Калькулятор d Коэна
Вычислите d Коэна и g Хеджеса по двум средним, стандартным отклонениям и объёмам выборок — или вставьте исходные данные. Вы также получите объединённое стандартное отклонение, 95%-ный доверительный интервал и интерпретацию величины эффекта.
Вычислите величину эффекта d Коэна
Формула d Коэна
Где:
- \(M_1, M_2\) — выборочные средние двух групп
- \(s_1, s_2\) — выборочные стандартные отклонения двух групп
- \(n_1, n_2\) — объёмы выборок двух групп
- \(s_p\) — объединённое стандартное отклонение, средневзвешенное по дисперсиям значение \(s_1\) и \(s_2\)
- \(g\) — g Хеджеса, версия \(d\) с поправкой на смещение при малых выборках
- \(SE(d)\) — стандартная ошибка \(d\), используемая для 95%-ного доверительного интервала
d Коэна выражает разницу между двумя средними в единицах объединённого стандартного отклонения, что делает величины эффекта сопоставимыми между разными исследованиями, шкалами и объёмами выборок.
d Коэна — пример расчёта
Пример: две группы по 30 студентов каждая прошли один и тот же тест. Группа 1 в среднем набрала 105 баллов со стандартным отклонением 15; группа 2 — 98 баллов со стандартным отклонением 14.
\[ s_p = \sqrt{\frac{(30-1) \times 15^2 + (30-1) \times 14^2}{30 + 30 - 2}} = \sqrt{\frac{12225 + 5684}{58}} = \sqrt{210.5} = 14.5086 \]
\[ d = \frac{105 - 98}{14.5086} = 0.4825 \]
При \(df = 58\) поправка на смещение равна \(1 - 3/231 = 0.9870\):
\[ g = 0.4825 \times 0.9870 = 0.4762 \]
Стандартная ошибка составляет \(SE = \sqrt{1/30 + 1/30 + 0.4825^2/60} = 0.2656\), что даёт 95%-ный ДИ от \(-0.0381\) до \(1.0031\).
Результат: d Коэна = 0,4825, g Хеджеса = 0,4762, объединённое стандартное отклонение = 14,5086. Эффект находится на границе между малым и средним; поскольку доверительный интервал включает 0, различие статистически незначимо на 5%-ном уровне.
Как пользоваться калькулятором
- Выберите Тип входных данных: Сводные статистики (средние, СО, объёмы), если вам уже известны статистики групп, или Две исходные выборки, если вы хотите вставить исходные данные.
- При вводе сводных статистик укажите Среднее 1 (M₁), Стд. отклонение 1 (s₁) и Объём выборки 1 (n₁) для первой группы.
- Введите Среднее 2 (M₂), Стд. отклонение 2 (s₂) и Объём выборки 2 (n₂) для второй группы.
- Либо, при вводе исходных выборок, вставьте значения в поля Выборка 1 (значения группы 1) и Выборка 2 (значения группы 2); числа можно разделять пробелами, точками с запятой или переводами строк — калькулятор сам вычислит средние, стандартные отклонения и объёмы.
- Ознакомьтесь с результатами: d Коэна, g Хеджеса, объединённое стандартное отклонение, разность средних, 95%-ный доверительный интервал для d, интерпретация величины эффекта и формула с подставленными значениями.
Что такое d Коэна?
d Коэна — стандартизированная величина эффекта, показывающая, насколько далеко друг от друга отстоят средние двух групп относительно изменчивости внутри этих групп. d = 0,5 означает, что средние различаются на половину стандартного отклонения. Поскольку результат выражен в единицах стандартного отклонения, а не в исходных единицах измерения, он позволяет сравнивать эффекты, измеренные в разных шкалах — тестовые баллы, артериальное давление, время реакции — и объединять их в метаанализах.
Знаменатель \(s_p\) — это объединённое стандартное отклонение, которое сочетает стандартные отклонения двух групп с весами, пропорциональными их степеням свободы. Это предполагает, что две генеральные совокупности имеют примерно равные дисперсии — стандартное допущение t-критерия для независимых выборок, с которым d Коэна обычно используется в паре.
Величины эффекта отвечают на вопрос, на который не способны ответить p-значения: насколько велико различие, а не только существует ли оно. Крошечное, ничтожное различие может быть «статистически значимым» при большой выборке, тогда как практически важное различие может оказаться незначимым при малой. Сообщение d вместе с p-значением даёт полную картину.
По соглашению (Коэн, 1988) результат оценивается по следующим ориентирам:
| \( |d| \) | Общепринятая метка |
|---|---|
| менее 0,2 | пренебрежимый |
| от 0,2 до 0,5 | малый |
| от 0,5 до 0,8 | средний |
| 0,8 и более | большой |
Это правила большого пальца, а не универсальные законы — то, что считается «большим» эффектом, полностью зависит от области и исследовательского вопроса. d = 0,3 для дешёвого и малоопасного педагогического вмешательства может иметь куда большую практическую значимость, чем d = 0,9 для дорогого лекарственного препарата.
Допущения, ограничения и советы
- Равенство дисперсий: объединённое стандартное отклонение предполагает, что обе совокупности имеют одинаковую дисперсию. Если два СО существенно различаются, рассмотрите дельту Гласса \((M_1 - M_2)/s\), использующую только СО контрольной группы, либо явно укажите, какой стандартизатор вы выбрали.
- Независимые выборки: формула применима к двум отдельным группам. Для парных или повторных измерений используйте парную версию, в которой разность средних делится на СО разностей.
- Малые выборки: d Коэна слегка завышено при малых \(n\). Поэтому калькулятор также выдаёт g Хеджеса, которое применяет поправочный коэффициент \(1 - 3/(4df - 1)\). При больших выборках обе величины почти идентичны; при малых предпочтительнее g.
- Доверительный интервал: 95%-ный ДИ использует нормальную аппроксимацию. При малых выборках (примерно \(n_1 + n_2 < 30\)) точный интервал, основанный на нецентральном t-распределении, будет уже и точнее.
- Проверка значимости: если ДИ не содержит 0, различие групп значимо на 5%-ном уровне; если содержит — незначимо. В примере выше заметное d = 0,48 не было значимым из-за малых выборок — классическая иллюстрация того, почему величину эффекта и значимость следует сообщать вместе.
- Проверьте входные данные: стандартные отклонения должны быть выборочными СО (вычисленными с \(n - 1\)). Если у вас есть только дисперсия, сначала извлеките из неё квадратный корень — см. калькулятор стандартного отклонения или калькулятор дисперсии.
Чтобы спланировать новое исследование, используйте этот калькулятор вместе с калькулятором объёма выборки, чтобы определить, сколько наблюдений нужно для обнаружения эффекта заданной величины, и с калькулятором доверительного интервала для интервальных оценок отдельных средних.
Часто задаваемые вопросы
Может ли d Коэна быть отрицательным и что означает знак?
Да. Знак просто показывает, в какой группе среднее выше: положительное d означает, что выше оказалась группа 1, отрицательное — группа 2. О величине эффекта говорит модуль \( |d| \), поэтому d = −0,6 и d = 0,6 — одинаково большие эффекты в противоположных направлениях. При сообщении результатов явно указывайте направление, а не меняйте знак, и сохраняйте обозначения групп согласованными с вашими таблицами и графиками.
Как d Коэна связано с t-критерием и p-значением?
Они напрямую связаны: \( d = t \sqrt{1/n_1 + 1/n_2} \) для t-критерия независимых выборок с объединённой дисперсией. Так что d можно восстановить из опубликованной t-статистики или, наоборот, проверить t-значение по вашему d. Ключевое различие — в интерпретации: t-критерий и p-значение говорят, вероятно ли различие реально, а d — насколько оно велико. Огромная выборка может дать крошечное значимое d, поэтому сообщать следует обе величины.
Как перевести d Коэна в проценты или наглядную вероятность?
Есть несколько способов сделать d осязаемым. При допущении нормальности статистика U3, равная \( \Phi(d) \), даёт долю группы 2, лежащую ниже среднего группы 1 (d = 0,5 → примерно 69%). Вероятность того, что случайный человек из группы 1 окажется выше случайного человека из группы 2, равна \( \Phi(d/\sqrt{2}) \) (d = 0,5 → примерно 64%). Можно также сообщить о неперекрытии двух распределений — при d = 0,5 оно составляет около 67%.
Что сообщать: d Коэна или g Хеджеса?
Сообщайте g Хеджеса, когда хотя бы в одной группе меньше примерно 20 наблюдений, поскольку d слегка завышено при малых выборках, а g устраняет это смещение. При больших выборках поправочный коэффициент близок к 1, поэтому статистики различаются лишь в третьем или четвёртом знаке после запятой и подойдёт любая из них. В метаанализах обычно предпочитают g, так как оно сопоставимо между исследованиями с разными объёмами выборок. Какую бы величину вы ни выбрали, обозначайте её правильно — это не взаимозаменяемые названия.
Может ли d Коэна быть больше 1?
Да, верхнего предела нет. d = 1,5 просто означает, что средние отстоят друг от друга на полтора объединённых стандартных отклонения. Значения выше 1 часто встречаются при внутригрупповых сравнениях «до/после», при сильных медицинских вмешательствах или в экспериментах со строгим контролем условий; значения выше 2 или 3 в полевых данных социальных наук необычны и могут также указывать на проблему выбросов или смешанный дизайн, поэтому перед ликованием по поводу огромного эффекта стоит перепроверить данные.
Работает ли d Коэна при неравных или очень разных объёмах выборок?
Да — объединённое стандартное отклонение взвешивает дисперсию каждой группы по её степеням свободы, поэтому \( n_1 \neq n_2\) полностью учитывается. Крайне несбалансированные планы (скажем, 10 против 500) математически корректны, но менее точны, а стандартная ошибка растёт, поскольку зависит от \( 1/n_1 + 1/n_2\), где доминирует меньшая группа. Если в несбалансированных группах к тому же сильно различаются дисперсии, рассмотрите вместо этого дельту Гласса или подход Уэлча.
Как преобразовать d Коэна в коэффициент корреляции r и обратно?
Для сравнения двух групп с равными объёмами используйте \( r = d / \sqrt{d^2 + 4} \). В обратную сторону: \( d = 2r / \sqrt{1 - r^2} \). Например, d = 0,5 соответствует r ≈ 0,24. Учтите, что d предназначено для сравнения средних двух групп, тогда как r подходит для непрерывных связей, поэтому преобразование оправдано лишь тогда, когда нужно объединить результаты в метаанализе, — и скорректируйте коэффициент 2, если объёмы групп неравны.