Ballistisches Pendel – Rechner
Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines Geschosses mithilfe eines ballistischen Pendels. Geben Sie die Massen von Geschoss und Pendelblock sowie die Ausschlaghöhe oder den Ausschlagwinkel und die Pendellänge ein.
Geschwindigkeit des Geschosses mit einem ballistischen Pendel bestimmen
Formel für das ballistische Pendel
Dabei gilt:
- \(v\) — Geschwindigkeit des Geschosses unmittelbar vor dem Einschlag (m/s)
- \(m\) — Masse des Geschosses (kg)
- \(M\) — Masse des Pendelblocks (kg)
- \(u = \sqrt{2gh}\) — Geschwindigkeit von Geschoss und Block gemeinsam unmittelbar nach dem Einschlag (m/s)
- \(g\) — Erdbeschleunigung, 9,80665 m/s\(^2\)
- \(h\) — vertikale Steighöhe des Blocks während des Ausschlags (m)
- \(L\) — Pendellänge vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt (m)
- \(\theta\) — maximaler Ausschlagwinkel gegenüber der Senkrechten (Grad)
Die Formel verbindet zwei physikalische Gesetze: Während des vollkommen unelastischen Stoßes bleibt der Impuls erhalten, \(mv = (m + M)u\), und während des Aufschwungs bleibt die mechanische Energie erhalten, \(\tfrac{1}{2}(m + M)u^2 = (m + M)gh\). Die Kombination beider Gleichungen liefert die Geschwindigkeit des Geschosses vor dem Einschlag.
Ballistisches Pendel – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Geschoss der Masse 10 g bleibt in einem 250 g schweren Pendelblock stecken. Der Block schwingt auf einem 0,5 m langen Pendel bis zu einem maximalen Winkel von 30\(\degree\) aus. Wie schnell war das Geschoss?
Zuerst wird die Steighöhe des Ausschlags berechnet:
\[ h = L (1 - \cos\theta) = 0.5 \times (1 - \cos 30\degree) = 0.06699 \text{ m} \]
Dann die Geschwindigkeit der vereinigten Masse unmittelbar nach dem Einschlag:
\[ u = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9.80665 \times 0.06699} = 1.146 \text{ m/s} \]
Zum Schluss wird die Impulserhaltung angewendet:
\[ v = \frac{m + M}{m} \, u = \frac{0.01 + 0.25}{0.01} \times 1.146 = 29.80 \text{ m/s} \]
Ergebnis: Das Geschoss war unmittelbar vor dem Einschlag rund 29,80 m/s (107,3 km/h, 97,8 ft/s) schnell. Die vereinigte Masse bewegte sich nach dem Einschlag mit nur 1,146 m/s, und 96,2 % der anfänglichen kinetischen Energie (etwa 4,27 J) gingen beim Stoß als Wärme und Verformung verloren.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die Geschossmasse (m) ein und wählen Sie die Einheit (g, kg, lb oder oz). Gemeint ist die Masse des Geschosses – etwa Kugel oder Pellet –, das im Block stecken bleibt.
- Geben Sie die Pendulummasse (M) mit ihrer Einheit ein – die Masse des Blocks allein, ohne das Geschoss.
- Wählen Sie unter Wie wird der maximale Ausschlag gemessen?, ob Sie die Steighöhe direkt bestimmt haben (Über die Ausschlaghöhe (h)) oder Winkel und Pendellänge gemessen haben (Über Ausschlagwinkel und Länge (\(\theta\), L)).
- Je nach Auswahl geben Sie entweder die maximale Ausschlaghöhe (h) ein oder sowohl den maximalen Ausschlagwinkel (\(\theta\)) in Grad als auch die Pendellänge (L) vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt des beladenen Blocks.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Geschwindigkeit des Geschosses vor dem Einschlag in verschiedenen Einheiten, die gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Einschlag, die Ausschlaghöhe sowie eine Aufschlüsselung des Energieverlusts beim Stoß.
Was ist ein ballistisches Pendel?
Ein ballistisches Pendel ist ein klassisches physikalisches Messgerät für die Geschwindigkeit eines schnellen Geschosses, die sich nicht ohne Weiteres durch Zeitmessung erfassen lässt. Das Geschoss wird horizontal in einen schweren Block geschossen, der an langen Schnüren oder Stangen aufgehängt ist. Es bleibt im Block stecken, der Block schwingt nach oben, und der maximale Ausschlag – an einer Skala oder als Winkel abgelesen – verrät, wie schnell das Geschoss gewesen sein muss.
Die Auswertung erfolgt in zwei Stufen, weil zwei unterschiedliche Erhaltungssätze gelten. Während des sehr kurzen Stoßes bleibt die kinetische Energie nicht erhalten – ein großer Teil davon geht in die Verformung von Block und Geschoss über –, der Impuls dagegen schon. Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit \(u\) der vereinigten Masse unmittelbar nach dem Einschlag. Beim anschließenden langsamen Aufschwingen sind Reibung und Luftwiderstand vernachlässigbar, sodass die mechanische Energie erhalten bleibt: Kinetische Energie wird in potentielle Lageenergie umgewandelt – und genau das misst die Ausschlaghöhe.
Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit des Geschosses stets um den Massenfaktor \((m + M)/m\) größer ist als die Geschwindigkeit nach dem Einschlag. Bei einem leichten Geschoss und einem schweren Block ist dieser Faktor groß – im obigen Beispiel beträgt er 26 –, sodass ein bescheidener Ausschlag des Blocks auf ein schnelles Geschoss schließen lässt. Deshalb weist der Rechner auch einen großen Energieverlust aus: Der Verlust kinetischer Energie beim Stoß ist kein Fehler, sondern der eigentliche Grund, warum die Messung mit dem Pendel ohne Zeitmessgeräte möglich ist.
Historisch wurden ballistische Pendel seit dem 18. Jahrhundert zur Bestimmung der Mündungsgeschwindigkeit von Schusswaffen eingesetzt, und dasselbe Prinzip findet sich bis heute in physikalischen Anfängerpraktika. Es bleibt ein anschaulicher Nachweis dafür, dass Impuls- und Energieerhaltung jeweils in ihrem eigenen Bereich gelten – und dass ihre Verwechslung zu falschen Ergebnissen führt.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Vollkommen unelastischer Stoß. Das Geschoss muss im Block stecken bleiben. Prallt es ab oder fliegt hindurch, ist die Impulsübertragung eine andere, und das Ergebnis wird falsch.
- Augenblicklicher Stoß. Gravitation und Schnurkräfte werden während des Stoßes vernachlässigt – zulässig, weil der Einschlag nur Millisekunden dauert.
- Reibungsfreier Ausschlag. Aufhängung und Luftwiderstand werden vernachlässigt, deshalb unterschätzt die gemessene Ausschlaghöhe die tatsächliche Geschwindigkeit nach dem Einschlag etwas. Reale Pendel verlieren einige Prozent ihres Ausschlags durch Reibung.
- Pendellänge bis zum Schwerpunkt. Beim Winkelverfahren muss \(L\) vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt des Blocks mit eingedrungenem Geschoss gemessen werden, nicht als Schnurlänge.
- Winkel nahe 180\(\degree\). Die Höhenformel \(h = L(1 - \cos\theta)\) reagiert in der Nähe von 180\(\degree\) sehr empfindlich; kleine Winkelfehler führen dann zu großen Geschwindigkeitsfehlern. Auch sehr kleine Ausschläge sind problematisch, weil die Höhe dann kaum genau zu messen ist – Winkel zwischen etwa 10\(\degree\) und 60\(\degree\) liefern die beste Genauigkeit.
- Block deutlich schwerer als das Geschoss. Ein großes Massenverhältnis verstärkt die Messunsicherheit der Massen; geben Sie \(m\) mit mindestens einer Nachkommastelle an.
Wenn Sie sich eingehender mit Wurfbewegungen befassen, können Sie die berechnete Geschwindigkeit mit der Schallgeschwindigkeit in Luft vergleichen, um zu prüfen, ob das Geschoss überschallschnell ist, über die Froude-Zahl abschätzen, wie Abwurfwinkel und Pendelgeometrie zusammenwirken, oder den Geschwindigkeitsverlust im Flug mithilfe der Luftwiderstandskraft berücksichtigen.
Häufig gestellte Fragen
Warum kann ich nicht einfach die kinetische Energie des Geschosses gleich der potentiellen Energie am höchsten Punkt des Ausschlags setzen?
Das ist der häufigste Fehler bei diesem Versuch. Die kinetische Energie bleibt beim Einschlag nicht erhalten – in der Regel verwandeln sich über 90 % davon in Wärme, Verformung und Schall, während das Geschoss im Block stecken bleibt. Nur der Impuls übersteht den Stoß unverändert. Wer \(\tfrac{1}{2}mv^2 = (m+M)gh\) setzt, statt \(v = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}\) zu verwenden, unterschätzt die Geschwindigkeit um einen großen Faktor.
Was passiert, wenn das Geschoss abprallt oder durch den Block fliegt?
Das Ergebnis wird falsch sein, denn die Formel setzt einen vollkommen unelastischen Stoß voraus, bei dem Geschoss und Block anschließend gemeinsam weiterfliegen. Prallt das Geschoss zurück, ist die Impulsübertragung größer als angenommen, und die Geschwindigkeit wird unterschätzt; schlägt es durch, ist sie kleiner, und die Geschwindigkeit wird überschätzt. Verwenden Sie ein Blockmaterial, das weich oder dick genug ist, um das Geschoss vollständig aufzunehmen – etwa Ton, Wachs oder ausreichend dickes Holz.
Wie finde ich den Schwerpunkt des beladenen Pendels für die Länge L?
Bringen Sie den Block (mit einem gleichartigen Geschoss darin) auf einer Schneide oder Ihrem Finger ins Gleichgewicht – der Auflagepunkt ist der Schwerpunkt. Messen Sie vom Aufhängepunkt bis zu diesem Punkt, nicht die gesamte Schnur- oder Stangenlänge. Alternativ können Sie rechnen: \(L = \frac{M L_{block} + m L_{projectile}}{m + M}\), wobei jede Länge vom Aufhängepunkt bis zum jeweiligen Schwerpunkt des betreffenden Objekts gemessen wird. Bei einem schweren Block ist der Unterschied zum Blockschwerpunkt klein, aber messbar.
Warum weicht meine berechnete Geschwindigkeit von der Anzeige eines Chronographen ab?
Dafür gibt es drei Hauptgründe. Erstens verlieren reale Pendel einige Prozent ihres Ausschlags durch Reibung an der Aufhängung und Luftwiderstand; die Höhe ist dadurch etwas zu klein, und die Geschwindigkeit wird unterschätzt. Zweitens verliert das Geschoss auf dem Weg von der Mündung zum Block etwas an Geschwindigkeit – ein Chronograph an der Mündung misst also etwas anderes. Drittens rotiert der Block und verschwendet Energie, wenn der Treffpunkt nicht mit dem Schwerpunkt des Blocks fluchtet, was das Ergebnis ebenfalls zu klein ausfallen lässt. Bei einem sorgfältigen Versuchsaufbau ist eine Übereinstimmung innerhalb weniger Prozent zu erwarten.
Spielt es eine Rolle, wenn ich Massen in Gramm und Längen in Zoll oder Fuß eingebe?
Nein – der Rechner wandelt jede Einheit intern in SI-Einheiten um (Kilogramm und Meter), Sie können also g, kg, lb und oz für die Massen sowie m, cm, mm, ft oder in für Längen und Höhen beliebig mischen. Der einzige Eingabewert ohne Einheitenwahl ist der Ausschlagwinkel, der immer in Grad gegenüber der Senkrechten angegeben werden muss, nicht im Bogenmaß. Nur die Ausgaben sind fest in m/s (mit angezeigten Umrechnungen in km/h, ft/s und mph).
Welcher Ausschlagwinkel und welches Massenverhältnis liefern die genauesten Ergebnisse?
Legen Sie den maximalen Ausschlagwinkel auf etwa 10° bis 60° fest. Unter 10° ist die Höhe winzig und schwer zu messen; oberhalb von etwa 60°, insbesondere nahe 180°, blähen kleine Winkelfehler das Ergebnis auf, weil sich \(1 - \cos\theta\) dort sehr steil ändert. Wählen Sie den Block etwa 20- bis 100-mal so schwer wie das Geschoss: Schwerere Blöcke schwingen weniger aus (schlechtere Höhengenauigkeit), leichtere machen das Massenverhältnis empfindlich gegen Wiegefehler.
Kann dieser Rechner auch für Pfeile, Airsoft-BBs oder Paintballs verwendet werden?
Ja, solange das Geschoss im Block stecken bleibt – Pfeile in einem Stroh- oder Schaumstoff-Zielblock sind eine klassische Variante. Airsoft-BBs und Paintballs zerspringen oder prallen oft ab, was die Annahme des vollkommen unelastischen Stoßes verletzt; verwenden Sie daher ein weiches Auffangmedium wie Modelliermasse. Die zweistufige Physik bleibt dieselbe: Impulserhaltung beim Einschlag, danach Energieerhaltung während des Ausschlags.