Калькулятор векторного произведения в 3D
Введите координаты X, Y и Z двух векторов, чтобы мгновенно найти их векторное произведение. Калькулятор показывает итоговый вектор, его модуль и полное пошаговое решение.
Векторное произведение двух векторов
Формула векторного произведения в 3D
Где:
- \(A_x, A_y, A_z\) — координаты первого вектора \(\mathbf{A}\)
- \(B_x, B_y, B_z\) — координаты второго вектора \(\mathbf{B}\)
- \(C_x, C_y, C_z\) — координаты векторного произведения \(\mathbf{C}\)
- \(|\mathbf{C}|\) — модуль (длина) вектора векторного произведения
Векторное произведение \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) даёт новый вектор, перпендикулярный обоим векторам \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\), а его модуль равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Векторное произведение в 3D — пример вычисления
Пример: найдём векторное произведение \(\mathbf{A} = (2, 3, 4)\) и \(\mathbf{B} = (5, 6, 7)\).
\[ C_x = A_y B_z - A_z B_y = 3 \cdot 7 - 4 \cdot 6 = 21 - 24 = -3 \]
\[ C_y = A_z B_x - A_x B_z = 4 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 20 - 14 = 6 \]
\[ C_z = A_x B_y - A_y B_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 \]
\[ |\mathbf{C}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{54} \approx 7.348 \]
Результат: \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3,\ 6,\ -3)\), модуль \(\approx 7.348\).
Как пользоваться калькулятором векторного произведения
- Введите три координаты первого вектора в поля A — координата X, A — координата Y и A — координата Z.
- Введите три координаты второго вектора в поля B — координата X, B — координата Y и B — координата Z.
- Отрицательные значения и нули допустимы — просто поставьте минус там, где нужно.
- Результат отображается в блоке Ваше векторное произведение: координаты X, Y и Z итогового вектора, его модуль и пошаговое решение всех вычислений.
Что такое векторное произведение?
Векторное произведение — это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве. В отличие от скалярного произведения, которое возвращает одно число, векторное произведение возвращает вектор. Он перпендикулярен плоскости, в которой лежат оба исходных вектора, а его направление определяется по правилу правой руки: направьте пальцы правой руки вдоль \(\mathbf{A}\), согните их в сторону \(\mathbf{B}\) — и большой палец укажет направление \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
Порядок векторов имеет значение. При перестановке меняется знак каждой координаты: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\). Это свойство называется антикоммутативностью, и оно означает, что векторное произведение не коммутативно — при другом порядке векторов получится другой ответ.
У модуля векторного произведения есть геометрический смысл:
\[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}| \sin\theta \]
где \(\theta\) — угол между векторами. Эта величина равна площади параллелограмма, построенного на \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\). Если результат — нулевой вектор, значит, векторы параллельны (или один из них нулевой), поскольку \(\sin 0° = 0\). Чем больше угол между векторами, тем больше модуль векторного произведения — своего максимума он достигает, когда векторы перпендикулярны.
Векторные произведения встречаются в физике и технике повсюду: момент силы — это \(\mathbf{r} \times \mathbf{F}\), в магнитную силу входит \(\mathbf{v} \times \mathbf{B}\), а момент импульса равен \(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\). В компьютерной графике векторные произведения применяют для вычисления нормалей к поверхностям при расчёте освещения и затенения.
Допущения, ограничения и практические советы
- Только три измерения. Векторное произведение определено лишь для трёхмерных векторов (для двумерных существует урезанный вариант, возвращающий число). Калькулятор требует все три координаты каждого вектора.
- Порядок важен. Если у вас получился знак, противоположный ответу из учебника, проверьте, не вычислено ли там \(\mathbf{B} \times \mathbf{A}\) вместо \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
- Проверка перпендикулярности. Быстрый способ убедиться в правильности результата: скалярные произведения \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}\) и \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}\) должны оба равняться нулю, поскольку векторное произведение перпендикулярно обоим исходным векторам.
- Параллельные векторы. Если результат — нулевой вектор \((0, 0, 0)\), значит, исходные векторы параллельны или один из них нулевой. Это корректный результат, а не ошибка.
- Единицы измерения. Координаты должны быть выражены в согласованных единицах. Если \(\mathbf{A}\) задан в метрах, а \(\mathbf{B}\) — в ньютонах, векторное произведение получится в ньютон-метрах (N·m) — единицах момента силы.
Если хотите освежить базовую арифметику, стоящую за перемножением координат, отдельные шаги помогут выполнить калькулятор умножения и калькулятор вычитания.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить векторное произведение вручную, без калькулятора?
Разложите определитель 3×3 по первой строке: для каждой координаты перемножьте и вычтите соответствующие пары произведений. Полезная подсказка для средней координаты: её знак отрицателен в разложении определителя — именно поэтому в формуле \(C_y = A_z B_x - A_x B_z\) слагаемые идут в порядке, обратном двум другим. Выписывайте каждое произведение отдельно, прежде чем вычитать, — большинство ошибок при ручном счёте сводится к путанице со знаками и порядком слагаемых.
Чем векторное произведение отличается от скалярного?
Скалярное произведение принимает два вектора и возвращает число (скаляр), которое вычисляется как \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |A||B|\cos\theta\). Оно показывает, насколько векторы направлены в одну сторону. Векторное произведение возвращает вектор, перпендикулярный обоим исходным, с модулем \(|A||B|\sin\theta\). Скалярное произведение — про сонаправленность, векторное — про перпендикулярность и вращательные эффекты вроде момента силы.
Почему мой ответ отличается от ответа в учебнике только знаком?
Почти всегда из-за перестановки векторов местами. Векторное произведение антикоммутативно: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\), поэтому каждая координата меняет знак. Проверьте, какой вектор в вашем источнике указан первым. Если порядок совпадает, перепроверьте среднюю координату \(C_y\) — именно её формулу чаще всего записывают со слагаемыми в неправильном порядке.
Можно ли использовать этот калькулятор для двумерных векторов?
Да — задайте Z-координаты обоих векторов равными 0. Результат всегда будет направлен вдоль оси Z: для \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, 0)\) и \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, 0)\) векторное произведение равно \((0, 0, A_x B_y - A_y B_x)\). Это значение — Z-координата — как раз и есть то, что в геометрии называют «псевдоскалярным произведением», а его модуль равен площади параллелограмма, построенного на двух векторах.
Как найти угол между векторами через векторное произведение?
Вычислите \(\sin\theta = |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| / (|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|)\), где числитель — модуль, который показывает этот калькулятор, а \(|\mathbf{A}|\) и \(|\mathbf{B}|\) — длины исходных векторов. Затем \(\theta = \arcsin(\sin\theta)\). Учтите ограничение: по одному лишь векторному произведению нельзя отличить \(\theta\) от \(180° - \theta\). Чтобы однозначно получить угол от 0° до 180°, дополните вычисление скалярным произведением или воспользуйтесь методом atan2.
Как по векторному произведению найти площадь треугольника?
Модуль \(|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\) равен площади параллелограмма, построенного на двух векторах. Треугольник — ровно половина этого параллелограмма, поэтому площадь треугольника равна \(\frac{1}{2}|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\). Для треугольника с вершинами \(P\), \(Q\), \(R\) возьмите \(\mathbf{A} = Q - P\) и \(\mathbf{B} = R - P\), а затем поделите пополам модуль, полученный от этого калькулятора.
Работает ли калькулятор с десятичными дробями?
Да, во все поля можно вводить десятичные числа, включая отрицательные значения и нули — минус вводится напрямую. Результаты выводятся с точностью до трёх знаков после запятой. Если нужны точные дроби, сначала переведите их в десятичные (например, \(\frac{1}{3} \approx 0.333\)) — но учтите, что округление исходных данных немного меняет точный результат, поэтому оставляйте столько знаков, сколько требует нужная точность.