Kubische Gleichung lösen
Löst jede kubische Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 mit der Cardanoschen Methode. Geben Sie die vier Koeffizienten ein, und der Rechner liefert die reellen Wurzeln, kennzeichnet komplexe und erkennt mehrfache Wurzeln.
Kubische Gleichung
Formel der kubischen Gleichung
Dabei gilt:
- \(a, b, c, d\) — die Koeffizienten der kubischen Gleichung
- \(p, q\) — die Koeffizienten der reduzierten kubischen Gleichung, nachdem das quadratische Glied entfernt wurde
Von hier an kommt die Cardanosche Methode zum Einsatz. Die entscheidende Größe ist die Diskriminante \(\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3\):
- Wenn \(\Delta > 0\), gibt es eine reelle Wurzel, gegeben durch
\( t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}} \) - Wenn \(\Delta = 0\), sind alle Wurzeln reell, und mindestens zwei stimmen überein: \( t_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}} \), \( t_2 = t_3 = -\sqrt[3]{-\frac{q}{2}} \)
- Wenn \(\Delta < 0\), gibt es drei verschiedene reelle Wurzeln, die mit der trigonometrischen Form \( t_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{3}\right) \) gefunden werden, wobei \( \cos\theta = \frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}} \), \( k = 0, 1, 2 \)
Jede Wurzel der ursprünglichen Gleichung wird durch Rücksubstitution zurückgewonnen: \( x = t - \frac{b}{3a} \).
Kubische Gleichung – Rechenbeispiel
Beispiel: Löse \( x^3 + 8x^2 + 16x = 0 \) (Koeffizienten \( a = 1 \), \( b = 8 \), \( c = 16 \), \( d = 0 \) — die Standardwerte des Rechners).
\[ p = \frac{3 \cdot 1 \cdot 16 - 8^2}{3 \cdot 1^2} = \frac{48 - 64}{3} = -\frac{16}{3}, \qquad q = \frac{2 \cdot 8^3 - 9 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 16 + 27 \cdot 1^2 \cdot 0}{27 \cdot 1^3} = \frac{64}{27} \]
\[ \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{32}{27}\right)^2 + \left(-\frac{16}{9}\right)^3 = \frac{1024}{729} - \frac{4096}{729} \cdot \frac{1}{...} = 0 \]
Da \( \Delta = 0 \), hat die Gleichung eine mehrfache Wurzel. Mit \( \sqrt[3]{-\frac{q}{2}} = \sqrt[3]{-\frac{32}{27}} = -\frac{4}{3} \):
\[ t_1 = 2\left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{8}{3}, \qquad t_2 = t_3 = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \]
Rücksubstitution \( x = t - \frac{8}{3} \):
\[ x_1 = -\frac{8}{3} - \frac{8}{3} = 0, \qquad x_2 = x_3 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -4 \]
Ergebnis: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -4 \), \( x_3 = -4 \). Sie können das durch Faktorisieren überprüfen: \( x^3 + 8x^2 + 16x = x(x+4)^2 \).
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie den Leitkoeffizienten a ein (die Zahl vor \( x^3 \)). Er darf nicht 0 sein — sonst ist die Gleichung nicht kubisch, und der Rechner zeigt einen Fehler an.
- Geben Sie den Koeffizienten b ein, den Faktor von \( x^2 \).
- Geben Sie den Koeffizienten c ein, den Faktor von \( x \).
- Geben Sie den Koeffizienten d ein, das Absolutglied. Verwenden Sie 0, wenn die Gleichung kein Absolutglied hat (wie in \( x^3 + 8x^2 + 16x = 0 \)).
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Wurzel x₁, Wurzel x₂ und Wurzel x₃. Hat die Gleichung nur eine reelle Wurzel, zeigen die beiden anderen Felder „Komplexe Wurzel“ an, da die beiden übrigen Wurzeln konjugiert komplex sind.
Was ist eine kubische Gleichung?
Eine kubische Gleichung ist eine ganzrationale Gleichung dritten Grades in der Standardform \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) mit \( a \neq 0 \). Jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine und höchstens drei reelle Wurzeln. Anders als eine quadratische Gleichung, die sich mit einer einzigen kompakten Formel lösen lässt, erfordert eine kubische Gleichung entweder Faktorisieren, die Cardanosche Methode oder ein numerisches Verfahren — weshalb ein Rechner so viel Zeit spart.
Der Rechner arbeitet, indem er zunächst das \( x^2 \)-Glied beseitigt. Die Substitution \( x = t - \frac{b}{3a} \) verwandelt jede kubische Gleichung in eine reduzierte kubische Gleichung \( t^3 + pt + q = 0 \), eine einfachere Form, die seit dem 16. Jahrhundert bekannt ist. Die Cardanosche Formel berechnet dann eine diskriminantenähnliche Größe \( \Delta \), die bereits vor der eigentlichen Berechnung Auskunft über die Art der Wurzeln gibt: eine reelle plus zwei komplexe Wurzeln bei \( \Delta > 0 \), alle reell mit einer mehrfachen Wurzel bei \( \Delta = 0 \) und drei verschiedene reelle Wurzeln bei \( \Delta < 0 \).
Die Ausgabe zu deuten ist einfach. Wenn alle drei Wurzeln reelle Zahlen sind, schneidet der Graph von \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) die x-Achse an diesen Stellen (bei einer mehrfachen Wurzel berührt er sie nur). Zeigen zwei Felder „Komplexe Wurzel“ an, schneidet der Graph die x-Achse nur einmal, und zwar an der angezeigten einzigen reellen Wurzel. Die beiden verborgenen Wurzeln bilden ein Paar konjugiert komplexer Zahlen; Sie können sie mit dem Rechner für komplexe Zahlen weiter untersuchen.
Kubische Gleichungen tauchen überall in der angewandten Mathematik auf: beim Auffinden von Schnittpunkten in der Geometrie, bei der Berechnung von Eigenwerten in der linearen Algebra, bei Volumenproblemen in der Physik und bei Stabilitätsanalysen im Ingenieurwesen und in der Wirtschaft.
Voraussetzungen, Grenzen und Tipps
- Der Koeffizient a muss von null verschieden sein. Wenn \( a = 0 \), ist die Gleichung in Wirklichkeit quadratisch (oder linear) — verwenden Sie stattdessen den Rechner für quadratische Gleichungen.
- Komplexe Wurzeln werden gekennzeichnet, nicht berechnet. Der Rechner gibt reelle Wurzeln numerisch aus und zeigt für das nichtreelle Paar „Komplexe Wurzel“ an. Das hält die Ausgabe für den Alltagsgebrauch übersichtlich.
- Rundung auf 5 Dezimalstellen. Die Ergebnisse werden gerundet, sodass eine Wurzel wie \( \sqrt[3]{2} \) als 1,25992 erscheint. Für die meisten Zwecke ist das mehr als ausreichend genau; wenn Sie eine gerundete Wurzel in die Gleichung zurückeinsetzen, können winzige Abweichungen auftreten.
- Numerische Grenzfälle. Sehr große oder sehr kleine Koeffizienten können Rundungsfehler der Gleitkommadarstellung verursachen, sodass eine Diskriminante, die mathematisch exakt null ist, als sehr kleine positive oder negative Zahl berechnet werden kann. In solchen Fällen können sich die angezeigten Wurzeln in den letzten Dezimalstellen unterscheiden.
- Prüfung mit der Vorzeichenregel. Vor dem Lösen können Sie mit dem Rechner für die Vorzeichenregel von Descartes abschätzen, wie viele positive und negative reelle Wurzeln es gibt, und das Ergebnis als Plausibilitätskontrolle für die Ausgabe des Rechners nutzen. Ergänzend dazu ist der Rechner für Kubikwurzeln nützlich, wenn Sie nur \( \sqrt[3]{n} \) für eine einzelne Zahl benötigen.
- Zuerst einfaches Faktorisieren. Prüfen Sie immer, ob \( x = 0 \) eine Wurzel ist (d. h. \( d = 0 \)) oder ob eine offensichtliche ganze Zahl wie 1, −1, 2 oder −2 die Gleichung erfüllt — das Abspalten einer Wurzel reduziert die kubische Gleichung auf eine quadratische, die Sie im Kopf lösen können.
Häufig gestellte Fragen
Wie löse ich eine kubische Gleichung von Hand ohne die Cardanosche Formel?
Versuchen Sie es zuerst mit dem Satz über rationale Nullstellen: Jede rationale Wurzel \( \frac{m}{n} \) hat einen Zähler \( m \), der das Absolutglied \( d \) teilt, und einen Nenner \( n \), der den Leitkoeffizienten \( a \) teilt. Testen Sie Kandidaten wie ±1, ±2, ±d durch Einsetzen. Sobald eine Wurzel \( x_1 \) gefunden ist, dividieren Sie das Polynom durch \( (x - x_1) \) (Polynomdivision oder Horner-Schema), um eine quadratische Gleichung zu erhalten, und wenden Sie dann die Mitternachtsformel an. Das deckt die meisten kubischen Gleichungen aus Schulbüchern ab.
Wie viele reelle Wurzeln kann eine kubische Gleichung haben?
Immer mindestens eine und höchstens drei. Die Größe \( \Delta \) auf dieser Seite entscheidet: \( \Delta > 0 \) ergibt eine reelle Wurzel plus ein konjugiert komplexes Paar, \( \Delta = 0 \) ergibt drei reelle Wurzeln, von denen mindestens zwei gleich sind, und \( \Delta < 0 \) ergibt drei verschiedene reelle Wurzeln. Sie können es auch schnell am Graphen prüfen: Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten muss die x-Achse mindestens einmal schneiden.
Wie kann ich die Wurzeln überprüfen, die der Rechner mir liefert?
Setzen Sie jede Wurzel in \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) ein — das Ergebnis sollte 0 sein (oder sehr nahe bei 0, da die Werte auf 5 Dezimalstellen gerundet sind). Sie können auch die Vietaschen Formeln als Gegenprobe nutzen: Die Summe der Wurzeln ergibt \( -\frac{b}{a} \) und ihr Produkt \( -\frac{d}{a} \). Für das Beispiel \( x(x+4)^2 \) ist die Summe \( 0 - 4 - 4 = -8 = -\frac{8}{1} \).
Warum zeigt der Rechner „Komplexe Wurzel“ an, statt eine Zahl auszugeben?
Wenn \( \Delta > 0 \), sind die beiden übrigen Wurzeln konjugiert komplex: \( u \pm vi \). Der Rechner gibt nur numerische reelle Wurzeln aus und kennzeichnet daher das nichtreelle Paar, statt komplexe Werte auszugeben. Wenn Sie sie benötigen, beachten Sie, dass der Realteil \( u \) gleich \( -\frac{b}{3a} \) minus der Hälfte der reellen Wurzel ist, und verwenden Sie den quadratischen Faktor, der nach dem Abspalten der reellen Wurzel übrig bleibt.
Was bedeutet eine mehrfache Wurzel geometrisch?
Eine doppelte Wurzel ist eine Stelle, an der die Kurve \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) die x-Achse berührt, ohne sie zu schneiden — wie der Scheitelpunkt einer Parabel, der auf der Achse liegt. Im Standardbeispiel \( x(x+4)^2 = 0 \) schneidet der Graph bei \( x = 0 \) und berührt die Achse lediglich bei \( x = -4 \). Eine dreifache Wurzel (alle drei gleich) sieht aus wie ein Wendepunkt, der genau auf der Achse liegt.
Kann ich Brüche oder Dezimalzahlen als Koeffizienten eingeben?
Die Eingabefelder akzeptieren Dezimalzahlen, auch negative (z. B. 0,5 oder −2,75). Bei Bruchkoeffizienten wie \( \frac{1}{2}x^3 - 3x + 4 \) wandeln Sie diese entweder in Dezimalzahlen um (a = 0,5) oder multiplizieren die gesamte Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner — die Multiplikation aller Terme mit derselben Zahl ungleich null ändert die Wurzeln nicht.
Welche Fehler passieren häufig bei der Benutzung eines Rechners für kubische Gleichungen?
Die häufigsten Fehler sind: Terme in der falschen Reihenfolge eingeben (denken Sie daran: a steht vor \( x^3 \), d ist das reine Absolutglied), einen Nullkoeffizienten vergessen (bei \( x^3 - 8 = 0 \) müssen Sie b = 0 und c = 0 eingeben) und Vorzeichen beim Abschreiben vom Papier verlieren. Beachten Sie außerdem, dass \( x^3 + 5x^2 \) unvollständig ist — fehlende Terme werden nicht automatisch als null angenommen, wenn Sie keine 0 eingeben.