Logarithmische mittlere Temperaturdifferenz (LMTD)
Berechnen Sie die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz (LMTD) eines Wärmeübertragers aus den vier Endtemperaturen. Wählen Sie Gegenstrom oder Gleichstrom und geben Sie die Ein- und Austrittstemperaturen des heißen und kalten Mediums in °C, °F oder K ein.
Die treibende Temperaturdifferenz eines Wärmeübertragers ermitteln
LMTD-Formel
Dabei bedeuten:
- \(\Delta T_{lm}\) — logarithmische mittlere Temperaturdifferenz (K oder °C)
- \(\Delta T_1\) — Temperaturdifferenz zwischen den beiden Medien an einem Ende des Übertragers
- \(\Delta T_2\) — Temperaturdifferenz zwischen den beiden Medien am anderen Ende
- \(\ln\) — natürlicher Logarithmus
Welche Enddifferenzen einzusetzen sind, hängt von der Stromführung ab. Bei Gegenstrom gilt \(\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o}\) am Ende des Heißmediumeintritts und \(\Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i}\) am Ende des Heißmediumaustritts. Bei Gleichstrom gilt \(\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,i}\) am gemeinsamen Eintrittsende und \(\Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,o}\) am gemeinsamen Austrittsende.
Weil die Temperaturdifferenz zwischen den Medien entlang des Übertragers nicht konstant ist, würde ein einfacher Mittelwert die tatsächliche Triebkraft verfälschen. Der logarithmische Mittelwert gewichtet die kleinere Enddifferenz stärker — genau das verlangen die Wärmeübertragungsgleichungen. Für \(\Delta T_1 = \Delta T_2\) vereinfacht sich die Formel zu \(\Delta T_{lm} = \Delta T_1\).
LMTD – Berechnungsbeispiel
Beispiel: Ein Gegenstrom-Wärmeübertrager kühlt einen heißen Strom von 150 °C auf 100 °C, während ein kalter Strom von 40 °C auf 80 °C erwärmt wird.
\[ \Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o} = 150 - 80 = 70\ \text{K} \]
\[ \Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i} = 100 - 40 = 60\ \text{K} \]
\[ \Delta T_{lm} = \frac{70 - 60}{\ln (70 / 60)} = \frac{10}{\ln 1.1667} = 64.86\ \text{K} \]
Ergebnis: \(\Delta T_{lm} \approx 64.86\) °C (zahlenmäßig identisch in K, das entspricht 116,75 °F). Der logarithmische Mittelwert von 64,86 liegt dabei knapp unter dem arithmetischen Mittel von 65 K.
So bedienen Sie den Rechner
- Wählen Sie die Stromführung: Gegenstrom (die Medien strömen in entgegengesetzte Richtungen) oder Gleichstrom (die Medien strömen in dieselbe Richtung). Die Stromführung bestimmt, welche Endtemperaturen einander zugeordnet werden.
- Geben Sie die Eintrittstemperatur des heißen Mediums (Tₕᵢ) ein und wählen Sie die Einheit (°C, °F oder K).
- Geben Sie die Austrittstemperatur des heißen Mediums (Tₕₒ) mit ihrer Einheit ein.
- Geben Sie die Eintrittstemperatur des kalten Mediums (Tᶜᵢ) mit ihrer Einheit ein.
- Geben Sie die Austrittstemperatur des kalten Mediums (Tᶜᵒ) mit ihrer Einheit ein.
- Lesen Sie die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz (ΔTₗₘ) zusammen mit den Enddifferenzen ΔT₁ und ΔT₂ ab — angezeigt in °C, K und °F, sodass Sie beide Stromführungen direkt vergleichen können.
Gemischte Einheiten sind erlaubt: Jede Temperatur kann in einer anderen Einheit eingegeben werden, denn in die LMTD gehen nur Temperaturdifferenzen ein. Eine Differenz von 1 K entspricht einer Differenz von 1 °C und 9/5 °F.
Was ist die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz?
Die LMTD ist die effektive Temperaturtriebkraft für die Wärmeübertragung in einem Wärmeübertrager. Die Grundgleichung lautet \(Q = U \cdot A \cdot \Delta T_{lm}\), wobei \(Q\) der übertragene Wärmestrom, \(U\) der Wärmedurchgangskoeffizient und \(A\) die Wärmeübertragungsfläche sind. Die Temperaturdifferenz zwischen heißem und kaltem Medium ist entlang des Übertragers nicht konstant — sie ist an einem Ende am größten und am anderen am kleinsten. Die LMTD ersetzt sie durch einen einzelnen, physikalisch korrekten Mittelwert.
Dass ein logarithmischer statt eines arithmetischen Mittelwerts nötig ist, folgt aus der Integration der örtlichen Wärmeübertragungsgleichung über die Länge des Übertragers. Verlaufen die Temperaturen der beiden Medien fast parallel, ändert sich die Differenz langsam und beide Mittelwerte liegen nahe beieinander. Ändert sich die Differenz dagegen rasch — etwa bei Gleichstrom nahe dem Eintritt —, berücksichtigt der logarithmische Mittelwert korrekt, dass die Wärmeübertragung vom Bereich mit der kleinen Temperaturdifferenz dominiert wird.
Die Stromführung spielt eine erhebliche Rolle. Bei Gegenstrom trifft der Heißmedieneintritt auf den Kaltmediumaustritt, sodass die Temperaturdifferenz relativ gleichmäßig bleibt und über die gesamte Länge sogar groß sein kann; bei Gleichstrom tritt die größte Differenz am gemeinsamen Eintritt auf und nimmt zum Austritt hin ab. Bei denselben Endtemperaturen liefert Gegenstrom immer eine größere LMTD als Gleichstrom — im obigen Beispiel 64,86 °C gegenüber 52,80 °C. Ein Gegenstromübertrager benötigt daher für dieselbe Leistung eine kleinere Wärmeübertragungsfläche.
Die LMTD ist zentral für Auslegung und Nachrechnung von Wärmeübertragern. Konstrukteure nutzen sie — zusammen mit einem Korrekturfaktor für mehrgängige und kreuzgeströmte Apparate —, um die erforderliche Fläche für eine gegebene Leistung zu bestimmen. Ist die LMTD bekannt, schließt sich oft die strömungstechnische Berechnung an: Prüfen Sie das Strömungsregime mit unserem Rechner zur Reynolds-Zahl, schätzen Sie den Druckverlust in der Rohrleitung ab oder dimensionieren Sie die Pumpe mit dem Rechner zur Pumpenleistung.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Konstante Stoffwerte: Die klassische LMTD setzt konstante spezifische Wärmekapazitäten, einen konstanten Wärmedurchgangskoeffizienten \(U\) und keinen Phasenwechsel entlang des Übertragers voraus. Kondensatoren und Verdampfer, in denen ein Medium nahezu konstante Temperatur hält, lassen sich mit der Formel noch behandeln, erfordern aber Sorgfalt.
- Keine Wärmeverluste: Der Übertrager wird als adiabat zur Umgebung angenommen, und beide Medien gelten an jedem Querschnitt als vollständig durchmischt.
- Positive Enddifferenzen: Sowohl \(\Delta T_1\) als auch \(\Delta T_2\) müssen positiv sein. Eine Differenz von null oder im Negativen bedeutet einen Temperaturkreuzung, der in einem eingängigen Übertrager nicht auftreten kann — der Rechner weist darauf hin, statt eine irreführende Zahl auszugeben.
- Gleiche Enddifferenzen: Bei \(\Delta T_1 = \Delta T_2\) wird der Logarithmus unendlich, der mathematische Grenzwert ist aber einfach \(\Delta T_{lm} = \Delta T_1\). Der Rechner wendet diesen Grenzwert automatisch an.
- Korrekturfaktoren: Bei mehrgängigen Rohrbündel- und Kreuzstromapparaten ist die tatsächliche Triebkraft \(F \cdot \Delta T_{lm}\) mit einem Korrekturfaktor \(F < 1\) aus Auslegungsdiagrammen. Dieser Rechner behandelt die idealen, eingängigen Fälle Gegenstrom und Gleichstrom.
- Spezialfall — ein Medium kondensiert oder verdampft: Dessen Ein- und Austrittstemperatur sind gleich (z. B. \(T_{h,i} = T_{h,o}\)); die Formel lässt sich weiterhin direkt anwenden.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die LMTD von Hand?
Bestimmen Sie zuerst die beiden Enddifferenzen. Bei Gegenstrom gilt \(\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o}\) und \(\Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i}\); bei Gleichstrom verwenden Sie stattdessen die Paare am Eintritts- und am Austrittsende. Setzen Sie dann \( \Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1 / \Delta T_2)} \) ein. Subtrahieren Sie immer in derselben Reihenfolge, halten Sie beide Differenzen positiv und verwenden Sie den natürlichen Logarithmus (nicht den Zehnerlogarithmus). Sind beide Differenzen gleich, entspricht die LMTD genau diesem Wert.
Welcher LMTD-Wert ist gut oder typisch?
Einen universellen Richtwert gibt es nicht — die LMTD hängt vollständig von Ihren Prozesstemperaturen ab. Als grobe Orientierung liegen Wasser-Wasser-Übertrager oft im Bereich von 5–20 °C, während Gasströme oder Kälteaufgaben 20–50 °C zeigen können. Eine kleine LMTD bedeutet, dass für dieselbe Leistung eine große Wärmeübertragungsfläche nötig ist; Konstrukteure wägen sie daher gegen die Investitionskosten ab. Sehr kleine Werte (unter einigen Grad) deuten meist auf einen überdimensionierten oder unwirtschaftlichen Übertrager hin.
Warum erhalte ich eine Fehlermeldung bzw. „Temperaturkreuzung“?
Der Rechner meldet eine Temperaturkreuzung, wenn eine der Enddifferenzen null oder negativ ist — das kalte Medium ist dann nicht überall entlang des Übertragers kälter als das heiße. Prüfen Sie, ob die Heißmediumaustrittstemperatur über der Kaltmeduimeintrittstemperatur liegt (Gegenstrom) bzw. über der Kaltmediumaustrittstemperatur (Gleichstrom). Wenn Ihre Daten tatsächlich verlangen, dass die Kaltmediumaustrittstemperatur die Heißmediumaustrittstemperatur übersteigt, kann das ein eingängiger Übertrager nicht leisten; Sie brauchen mehrere Gänge, eine andere Stromführung — oder die Temperaturen sind schlicht vertauscht.
Kann ich Einheiten mischen, und warum kommt die LMTD in °C oder K heraus?
Ja, jede der vier Temperaturen kann in einer anderen Einheit eingegeben werden, denn die LMTD hängt nur von Temperaturdifferenzen ab, nicht von absoluten Temperaturen. Eine Differenz von 1 K entspricht einer Differenz von 1 °C, daher ist die LMTD in K und °C zahlenmäßig identisch. Für °F multiplizieren Sie mit \(9/5\). Was Sie niemals tun dürfen, ist Rohwerte in gemischten Einheiten voneinander abzuziehen — der Rechner rechnet jede Temperatur zuerst um.
Warum nicht einfach den arithmetischen Mittelwert der beiden Enddifferenzen nehmen?
Der arithmetische Mittelwert überschätzt die tatsächliche Triebkraft immer. Die Wärmeübertragung konzentriert sich dort, wo die Temperaturdifferenz am kleinsten ist; der korrekte Mittelwert — durch Integration der örtlichen Bilanzgleichung über den Übertrager gewonnen — gewichtet die kleinere Enddifferenz stärker. Liegen die beiden Enddifferenzen nahe beieinander (innerhalb von etwa 20 %), ist der Fehler gering; bei einem großen Verhältnis wie 70 K gegenüber 10 K kann der arithmetische Mittelwert die LMTD um 30 % oder mehr überschätzen — der Übertrager würde erheblich zu klein ausgelegt.
Wie wird die LMTD zur Auslegung eines Wärmeübertragers genutzt?
Kombinieren Sie sie mit der Leistungsgleichung \( Q = U \cdot A \cdot \Delta T_{lm} \). Bestimmen Sie die Wärmeleistung \(Q\) aus einer Energiebilanz eines Mediums, \( Q = \dot{m} c_p (T_{in} - T_{out}) \), schätzen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten \(U\) anhand von Korrelationen oder typischen Werten ab und lösen Sie nach der erforderlichen Fläche auf: \( A = Q / (U \Delta T_{lm}) \). Bei mehrgängigen Rohrbündel- oder Kreuzstromübertragern multiplizieren Sie vorher mit einem Korrekturfaktor \(F < 1\) aus gängigen Auslegungsdiagrammen.
Wann darf die LMTD-Formel nicht angewendet werden?
Die klassische Formel setzt konstante spezifische Wärmekapazitäten, einen konstanten Wärmedurchgangskoeffizienten und keinen Phasenwechsel voraus. Sie gilt weiterhin direkt, wenn ein Medium bei konstanter Temperatur kondensiert oder verdampft (geben Sie dessen Ein- und Austrittstemperatur als gleich ein). Sie versagt, wenn sich die Stoffwerte stark mit der Temperatur ändern, wenn \(U\) entlang des Übertragers deutlich variiert oder wenn die Stromführung kein einfacher eingängiger Gegen- oder Gleichstrom ist — solche Fälle erfordern einen Korrekturfaktor oder eine schrittweise (zonale) Berechnung.