Rydberg-Gleichung-Rechner

Q: Wie berechne ich eine Wasserstoff-Wellenlänge mit der Rydberg-Formel von Hand?

Bilden Sie die Kehrwerte der quadrierten Quantenzahlen, subtrahieren Sie sie voneinander und multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Rydberg-Konstante: 1/λ = R_H · |1/n_f^2 - 1/n_i^2|. Anschließend bilden Sie den Kehrwert, um die Wellenlänge in Metern zu erhalten. Beispiel für n_i = 4, n_f = 2: 1/λ = 1.0967758×10^7 × 3/16 = 2.056×10^6\ m^-1, also λ ≈ 486 nm — die blaugrüne Hβ-Linie.

Q: Spielt es eine Rolle, welches Niveau ich zuerst eingebe — Ausgangs- oder Zielniveau?

Nein, Wellenlänge, Frequenz und Photonenenergie sind in beiden Fällen identisch, weil die Formel einen Betrag verwendet. Nur die Deutung ändert sich: Wer das höhere Niveau zuerst eingibt, beschreibt eine Emission (das Elektron fällt herab und gibt ein Photon ab), wer das niedrigere Niveau zuerst eingibt, die Absorption eines Photons derselben Wellenlänge. Nur gleich große Zahlen sollten Sie vermeiden — identische Niveaus erzeugen gar kein Photon.

Q: Warum lehnt der Rechner meine Eingabe ab, wenn beide Quantenzahlen gleich sind?

Wenn n_i = n_f, ist der Term 1/n_f^2 - 1/n_i^2 null; die Wellenzahl ist damit null und die Wellenlänge wäre unendlich — physikalisch findet kein Übergang statt und es entsteht kein Photon, weil sich die Energie des Elektrons nicht ändert. Wählen Sie zwei verschiedene ganze Zahlen, jeweils mindestens 1. Beachten Sie außerdem, dass n eine ganze Zahl sein muss: Werte wie 1,5 sind keine gültigen Energieniveaus.

Q: Welchen Wellenlängenbereich können Wasserstofflinien haben?

Die kürzestmögliche Linie ist die Lyman-Grenze bei etwa 91,2 nm (fernes Ultraviolett); sie entspricht der vollen Ionisationsenergie von 13,6 eV ausgehend vom Grundzustand. Linien mit höherem oberen Niveau haben größere Wellenlängen und rücken immer enger zusammen, je näher sie der jeweiligen Seriengrenze kommen. Übergänge, die auf n = 2 enden, liegen zwischen 410 nm und 656 nm — das sind die einzigen Wasserstofflinien, die das menschliche Auge sehen kann; alles, was auf n = 1 endet, liegt im Ultravioletten, und alles ab n ≥ 3 im Infraroten.

Q: Kann ich diesen Rechner für He⁺, Li²⁺ oder andere wasserstoffähnliche Ionen verwenden?

Nicht direkt, aber die Korrektur ist einfach. Für ein Ein-Elektronen-Ion mit der Kernladungszahl Z multiplizieren Sie die Wellenzahl mit Z^2: 1/λ = R_H Z^2 |1/n_f^2 - 1/n_i^2|. Nehmen Sie die Wellenlänge aus diesem Rechner und teilen Sie sie durch Z^2. Für He⁺ (Z = 2) ist jede Linie viermal kürzer als die entsprechende Wasserstofflinie. Für neutrales Helium oder beliebige Atome mit mehreren Elektronen funktioniert die Formel nicht.

Q: Warum weicht meine gemessene Hα-Wellenlänge leicht vom berechneten Wert 656,47 nm ab?

Dafür gibt es zwei häufige Gründe. Erstens liefert der Rechner Vakuumwellenlängen; in Luft verschiebt sich die Linie um etwa 0,1–0,3 nm (Hα erscheint in normaler Luft bei 656,28 nm). Zweitens lösen hochauflösende Instrumente Feinstruktur, Lamb-Verschiebung und Isotopenaufspaltungen auf, die dieses einfache Modell außer Acht lässt. In der Astronomie verschiebt zusätzlich die Bewegung des Gases die Linien über den Doppler-Effekt — eine rot- oder blauverschobene Hα-Linie ist völlig normal und wird sogar gezielt zur Geschwindigkeitsmessung genutzt.

Q: Was ist der Unterschied zwischen R_H und der Rydberg-Konstanten R∞ aus den Lehrbüchern?

R_∞ = 1.0973732×10^7\ m^-1 setzt einen unendlich schweren Kern voraus, während R_H = 1.0967758×10^7\ m^-1 die endliche reduzierte Masse des Elektron-Proton-Systems im realen Wasserstoff berücksichtigt. Der Unterschied beträgt etwa 0,05 %, wodurch sich Hα um rund ein Drittel eines Nanometers verschiebt. Dieser Rechner verwendet R_H, sodass seine Ergebnisse beobachtete Wasserstofflinien genauer wiedergeben; R_∞ verwenden Sie nur, wenn der Kern als feststehend behandelt wird.

Aktualisiert: 15 Oktober 2026

Geben Sie die Hauptquantenzahlen des Ausgangs- und Zielniveaus eines Elektronenübergangs im Wasserstoffatom ein und erhalten Sie Wellenlänge, Frequenz und Photonenenergie der Spektrallinie – dazu die zugehörige Serie (Lyman, Balmer, Paschen …).

Wellenlänge einer Wasserstofflinie aus Quantenzahlen berechnen

Formel der Rydberg-Gleichung

Formel

\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left| \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right| \]

Dabei bedeuten:

\(\lambda\) — Wellenlänge des emittierten oder absorbierten Photons (m)
\(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\) — Rydberg-Konstante für Wasserstoff (mit Korrektur für die reduzierte Masse des Atoms)
\(n_i\) — Hauptquantenzahl des Ausgangsniveaus des Elektrons
\(n_f\) — Hauptquantenzahl des Zielniveaus des Elektrons

Die Formel liefert die reziproke Wellenlänge (Wellenzahl) des Photons, das entsteht, wenn ein Elektron im Wasserstoffatom zwischen zwei Energieniveaus springt. Mit den zugehörigen Beziehungen \(\nu = c/\lambda\) und \(E = h\nu = hc/\lambda\) lässt sich die Wellenlänge in Frequenz und Photonenenergie umrechnen.

Rydberg-Gleichung – Rechenbeispiel

Beispiel: Ein Elektron im Wasserstoffatom fällt vom Niveau \(n_i = 3\) auf das Niveau \(n_f = 2\) herab — der Übergang, aus dem die berühmte rote Hα-Linie entsteht.

\[ \frac{1}{\lambda} = 1.0967758 \times 10^7 \times \left| \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right| = 1.0967758 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.5233 \times 10^6\ \text{m}^{-1} \]

\[ \lambda = \frac{1}{1.5233 \times 10^6} \approx 6.5647 \times 10^{-7}\ \text{m} = 656.47\ \text{nm} \]

\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{2.9979 \times 10^8}{6.5647 \times 10^{-7}} \approx 4.568 \times 10^{14}\ \text{Hz} \]

Ergebnis: \(\lambda \approx 656.47\) nm, \(\nu \approx 456.81\) THz, Photonenenergie \(E \approx 1.89\) eV \((3.03 \times 10^{-19}\) J) — die rote Hα-Linie der Balmer-Serie.

So verwenden Sie den Rechner für die Rydberg-Gleichung

Geben Sie das Ausgangsniveau (nᵢ) ein — die Hauptquantenzahl, bei der das Elektron startet. Für eine Emissionslinie ist das das höhere Niveau (z. B. 3).
Geben Sie das Zielniveau (n_f) ein — das Niveau, auf dem das Elektron endet. Für eine Emissionslinie ist das das niedrigere Niveau (z. B. 2).
Beide Zahlen müssen ganze Zahlen zwischen 1 und 100 sein und voneinander abweichen — identische Niveaus erzeugen kein Photon.
Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Wellenlänge in Nanometern, die Frequenz in Terahertz und die Photonenenergie sowohl in eV als auch in Joule, zusammen mit Übergangstyp, Spektralserie und Wellenlängenbereich.

Wenn \(n_i > n_f\) gilt, beschreibt der Rechner eine Emissionslinie (das Elektron fällt herab und gibt dabei ein Photon ab); bei \(n_i < n_f\) beschreibt er eine Absorptionslinie (das Elektron wird durch Absorption eines Photons genau dieser Wellenlänge auf ein höheres Niveau gehoben).

Was ist die Rydberg-Gleichung?

Die Rydberg-Gleichung, die Johannes Rydberg 1888 aufstellte, sagt die Wellenlängen aller Spektrallinien des atomaren Wasserstoffs voraus. Sie verallgemeinerte Balmers empirische Formel für die sichtbaren Linien zu einem einzigen Ausdruck, der das gesamte Spektrum abdeckt. Warum sie funktioniert, zeigte 1913 Niels Bohr: Das Elektron im Wasserstoffatom kann nur die diskreten Niveaus \(n = 1, 2, 3, \ldots\) besetzen, und immer dann, wenn es zwischen ihnen springt, wird ein Photon emittiert oder absorbiert, das genau die Energiedifferenz der beiden Niveaus trägt.

Da jedes Niveau eine feste Energie besitzt, entspricht jedes Paar von Niveaus einer ganz bestimmten Wellenlänge. Deshalb ist das Wasserstoffspektrum kein durchgehendes Regenbogenband, sondern eine Abfolge scharfer Linien — und genau deshalb dienen diese Linien in der Laboranalyse ebenso wie in der Astronomie als Fingerabdruck des Wasserstoffs.

Die Linien ordnen sich zu Serien, die nach ihrem unteren Niveau benannt sind: die Lyman-Serie (nach \(n = 1\), ultraviolett), die Balmer-Serie (nach \(n = 2\), die sichtbaren Linien Hα 656 nm, Hβ 486 nm, Hγ 434 nm und Hδ 410 nm), die Paschen-Serie (nach \(n = 3\)), die Brackett-Serie (nach \(n = 4\)) und die Pfund-Serie (nach \(n = 5\)), sämtlich im Infraroten. Mit wachsendem oberen Niveau rücken die Linien immer enger zusammen und konvergieren gegen die Seriengrenze, jenseits derer das Atom ionisiert wird. Der Rechner bestimmt die Serie automatisch und erkennt zudem mehrere berühmte Linien wie Hα und Lyman-alpha.

Die Photonenenergie lässt sich auch physikalisch deuten: \(E \approx 1.89\) eV für Hα entspricht dem Abstand zwischen den Niveaus \(n = 2\) und \(n = 3\), und 13,6 eV — die Seriengrenze der Lyman-Serie — ist die Ionisationsenergie von Wasserstoff ausgehend vom Grundzustand.

Annahmen und Grenzen

Die Formel gilt ausschließlich für das Wasserstoffatom (\(Z = 1\)) in der Gasphase. Für wasserstoffähnliche Ionen wie He⁺ oder Li²⁺ multiplizieren Sie die rechte Seite mit \(Z^2\).
Die Wellenlängen sind Vakuumwerte, berechnet mit der Konstanten \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\) für die reduzierte Masse. In Luft verschieben sich die Linien um etwa 0,1–0,3 nm (Hα erscheint dann bei 656,28 nm statt 656,47 nm).
Feinstruktur, Lamb-Verschiebung und Isotopeneffekte (Deuterium, Tritium) bleiben unberücksichtigt; sie verursachen Aufspaltungen unterhalb eines Nanometers, die nur in der hochauflösenden Spektroskopie eine Rolle spielen.
Das Modell betrachtet das Atom als ein einzelnes Elektron um einen einzelnen Kern — auf Atome mit mehreren Elektronen, Moleküle oder Festkörper ist es nicht anwendbar.

Wenn Sie andere Arten von Spektren oder Energieumrechnungen analysieren, sind vielleicht auch unser Rechner zum Bragg-Gesetz für beugungsbasierte Wellenlängenanalysen oder der Rechner für das Standard-Zellpotenzial für elektrochemische Energieberechnungen hilfreich. Zum kinetischen Verhalten von Gasatomen siehe den Rechner für die Molekülgeschwindigkeit von Gasen.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich eine Wasserstoff-Wellenlänge mit der Rydberg-Formel von Hand?

Bilden Sie die Kehrwerte der quadrierten Quantenzahlen, subtrahieren Sie sie voneinander und multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Rydberg-Konstante: \(1/\lambda = R_H \cdot |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Anschließend bilden Sie den Kehrwert, um die Wellenlänge in Metern zu erhalten. Beispiel für \(n_i = 4, n_f = 2\): \(1/\lambda = 1.0967758\times10^7 \times 3/16 = 2.056\times10^6\ \text{m}^{-1}\), also \(\lambda \approx 486\) nm — die blaugrüne Hβ-Linie.

Spielt es eine Rolle, welches Niveau ich zuerst eingebe — Ausgangs- oder Zielniveau?

Nein, Wellenlänge, Frequenz und Photonenenergie sind in beiden Fällen identisch, weil die Formel einen Betrag verwendet. Nur die Deutung ändert sich: Wer das höhere Niveau zuerst eingibt, beschreibt eine Emission (das Elektron fällt herab und gibt ein Photon ab), wer das niedrigere Niveau zuerst eingibt, die Absorption eines Photons derselben Wellenlänge. Nur gleich große Zahlen sollten Sie vermeiden — identische Niveaus erzeugen gar kein Photon.

Warum lehnt der Rechner meine Eingabe ab, wenn beide Quantenzahlen gleich sind?

Wenn \(n_i = n_f\), ist der Term \(1/n_f^2 - 1/n_i^2\) null; die Wellenzahl ist damit null und die Wellenlänge wäre unendlich — physikalisch findet kein Übergang statt und es entsteht kein Photon, weil sich die Energie des Elektrons nicht ändert. Wählen Sie zwei verschiedene ganze Zahlen, jeweils mindestens 1. Beachten Sie außerdem, dass n eine ganze Zahl sein muss: Werte wie 1,5 sind keine gültigen Energieniveaus.

Welchen Wellenlängenbereich können Wasserstofflinien haben?

Die kürzestmögliche Linie ist die Lyman-Grenze bei etwa 91,2 nm (fernes Ultraviolett); sie entspricht der vollen Ionisationsenergie von 13,6 eV ausgehend vom Grundzustand. Linien mit höherem oberen Niveau haben größere Wellenlängen und rücken immer enger zusammen, je näher sie der jeweiligen Seriengrenze kommen. Übergänge, die auf n = 2 enden, liegen zwischen 410 nm und 656 nm — das sind die einzigen Wasserstofflinien, die das menschliche Auge sehen kann; alles, was auf n = 1 endet, liegt im Ultravioletten, und alles ab n ≥ 3 im Infraroten.

Kann ich diesen Rechner für He⁺, Li²⁺ oder andere wasserstoffähnliche Ionen verwenden?

Nicht direkt, aber die Korrektur ist einfach. Für ein Ein-Elektronen-Ion mit der Kernladungszahl Z multiplizieren Sie die Wellenzahl mit \(Z^2\): \(1/\lambda = R_H Z^2 |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Nehmen Sie die Wellenlänge aus diesem Rechner und teilen Sie sie durch \(Z^2\). Für He⁺ (Z = 2) ist jede Linie viermal kürzer als die entsprechende Wasserstofflinie. Für neutrales Helium oder beliebige Atome mit mehreren Elektronen funktioniert die Formel nicht.

Warum weicht meine gemessene Hα-Wellenlänge leicht vom berechneten Wert 656,47 nm ab?

Dafür gibt es zwei häufige Gründe. Erstens liefert der Rechner Vakuumwellenlängen; in Luft verschiebt sich die Linie um etwa 0,1–0,3 nm (Hα erscheint in normaler Luft bei 656,28 nm). Zweitens lösen hochauflösende Instrumente Feinstruktur, Lamb-Verschiebung und Isotopenaufspaltungen auf, die dieses einfache Modell außer Acht lässt. In der Astronomie verschiebt zusätzlich die Bewegung des Gases die Linien über den Doppler-Effekt — eine rot- oder blauverschobene Hα-Linie ist völlig normal und wird sogar gezielt zur Geschwindigkeitsmessung genutzt.

Was ist der Unterschied zwischen R_H und der Rydberg-Konstanten R∞ aus den Lehrbüchern?

\(R_\infty = 1.0973732\times10^7\ \text{m}^{-1}\) setzt einen unendlich schweren Kern voraus, während \(R_H = 1.0967758\times10^7\ \text{m}^{-1}\) die endliche reduzierte Masse des Elektron-Proton-Systems im realen Wasserstoff berücksichtigt. Der Unterschied beträgt etwa 0,05 %, wodurch sich Hα um rund ein Drittel eines Nanometers verschiebt. Dieser Rechner verwendet \(R_H\), sodass seine Ergebnisse beobachtete Wasserstofflinien genauer wiedergeben; \(R_\infty\) verwenden Sie nur, wenn der Kern als feststehend behandelt wird.