Fläche eines regelmäßigen Vielecks berechnen

Q: Wie berechne ich die Fläche, wenn ich nur den Umfang kenne?

Kombinieren Sie die Formeln: Da s = P/n, gilt A = P^2 / (4ntan(π/n)). Ein regelmäßiges Fünfeck mit dem Umfang 50 cm hat zum Beispiel die Fläche A = 2500 / (20tan 36°) ≈ 172.05 cm^2. Geben Sie im Rechner die Seitenlänge s = P/n ein und Sie erhalten dasselbe Ergebnis samt Apothem und Winkeln.

Q: Gibt es einfachere Formeln für häufige Formen?

Ja. Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seite s hat die Fläche frac3√(3)2s^2 ≈ 2.598 s^2. Ein regelmäßiges Achteck hat die Fläche 2(1+√(2)) s^2 ≈ 4.828 s^2. Ein Quadrat ist schlicht s^2 und ein gleichseitiges Dreieck frac√(3)4s^2 ≈ 0.433 s^2. All das sind Spezialfälle der allgemeinen Formel und eignen sich gut für schnelle Plausibilitätsprüfungen.

Aktualisiert: 15 Oktober 2026

Berechnen Sie die Fläche eines beliebigen regelmäßigen Vielecks anhand der Seitenlänge, des Apothems (Inkreisradius) oder des Umkreisradius. Geben Sie die Anzahl der Seiten und eine bekannte Größe ein und Sie erhalten Fläche, Umfang und Innenwinkel.

Fläche eines regelmäßigen Polygons berechnen

Fläche regelmäßiger Vielecke

Formel

\[ A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)} = \frac{1}{2}\,P\,a = \frac{1}{2}\,n\,R^2\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right) \]

Dabei ist:

\(n\) — Anzahl der Seiten (\(n \ge 3\))
\(s\) — Länge einer Seite
\(a\) — Apothem (Abstand vom Mittelpunkt zur Seitenmitte, also der Inkreisradius)
\(R\) — Umkreisradius (Abstand vom Mittelpunkt zu einem Eckpunkt)
\(P = n \cdot s\) — Umfang
\(\pi \approx 3.14159\)

Alle drei Formeln liefern dieselbe Fläche – Sie wählen einfach diejenige, die zur bekannten Größe passt. Die mittlere Form \(A = \tfrac{1}{2}Pa\) ist der klassische Ansatz, bei dem das Vieleck in \(n\) deckungsgleiche Dreiecke zerlegt wird, deren Grundseite \(s\) und Höhe \(a\) ist.

Fläche regelmäßiger Vielecke – Rechenbeispiel

Beispiel: ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge 10 cm.

\[ a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)} = \frac{10}{2\tan(\pi/6)} = \frac{10}{2 \cdot 0.5774} \approx 8.660 \text{ cm} \]

\[ P = n \cdot s = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm} \]

\[ A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 8.660 \approx 259.81 \text{ cm}^2 \]

Ergebnis: Die Fläche beträgt ungefähr 259,81 cm². Der Rechner zeigt zusätzlich den Umkreisradius \(R = 10\) cm und einen Innenwinkel von 120° an.

So verwenden Sie den Rechner

Geben Sie die Anzahl der Seiten (n) ein — jede ganze Zahl von 3 (Dreieck) bis 10.000.
Wählen Sie die bekannte Größe im Auswahlfeld Bekannte Größe: Seitenlänge (s), Apothem (a) oder Umkreisradius (R). Nur das passende Eingabefeld bleibt sichtbar.
Tragen Sie den Wert in das erscheinende Feld ein — Seitenlänge (s), Apothem (a) oder Umkreisradius (R) — und wählen Sie die Einheit (m, cm, mm, ft oder in).
Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Fläche (im Quadrat Ihrer Einheit) sowie Umfang, Seitenlänge, Apothem, Umkreisradius, Innenwinkel und eine Schritt-für-Schritt-Herleitung.

Was ist ein regelmäßiges Vieleck?

Ein regelmäßiges Vieleck ist eine geschlossene Figur mit geraden Seiten, bei der alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Vertraute Beispiele sind das gleichseitige Dreieck (\(n=3\)), das Quadrat (\(n=4\)), das regelmäßige Fünfeck (\(n=5\)) und das regelmäßige Sechseck (\(n=6\)). Weil alle Seiten und Winkel übereinstimmen, ist ein regelmäßiges Vieleck schon durch zwei Angaben vollständig bestimmt: die Anzahl der Seiten und eine Länge.

Die Flächenformel entsteht, indem man das Vieleck in \(n\) deckungsgleiche Dreiecke zerlegt, die sich im Mittelpunkt treffen. Jedes Dreieck hat die Grundseite \(s\) (eine Seite des Vielecks) und die Höhe \(a\) (das Apothem), seine Fläche beträgt also \(\tfrac{1}{2}sa\). Multipliziert man dies mit \(n\) Seiten, ergibt sich \(A = \tfrac{1}{2}na s = \tfrac{1}{2}Pa\). Denselben Gedanken nutzt man, um im Grenzfall die Kreisfläche herzuleiten: Wird \(n\) sehr groß, ist das Vieleck von einem Kreis mit dem Radius \(R\) nicht mehr zu unterscheiden, und die Formel strebt gegen \(\pi R^2\).

Zwei abgeleitete Größen sollte man kennen. Das Apothem ist der Radius des Inkreises — der größten Kreises, der vollständig ins Vieleck passt und jede Seite in ihrer Mitte berührt. Der Umkreisradius ist der Radius des Umkreises, der durch alle Eckpunkte verläuft. Die drei Größen hängen über die Beziehungen \(s = 2a\tan(\pi/n) = 2R\sin(\pi/n)\) und \(a = R\cos(\pi/n)\) zusammen — deshalb kann der Rechner aus einer einzigen davon alle übrigen bestimmen.

Der in den Ergebnissen angezeigte Innenwinkel ergibt sich aus \(\alpha = (n-2) \cdot 180°/n\). Das ist im Bauwesen, beim Fliesenlegen und in der Holzverarbeitung nützlich: Ein Sechseck hat beispielsweise 120°-Ecken, Bretter werden daher mit einem Gehrungswinkel von 60° geschnitten, damit sie zusammenpassen.

Voraussetzungen, Grenzen und Tipps

Nur regelmäßige Vielecke. Die Formeln setzen voraus, dass alle Seiten und Winkel gleich sind. Bei einem unregelmäßigen Vieleck zerlegen Sie es in Dreiecke oder Trapeze und addieren die Flächen.
Konsistente Einheiten. Die Einheitenauswahl rechnet die Eingabe automatisch um, und die Fläche wird in der zugehörigen Quadrat-Einheit ausgegeben (z. B. cm → cm²). Wenn Sie von Hand rechnen, bringen Sie vorab alle Längen auf dieselbe Einheit.
Wählen Sie die Größe, die Sie tatsächlich gemessen haben. In der Praxis kennt man oft den Schlüsselweiten-Abstand (das Doppelte des Apothems bei geradem \(n\)) oder den Lochkreisdurchmesser (Umkreisradius) statt einer Seite — wählen Sie diese Option, um Rundungsfehler durch eine Zwischenumrechnung zu vermeiden.
Große \(n\). Werte bis 10.000 sind möglich; bei so vielen Seiten ist das Ergebnis praktisch die Fläche eines Kreises mit dem Radius \(R\), da \(A \to \pi R^2\) für \(n \to \infty\).
Rundung. Ergebnisse werden auf drei Nachkommastellen angezeigt. Zwischenwerte in den Rechenschritten werden für die Darstellung gerundet, daher kann eine Kontrollrechnung von Hand in der letzten Stelle abweichen.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich die Fläche, wenn ich nur den Umfang kenne?

Kombinieren Sie die Formeln: Da \(s = P/n\), gilt \(A = P^2 / (4n\tan(\pi/n))\). Ein regelmäßiges Fünfeck mit dem Umfang 50 cm hat zum Beispiel die Fläche \(A = 2500 / (20\tan 36°) \approx 172.05\text{ cm}^2\). Geben Sie im Rechner die Seitenlänge \(s = P/n\) ein und Sie erhalten dasselbe Ergebnis samt Apothem und Winkeln.

Warum weicht meine Handrechnung vom Ergebnis ab?

Der häufigste Fehler ist die Verwendung von Grad statt Radiant (oder umgekehrt). Die Formel \(A = ns^2/(4\tan(\pi/n))\) erwartet den Tangens eines Winkels im Bogenmaß. Steht Ihr Taschenrechner auf Grad, verwenden Sie stattdessen \(\tan(180°/n)\). Prüfen Sie außerdem, ob die Anzahl der Seiten und die Seitenlänge vertauscht wurden und ob alle Längen vor dem Rechnen in derselben Einheit vorliegen.

Wie gebe ich das Maß über die Ecken bzw. die Schlückelweite ein, wie bei einer Sechskantmutter?

Die Schlüsselweite ist bei Vielecken mit einer geraden Seitenzahl das Doppelte des Apothems. Messen Sie sie, teilen Sie durch 2 und geben Sie diesen Wert als Apothem \(a\) ein. Bei einem Sechseck mit 20 mm Schlüsselweite beträgt das Apothem 10 mm, und der Rechner liefert eine Fläche von etwa 259,81 mm². Wenn Sie die tatsächlich gemessene Größe direkt verwenden, vermeiden Sie Rundungsfehler aus der eigenen Umrechnung in eine Seitenlänge.

Gibt es einfachere Formeln für häufige Formen?

Ja. Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seite \(s\) hat die Fläche \(\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 \approx 2.598\,s^2\). Ein regelmäßiges Achteck hat die Fläche \(2(1+\sqrt{2})\,s^2 \approx 4.828\,s^2\). Ein Quadrat ist schlicht \(s^2\) und ein gleichseitiges Dreieck \(\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 \approx 0.433\,s^2\). All das sind Spezialfälle der allgemeinen Formel und eignen sich gut für schnelle Plausibilitätsprüfungen.

Hat ein regelmäßiges Vieleck bei gegebenem Umfang die größte Fläche?

Unter allen Vielecken mit derselben Seitenzahl und demselben Umfang ja — das regelmäßige umschließt die maximale Fläche. Deshalb liefert die Formel eine obere Grenze: Jedes unregelmäßige Vieleck mit gleichem \(n\) und gleichem Umfang hat eine kleinere Fläche. Im Grenzfall nähert sich das regelmäßige Vieleck mit wachsender Seitenzahl dem Kreis an, der von allen Formen die größte Fläche pro Umfang einschließt.

Kann ich diesen Rechner auch für unregelmäßige Vielecke oder Kreise verwenden?

Nein — die Formeln gelten nur, wenn alle Seiten und Winkel gleich sind. Bei einem unregelmäßigen Vieleck zerlegen Sie es in Dreiecke oder Rechtecke, berechnen die einzelnen Flächen und addieren sie; alternativ funktioniert die Gaußsche Trapezformel aus den Eckpunktkoordinaten. Für einen Kreis verwenden Sie direkt \(A = \pi r^2\). Ein regelmäßiges Vieleck mit sehr vielen Seiten ist einem Kreis fast gleich, ein großes \(n\) nähert ihn also gut an.

Wie kann ich das Ergebnis auf Plausibilität prüfen?

Vergleichen Sie die Vieleckfläche mit zwei Bezugswerten: Der Inkreis \(\pi a^2\) ist immer etwas kleiner, der Umkreis \(\pi R^2\) immer etwas größer. Ihr Ergebnis sollte dazwischen liegen und sich mit wachsendem \(n\) beiden nähern. Kontrollieren Sie außerdem den Innenwinkel: Er muss kleiner als 180° sein und \((n-2)\cdot 180°/n\) betragen — etwa 108° beim Fünfeck und 135° beim Achteck.