Калькулятор проекции вектора в трёхмерном пространстве
Введите координаты двух векторов в трёхмерном пространстве — и калькулятор построит проекцию одного из них на другой: покажет скалярную и векторную проекции, перпендикулярную составляющую, скалярное произведение, модули векторов и угол между ними.
Проекция одного 3D-вектора на другой
Формула проекции вектора в 3D
Здесь:
- \(\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\) — вектор, который проецируют;
- \(\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\) — вектор, задающий направление;
- \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) — скалярное произведение;
- \(\lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\) — модуль (длина) вектора \(\mathbf{b}\).
Формула показывает, какая «часть» вектора \(\mathbf{a}\) направлена вдоль \(\mathbf{b}\). Коэффициент \(k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2}\) масштабирует вектор \(\mathbf{b}\) так, что в результате получается «тень», которую \(\mathbf{a}\) отбрасывает на прямую, проходящую через \(\mathbf{b}\).
Из той же проекции получаются ещё две величины:
\[ \operatorname{comp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert} \qquad \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} \]
Скалярная проекция (компонента) — это длина «тени» с учётом знака, а перпендикулярная составляющая (ортогональное дополнение) — остаток вектора \(\mathbf{a}\), который всегда перпендикулярен \(\mathbf{b}\).
Проекция вектора в 3D — пример вычисления
Пример: спроецируем \(\mathbf{a} = (2, 3, 1)\) на \(\mathbf{b} = (1, 0, 2)\) (значения по умолчанию в калькуляторе).
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 4 \]
\[ \lvert \mathbf{a} \rvert = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \approx 3.742, \qquad \lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.236 \]
\[ k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2} = \frac{4}{5} = 0.8 \]
\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = 0.8 \cdot (1, 0, 2) = (0.8,\ 0,\ 1.6) \]
\[ \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\ 3,\ -0.6) \]
Результат: скалярная проекция равна \(4 / \sqrt{5} \approx 1.789\), векторная проекция — \((0.8, 0, 1.6)\), перпендикулярная составляющая — \((1.2, 3, -0.6)\) с модулем \(\approx 3.286\). Угол между векторами составляет \(\arccos\!\left(\tfrac{4}{\sqrt{70}}\right) \approx 61.4°\).
Как пользоваться калькулятором
- В поле «Вектор a — компоненты» введите координату x (aₓ), координату y (aᵧ) и координату z (a_z) первого вектора.
- В поле «Вектор b — компоненты» укажите три координаты второго вектора. Если по какой-то оси значения нет, поставьте 0.
- Выберите вариант в поле «Проецировать»: «a на b» показывает, какая часть \(\mathbf{a}\) лежит вдоль \(\mathbf{b}\); «b на a» меняет векторы местами.
- Прочитайте результаты: скалярную проекцию, векторную проекцию, перпендикулярную составляющую, а также скалярное произведение, модули обоих векторов, угол между ними и пошаговое решение.
Что такое проекция вектора в трёхмерном пространстве?
Геометрически проекция вектора \(\mathbf{a}\) на вектор \(\mathbf{b}\) — это тень, которую \(\mathbf{a}\) отбрасывает на прямую, проходящую через \(\mathbf{b}\), если свет падает перпендикулярно этой прямой. Результат — новый вектор, направленный точно так же (или строго противоположно), как \(\mathbf{b}\), а его длина показывает, насколько далеко \(\mathbf{a}\) простирается в этом направлении. Такую проекцию также называют составляющей вектора \(\mathbf{a}\) вдоль \(\mathbf{b}\).
Любая проекция раскладывает вектор на две перпендикулярные части: саму проекцию (параллельную \(\mathbf{b}\)) и перпендикулярную составляющую, которую нередко называют ортогональным дополнением. Эти части всегда в сумме дают исходный вектор: \(\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} + \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\), а их скалярное произведение равно нулю. Такое разложение лежит в основе процесса ортогонализации Грама — Шмидта, разложения сил на составляющие в физике и метода наименьших квадратов в статистике.
Скалярная проекция отвечает на вопрос «насколько далеко \(\mathbf{a}\) простирается вдоль \(\mathbf{b}\)?» одним числом со знаком. Она положительна, когда угол между векторами меньше 90°, равна нулю, когда векторы перпендикулярны, и отрицательна при угле больше 90° — это значит, что \(\mathbf{a}\) направлен частично против \(\mathbf{b}\). Сам угол находится из скалярного произведения по формуле \(\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert\mathbf{a}\rvert\,\lvert\mathbf{b}\rvert}\) — поэтому калькулятор выводит его вместе с проекцией.
Обратите внимание: проекция зависит от длины \(\mathbf{b}\), но не от его направления в том смысле, что при удвоении \(\mathbf{b}\) коэффициент \(k\) уменьшается вдвое, и сама векторная проекция не меняется. Иными словами, проекция определяется прямой, на которой лежит \(\mathbf{b}\), а не конкретным вектором — это прямая пропорциональная зависимость между \(k\) и \(\lvert\mathbf{b}\rvert^{-2}\). С такими пропорциональными зависимостями можно поэкспериментировать в калькуляторе прямой пропорциональности.
Допущения, ограничения и полезные замечания
- Векторы не должны быть нулевыми. У вектора направления модуль должен быть больше нуля, поскольку формула делит на \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\). У нулевого вектора нет направления, на которое можно проецировать; калькулятор подскажет, какой вектор нужно исправить.
- Знак имеет значение. Отрицательная скалярная проекция — вполне корректный результат: она означает, что проекция направлена противоположно \(\mathbf{b}\), и в векторной проекции координаты \(\mathbf{b}\) войдут с отрицательными множителями.
- Порядок имеет значение. Проекция \(\mathbf{a}\) на \(\mathbf{b}\) и проекция \(\mathbf{b}\) на \(\mathbf{a}\) в общем случае дают разные векторы (связаны между собой лишь скалярные проекции — через \(\lvert\mathbf{a}\rvert\) и \(\lvert\mathbf{b}\rvert\)). Переключить направление можно в выпадающем списке «Проецировать».
- Проверка перпендикулярности. Если скалярное произведение равно 0, векторы ортогональны: проекция — нулевой вектор, а перпендикулярная составляющая совпадает с исходным вектором.
- Модуль как среднеквадратичное значение. Модуль \(\lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\) — это среднеквадратичное значение трёх координат, умноженное на \(\sqrt{3}\); та же идея усреднения используется в калькуляторе среднего квадратического (СКЗ).
- Параллельные векторы. Если векторы параллельны (угол 0° или 180°), проекция совпадает с самим \(\mathbf{a}\) (с точностью до знака), а перпендикулярная составляющая — нулевой вектор.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить проекцию вектора в трёхмерном пространстве вручную?
Сначала найдите скалярное произведение \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) и квадрат длины \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\). Разделите скалярное произведение на \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) — получится коэффициент \(k\). Затем умножьте каждую координату \(\mathbf{b}\) на \(k\): произведение \(k\mathbf{b}\) и есть векторная проекция. Вычтите её из \(\mathbf{a}\), чтобы получить перпендикулярную составляющую.
Чем скалярная проекция отличается от векторной?
Скалярная проекция — это одно число со знаком: \((\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/\lvert\mathbf{b}\rvert\), то есть длина «тени» вдоль \(\mathbf{b}\) (отрицательная, если угол больше 90°). Векторная проекция — полноценный трёхмерный вектор \(k\mathbf{b}\), направленный вдоль \(\mathbf{b}\) и имеющий ровно такую длину. Они связаны соотношением \(\lvert\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert = \lvert\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert\).
Может ли проекция быть отрицательной или нулевой?
Да. Векторная проекция отрицательна (то есть является отрицательным кратным \(\mathbf{b}\)), когда угол между векторами больше 90° — это значит, что \(\mathbf{a}\) направлен частично против \(\mathbf{b}\). Если векторы перпендикулярны, проекция — нулевой вектор, поскольку скалярное произведение равно 0. Отрицательный результат корректен: это не ошибка, поэтому не отбрасывайте знак.
Почему проекция a на b отличается от проекции b на a?
Эти операции отвечают на разные вопросы. Проекция \(\mathbf{a}\) на \(\mathbf{b}\) показывает, насколько далеко \(\mathbf{a}\) простирается вдоль прямой вектора \(\mathbf{b}\), и результат всегда лежит на этой прямой. Если поменять векторы местами, получится вектор вдоль \(\mathbf{a}\). Совпасть проекции могут лишь тогда, когда векторы параллельны (один кратен другому), так что всегда проверяйте, какое направление вы выбрали.
Что будет, если вектор направления — нулевой?
Формула делит на \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\), а для нулевого вектора это 0, поэтому проекция не определена — у нулевого вектора нет направления, на которое можно проецировать. Калькулятор это распознаёт и просит ввести ненулевой вектор направления. Проецируемый вектор может быть любым, но чтобы существовал и угол между векторами, у обоих должна быть хотя бы одна ненулевая координата.
Где применяется проекция вектора в физике и других областях?
В физике с её помощью раскладывают силы и скорости на составляющие вдоль заданной оси — например, разделяют силу тяжести на части, параллельную наклонной плоскости и перпендикулярную ей. В компьютерной графике объекты проецируют на направления обзора, а в статистике та же математика лежит в основе регрессии методом наименьших квадратов, где данные проецируются на модель. Разложение на параллельную и перпендикулярную части — также ключевой шаг процесса ортогонализации Грама — Шмидта.
Изменится ли проекция, если масштабировать вектор направления?
Нет. Умножение \(\mathbf{b}\) на любую ненулевую константу не меняет векторную проекцию: скалярное произведение и \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) увеличиваются в одинаковое число раз и сокращаются. Важна только прямая, вдоль которой направлен \(\mathbf{b}\), а не его длина. Однако скалярная проекция меняет знак при замене \(\mathbf{b}\) на противоположный (умножении на отрицательную константу), поскольку она определяется относительно направления \(\mathbf{b}\).