.
Ознакомьтесь с результатами: числами несовпадающих пар, статистикой критерия, двусторонним p-значением и понятным словесным объяснением того, что эти числа означают для ваших данных.

Что такое критерий Мак-Немара?

Критерий Мак-Немара — это статистический критерий для сравнения двух долей, измеренных на одних и тех же объектах, то есть на парных данных. Типичные ситуации: исследования «до и после» (изменилась ли доля пациентов с положительным результатом после лечения?), исследования «случай — контроль» с подобранными парами и сравнение двух диагностических тестов, применённых к одним и тем же людям. Всякий раз, когда каждый объект даёт два бинарных измерения, наблюдения образуют связанные пары, и стандартные критерии для независимых долей — например, z-критерий для двух долей или критерий хи-квадрат независимости — неприменимы, поскольку не учитывают парность данных.

Главная идея критерия в том, что значение имеют только несовпадающие пары. Пара, положительная при обоих измерениях или отрицательная при обоих, ничего не говорит о том, изменилась ли доля, — два наблюдения взаимно погашаются. Вся информация об изменении сосредоточена в парах, которые сменили результат: \(b\) пар в одну сторону и \(c\) пар в другую. Если нулевая гипотеза (изменения нет) верна, каждый переход равновероятен в обоих направлениях — как бросок честной монеты. Поэтому сильный дисбаланс между \(b\) и \(c\) — аргумент против нулевой гипотезы.

Результат — двустороннее p-значение. Если оно меньше выбранного уровня значимости (обычно 0,05), делается вывод, что доля положительных результатов изменилась между двумя измерениями; направление изменения определяется тем, что больше — \(b\) или \(c\). Если p-значение велико, данные согласуются с отсутствием изменений. Незначимый результат при малом числе несовпадающих пар часто означает лишь недостаточную мощность исследования — как в примере выше. Чтобы оценить, насколько сильным является наблюдаемый эффект (а не только существует ли он), полезно дополнить анализ, например, отношением шансов для парных данных.

Допущения, ограничения и практические советы

Только парные данные. Оба измерения должны относиться к одному объекту или к подобранной паре. Для независимых групп используйте z-критерий для двух долей или точный критерий Фишера.
Независимость пар. Каждая связанная пара должна быть независима от остальных; кластеризованные данные и повторные измерения нарушают это допущение.
Метод выбирайте по числу несовпадающих пар. Эмпирическое правило: точный биномиальный критерий при \(b + c < 25\), приближение хи-квадрат при \(b + c \ge 25\). Точный критерий никогда не ошибочен — просто его дольше считать вручную.
Совпадающие пары влияют на мощность, но не на статистику. Две таблицы с одинаковыми \(b\) и \(c\) дадут одинаковые p-значения независимо от числа совпадающих пар — однако исследования с большим числом таких пар обычно точнее оценивают сами доли.
Для варианта хи-квадрат применяйте поправку на непрерывность. Поправка Эдвардса \((|b-c|-1)^2/(b+c)\) не даёт статистике завышаться при малых счётах и приближает результат к точному критерию.
Двустороннее p-значение не проверяет направление. Оно лишь показывает, произошло ли изменение; чтобы понять, куда сместилась доля, сравните \(b\) и \(c\) и проверьте, совпадает ли направление с вашей исследовательской гипотезой.

Если вы не уверены, как трактовать само p-значение — что оно означает, а что нет, — загляните в калькулятор p-значения: он объясняет основы и переводит статистики критериев в p-значения для распространённых распределений.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить критерий Мак-Немара вручную?

Возьмите только два числа вне диагонали таблицы — b и c. Для точного варианта вычислите \(p = 2 \cdot P(X \le \min(b, c))\), где \(X\) подчиняется биномиальному распределению с числом испытаний \(n = b + c\) и вероятностью 0,5. Эту вероятность можно найти в таблице биномиального распределения или взять из табличной функции вроде BINOM.DIST. Для варианта хи-квадрат вычислите \(\chi^2 = (|b - c| - 1)^2 / (b + c)\) и сравните с критическим значением 3,84 для двустороннего критерия при \(\alpha = 0.05\).

Когда следует использовать точный биномиальный критерий вместо варианта хи-квадрат?

Используйте точный биномиальный критерий, когда число несовпадающих пар \(b + c\) невелико — обычное эмпирическое правило: меньше 25. Статистика хи-квадрат лишь приближает истинное распределение, и при малом числе переходов приближение становится ненадёжным. Точный критерий корректен всегда, поэтому в сомнительных случаях выбирайте его; вариант хи-квадрат важен в основном для больших выборок или когда статистику нужно представить в определённом формате.

Почему совпадающие пары не влияют на результат?

Это многих удивляет: пары, оставшиеся положительными или оставшиеся отрицательными, не несут информации об изменении, поскольку оба измерения в них согласуются. О том, сместились ли доли, говорят только переходы. Именно поэтому два набора данных с одинаковыми b и c дают одинаковые p-значения, даже если в одном из них общее число объектов в десять раз больше. Число совпадающих пар важно для оценки самих долей и для мощности исследования, но не для самого критерия.

Чем критерий Мак-Немара отличается от обычного критерия хи-квадрат?

Стандартный критерий хи-квадрат независимости предполагает, что два измерения выполнены на разных, не связанных между собой группах. Критерий Мак-Немара предназначен для парных данных: одни и те же объекты, измеренные дважды, подобранные пары или два теста, применённые к одним и тем же людям. Применять к парным данным критерий хи-квадрат для независимых выборок или z-критерий для двух долей — распространённая ошибка, которая обычно занижает доказательность результата, поскольку игнорирует корреляцию между двумя измерениями одного объекта.

Можно ли выполнить односторонний критерий Мак-Немара?

Да. Калькулятор выдаёт двустороннее p-значение и отвечает на вопрос, произошло ли изменение в любом из направлений. Если у вас заранее была направленная гипотеза — например, что лечение может только снизить долю положительных результатов, — разделите двустороннее p-значение пополам, и вы получите односторонний результат, при условии что наблюдаемое направление совпадает с гипотезой. Если данные пошли в противоположную сторону, одностороннее p-значение равно единице минус эта величина. Не следует переходить к одностороннему критерию постфактум, уже увидев результаты.

Что делать, если несовпадающих пар нет совсем?

Если \(b = c = 0\), каждый объект дал одинаковый результат при обоих измерениях, то есть две доли в точности равны и проверять нечего — осмысленного p-значения здесь не существует. Калькулятор сообщит об этом случае. Аналогично, если одно из чисел b или c равно нулю, а другое мало (скажем, 1 или 2), точный критерий по-прежнему работает корректно; не поддавайтесь соблазну добавить «поправочную» единицу или заменить критерий другим.

Как оформить результаты или измерить величину эффекта?

Обычно указывают числа несовпадающих пар, использованный метод, статистику критерия и p-значение — например: «Точный критерий Мак-Немара: b = 8, c = 2, p = 0,11». Значимое p-значение лишь говорит, что изменение произошло; чтобы описать его масштаб, используйте отношение шансов для парных данных \(b/c\) или приведите доли до и после с доверительным интервалом для их разности. Крупные исследования способны выявить сколь угодно малые изменения, поэтому проверку значимости всегда стоит дополнять мерой величины эффекта.