Schiefe- und Kurtosis-Rechner
Geben Sie einen Datensatz ein und erhalten Sie sofort Schiefe und Exzesskurtosis — mit Stichproben- (Excel/SPSS) oder Populationsformeln — plus eine Interpretation der Verteilungsform.
Schiefe und Kurtosis berechnen
Formel für Schiefe und Kurtosis
m_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^k, \qquad
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
\]
\[
g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} \qquad \text{(Population-Schiefe)}, \qquad
g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} - 3 \qquad \text{(Exzesskurtosis der Population)}
\]
\[
G_1 = \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}\, g_1, \qquad
G_2 = \frac{n-1}{(n-2)(n-3)}\bigl[(n+1)\,g_2 + 6\bigr] \qquad \text{(korrigierte Stichproben-Schätzer)}
\]
Schiefe und Kurtosis – Rechenbeispiel
Beispiel: ein Datensatz mit zehn Messwerten: 2; 3; 5; 5; 7; 8; 9; 12; 15; 22, analysiert als Stichprobe (korrigierte Schätzer, wie in Excel SCHIEFE und KURT).
\[ n = 10, \quad \bar{x} = \frac{88}{10} = 8.8 \]
\[ m_2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - 8.8)^2 = 33.56, \quad m_3 = 194.544, \quad m_4 = 3563.9792 \]
\[ g_1 = \frac{194.544}{33.56^{3/2}} \approx 1.0006, \qquad g_2 = \frac{3563.9792}{33.56^2} - 3 \approx 0.1644 \]
\[ G_1 = \frac{\sqrt{10 \cdot 9}}{8} \cdot 1.0006 \approx 1.1865, \qquad G_2 = \frac{9}{8 \cdot 7}\,(11 \cdot 0.1644 + 6) \approx 1.2549 \]
Ergebnis: Stichproben-Schiefe \(G_1 \approx 1.1865\) (stark rechtsschief) und Stichproben-Exzesskurtosis \(G_2 \approx 1.2549\) (leptokurtisch). Mittelwert = 8,8, Standardabweichung der Population ≈ 5,7931.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie Ihre Zahlen in das Feld Datensatz ein oder fügen Sie sie ein. Trennen Sie die Werte durch Leerzeichen, Zeilenumbrüche oder Semikolons — die Reihenfolge spielt keine Rolle, und Dezimalkommata (z. B. 15,5) werden akzeptiert.
- Wählen Sie die Berechnungsbasis: „Stichprobe (korrigierte Schätzer)“ entspricht Excels SCHIEFE und KURT, SPSS, SAS und den meisten Statistikprogrammen; „Population (Momentenformeln)“ verwendet die einfachen Momentkoeffizienten \(g_1\) und \(g_2\), geeignet, wenn Ihre Daten die gesamte Population darstellen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Schiefe (\(g_1\) oder \(G_1\)), Exzesskurtosis (\(g_2\) oder \(G_2\)) sowie eine Interpretation der Verteilungsform, die die Asymmetrie und das Gewicht der Verteilungsränder klassifiziert, zusammen mit einer Zusammenfassung von \(n\), Mittelwert und Standardabweichung.
Für Stichprobenstatistiken benötigen Sie mindestens 3 Werte für die Schiefe und 4 für die Kurtosis; wenn alle Werte identisch sind, sind beide Kennzahlen undefiniert, da die Varianz null ist.
Was Schiefe und Kurtosis über Ihre Daten aussagen
Die Schiefe misst die Asymmetrie einer Verteilung. Ein Wert von 0 bedeutet, dass sich linke und rechte Seite der Verteilung wie ein Spiegelbild verhalten, wie bei der Normalverteilung (Glockenkurve). Positive Schiefe (längerer rechter Rand) bedeutet, dass die meisten Werte am unteren Ende liegen, während einige große Werte die Verteilung nach oben ziehen — Einkommen, Hauspreise und Wartezeiten sehen oft so aus. Negative Schiefe (längerer linker Rand) ist das Spiegelbild: Die meisten Werte liegen hoch, wenige kleine Ausreißer ziehen die Verteilung nach unten. In einer schiefen Verteilung wird der Mittelwert zum langen Rand hin gezogen, sodass er den „typischen“ Wert nicht mehr repräsentiert — Median und Modus werden aussagekräftiger.
Die Kurtosis misst das Gewicht der Verteilungsränder — also wie wahrscheinlich extreme Werte im Vergleich zu einer Normalverteilung sind. Dieser Rechner liefert die Exzesskurtosis, also Kurtosis minus 3, sodass die Normalverteilung genau bei 0 liegt. Ein negativer Wert (platykurtisch) deutet auf eine flachere Verteilung mit dünnen Rändern hin, in denen Ausreißer selten sind. Ein Wert nahe 0 (mesokurtisch) bedeutet ein Randgewicht ähnlich der Normal kurve. Ein positiver Wert (leptokurtisch) zeigt eine spitz zulaufende Verteilung mit dicken Rändern: Extreme Ergebnisse treten häufiger auf, als es ein Normalmodell vorhersagen würde — ein typisches Merkmal von Finanzrenditen und vielen realen Datensätzen.
Zusammen ergeben die beiden Zahlen ein kompaktes Formprofil Ihrer Daten. Viele statistische Verfahren (t-Tests, Regression, Konfidenzintervalle) setzen annähernd normalverteilte Fehler voraus, und eine ausgeprägte Schiefe oder Kurtosis ist ein Warnsignal, dass diese Annahme scheitern kann. Als grobe Faustregel für eine Ersteinschätzung gelten Werte innerhalb von ±1 für die Schiefe und innerhalb von ±0,5–1 für die Exzesskurtosis meist als akzeptabel; dieser Rechner verwendet die gängigen Schwellenwerte |Schiefe| < 0,5 (symmetrisch), 0,5–1 (mäßig) und > 1 (stark) sowie −0,5 / +0,5 für die Klassifikation der Kurtosis.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Stichprobe oder Population macht einen Unterschied. Die korrigierten Fisher–Pearson-Schätzer gleichen die Verzerrung in kleinen Stichproben aus; bei sehr großen Datensätzen konvergieren beide Ansätze. Wenn Sie Ihre Ausgabe mit Excels SCHIEFE und KURT vergleichen, lassen Sie die Option „Stichprobe“ aktiviert.
- Kleine Stichproben sind instabil. Schiefe und Kurtosis beruhen auf der dritten und vierten Potenz der Abweichungen, sodass ein einziger Ausreißer sie dramatisch verändern kann. Betrachten Sie Ergebnisse aus weniger als ca. 20 Datenpunkten nur als Hinweis.
- Die Interpretation erfolgt relativ zur Normalverteilung. Die Bezeichnungen „symmetrisch“, „platykurtisch“ und „leptokurtisch“ beschreiben die Form, nicht die Korrektheit — viele natürliche Prozesse sind durchaus legitim schief, z. B. die exponentiell ähnlichen Muster, die Sie mit dem Poisson-Verteilungsrechner erkunden können.
- Kombinieren Sie sie mit anderen Kennzahlen. Ergänzen Sie die Formmaße um die Standardabweichung, die Varianz und ein Histogramm Ihrer Daten, bevor Sie Schlüsse ziehen.
- Schiefe erkennt nicht jede Abweichung von der Normalverteilung. Eine Verteilung kann perfekt symmetrisch sein (Schiefe = 0) und dennoch weit von normal entfernt — Kurtosis oder ein formaler Normalitätstest deckt ab, was der Schiefe entgeht.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Schiefe von Hand?
Bestimmen Sie zuerst den Mittelwert \(\bar{x}\). Berechnen Sie dann die quadrierten und zur dritten Potenz erhobenen Abweichungen jedes Wertes: \((x_i-\bar{x})^2\) und \((x_i-\bar{x})^3\). Mitteln Sie diese zu \(m_2\) und \(m_3\). Die Schiefe ist \(g_1 = m_3/m_2^{3/2}\). Eine Abkürzung: Wenn der Mittelwert größer als der Median ist, ist die Schiefe typischerweise positiv; wenn er kleiner ist, negativ. Für eine Stichprobe wenden Sie den Korrekturfaktor \(\sqrt{n(n-1)}/(n-2)\) an, um das Ergebnis an Excels SCHIEFE anzugleichen.
Wie berechne ich die Kurtosis von Hand?
Berechnen Sie den Mittelwert, mitteln Sie dann die vierten Potenzen der Abweichungen, \(m_4 = \frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^4\), und die quadrierten Abweichungen, \(m_2\). Die Exzesskurtosis ist \(g_2 = m_4/m_2^2 - 3\). Die Division durch \(m_2^2\) macht die Kennzahl maßstabsunabhängig, und die Subtraktion von 3 setzt die Normalverteilung auf 0. Bei Stichprobendaten verwenden die meisten Programme die korrigierte Fisher–Pearson-Formel statt des einfachen Momentenverhältnisses.
Was ist ein normaler oder akzeptabler Wert für Schiefe und Kurtosis?
Für eine perfekt normalverteilte Grundgesamtheit ist die Schiefe 0 und die Exzesskurtosis 0. Als grobe Faustregeln zur Ersteinschätzung betrachten viele Analysten eine Schiefe zwischen −1 und +1 sowie eine Exzesskurtosis zwischen −1 und +1 (manche verwenden ±0,5) als hinreichend nahe an normal. Diese Schwellenwerte sind informell und keine Hypothesentests — für eine formale Entscheidung verwenden Sie einen Normalitätstest wie Shapiro–Wilk, insbesondere bei kleinen Stichproben, bei denen die Schätzwerte selbst stark schwanken.
Warum weicht mein Ergebnis von Excels SCHIEFE und KURT ab?
Excel verwendet die korrigierten Fisher–Pearson-Stichprobenschätzer, die Korrekturfaktoren für kleine Stichproben enthalten. Wenn Sie die einfachen Momentenformeln \(g_1\) und \(g_2\) (Populationsbasis) berechnet haben, erhalten Sie leicht andere Zahlen — besonders bei kleinen Datensätzen. Wählen Sie in diesem Rechner die Option „Stichprobe (korrigierte Schätzer)“, und die Ausgabe stimmt exakt mit Excel, SPSS und SAS überein. Bei Hunderten von Datenpunkten konvergieren beide Ansätze praktisch.
Warum ist die Kurtosis der Normalverteilung in manchen Büchern 3, hier aber 0?
Es gibt zwei Konventionen. Die rohe (unbereinigte) Kurtosis einer Normalverteilung ist 3. Die Exzesskurtosis zieht 3 ab, sodass der Referenzwert der Normalverteilung bei 0 liegt, was die Interpretation erleichtert: positiv bedeutet dickere Verteilungsränder als bei der Normalverteilung, negativ dünnere. Dieser Rechner liefert die Exzesskurtosis, ebenso wie Excels KURT und die meisten modernen Lehrbücher. Wenn eine Tabelle für Ihre Daten 2,9 angibt, verwendet sie die rohe Konvention — ziehen Sie einfach 3 ab, um zu vergleichen.
Kann die Schiefe bei einer nicht normalen Verteilung null sein?
Ja. Die Schiefe misst nur die Asymmetrie, daher hat jede symmetrische Verteilung — eine Gleichverteilung, eine symmetrische bimodale Verteilung oder eine symmetrische Verteilung mit schweren Rändern — die Schiefe 0 und ist dennoch weit von normal entfernt. Zwei verschiedene Datensätze können sogar dieselbe Schiefe und Kurtosis haben und dabei völlig unterschiedliche Formen aufweisen. Kombinieren Sie diese Zahlen immer mit einem Histogramm und idealerweise einem formalen Normalitätstest, bevor Sie den Schluss ziehen, dass Ihre Daten normalverteilt sind.
Welche Einheiten haben Schiefe und Kurtosis, und muss ich meine Daten vorher standardisieren?
Beide Kennzahlen sind dimensionslos — sie haben keine Einheiten, weil die Momente durch Potenzen der Standardabweichung standardisiert werden. Das bedeutet, dass Sie Ihre Daten in beliebigen Einheiten (cm, kg, Dollar, Prozent) eingeben können, ohne sie vorher umzurechnen oder zu skalieren, und Sie können die Schiefe sogar zwischen Datensätzen vergleichen, die in unterschiedlichen Einheiten gemessen wurden. Deshalb ändern auch die Addition einer Konstante zu jedem Wert oder die Multiplikation mit einer positiven Konstante beide Kennzahlen nicht.