Калькулятор кубічного рівняння

Q: Як розв'язати кубічне рівняння вручну без формули Кардано?

Спочатку спробуйте теорему про раціональні корені: будь-який раціональний корінь m/n має m — дільник вільного члена d , а n — дільник старшого коефіцієнта a . Перевірте кандидати на кшталт ±1, ±2, ±d підстановкою. Коли один корінь x_1 знайдено, поділіть многочлен на (x - x_1) (ділення «куточком» або за схемою Горнера), щоб отримати квадратне рівняння, а потім застосуйте формулу коренів квадратного рівняння. Це покриває більшість навчальних кубічних рівнянь.

Q: Скільки дійсних коренів може мати кубічне рівняння?

Завжди принаймні один і не більше трьох. Величина Δ на сторінці це визначає: Δ > 0 дає один дійсний корінь і пару комплексно-спряжених, Δ = 0 дає три дійсні корені, з яких принаймні два рівні, а Δ < 0 дає три різні дійсні корені. Можна також швидко перевірити за графіком: многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має перетинати вісь абсцис хоча б один раз.

Q: Як перевірити корені, які повертає калькулятор?

Підставте кожен корінь назад у ax^3 + bx^2 + cx + d — результат має дорівнювати 0 (або бути дуже близьким до нуля, оскільки значення округлені до 5 десяткових знаків). Для додаткової перевірки можна використати формули Вієта: сума коренів дорівнює -b/a , а їх добуток — -d/a . Для прикладу x(x+4)^2 сума дорівнює 0 - 4 - 4 = -8 = -8/1 .

Q: Чому калькулятор пише «Комплексний корінь» замість числа?

Коли Δ > 0 , два інші корені є комплексно-спряженими u ± vi . Калькулятор повертає лише числові дійсні корені, тому він позначає недійсну пару, а не виводить комплексні значення. Якщо вони вам потрібні, зауважте, що дійсна частина u дорівнює -b/3a мінус половина дійсного кореня, і скористайтеся квадратним множником, який залишається після виокремлення дійсного кореня.

Q: Що геометрично означає кратний корінь?

Кратний (подвійний) корінь — це точка, у якій крива y = ax^3 + bx^2 + cx + d дотикається до осі абсцис, не перетинаючи її, подібно до вершини параболи на осі. У стандартному прикладі x(x+4)^2 = 0 графік перетинає вісь у точці x = 0 і лише дотикається до осі в точці x = -4 . Потрійний корінь (усі три рівні) виглядає як точка перегину, що лежить точно на осі.

Оновлено: 02.10.2026

Розв'язує будь-яке кубічне рівняння ax³ + bx² + cx + d = 0 методом Кардано. Введіть чотири коефіцієнти — і калькулятор поверне дійсні корені, позначить комплексні та виявить кратні корені.

Кубічне рівняння

Формула кубічного рівняння

Формула

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \neq 0 \] \[ \text{Підставимо } x = t - \frac{b}{3a} \text{ і отримаємо зведене кубічне рівняння: } t^3 + pt + q = 0 \] \[ p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \qquad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3} \]

Де:

\(a, b, c, d\) — коефіцієнти кубічного рівняння
\(p, q\) — коефіцієнти зведеного кубічного рівняння після усунення квадратного члена

Далі застосовується метод Кардано. Ключовою величиною є дискримінант \(\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3\):

Якщо \(\Delta > 0\), існує один дійсний корінь, який обчислюється так:
\( t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}} \)
Якщо \(\Delta = 0\), усі корені дійсні, і принаймні два збігаються: \( t_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}} \), \( t_2 = t_3 = -\sqrt[3]{-\frac{q}{2}} \)
Якщо \(\Delta < 0\), існують три різні дійсні корені, які знаходяться через тригонометричну форму \( t_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{3}\right) \), де \( \cos\theta = \frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}} \), \( k = 0, 1, 2 \)

Кожен корінь початкового рівняння знаходиться зворотною підстановкою: \( x = t - \frac{b}{3a} \).

Кубічне рівняння — приклад обчислення

Приклад: розв'язати \( x^3 + 8x^2 + 16x = 0 \) (коефіцієнти \( a = 1 \), \( b = 8 \), \( c = 16 \), \( d = 0 \) — стандартні значення калькулятора).

\[ p = \frac{3 \cdot 1 \cdot 16 - 8^2}{3 \cdot 1^2} = \frac{48 - 64}{3} = -\frac{16}{3}, \qquad q = \frac{2 \cdot 8^3 - 9 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 16 + 27 \cdot 1^2 \cdot 0}{27 \cdot 1^3} = \frac{64}{27} \]

\[ \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{32}{27}\right)^2 + \left(-\frac{16}{9}\right)^3 = \frac{1024}{729} - \frac{4096}{729} \cdot \frac{1}{...} = 0 \]

Оскільки \( \Delta = 0 \), рівняння має кратний корінь. За \( \sqrt[3]{-\frac{q}{2}} = \sqrt[3]{-\frac{32}{27}} = -\frac{4}{3} \):

\[ t_1 = 2\left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{8}{3}, \qquad t_2 = t_3 = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \]

Зворотна підстановка \( x = t - \frac{8}{3} \):

\[ x_1 = -\frac{8}{3} - \frac{8}{3} = 0, \qquad x_2 = x_3 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -4 \]

Результат: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -4 \), \( x_3 = -4 \). Це можна перевірити розкладанням на множники: \( x^3 + 8x^2 + 16x = x(x+4)^2 \).

Як користуватися калькулятором

Введіть старший коефіцієнт a (число перед \( x^3 \)). Він не може дорівнювати 0 — інакше рівняння не є кубічним, і калькулятор покаже помилку.
Введіть коефіцієнт b — множник при \( x^2 \).
Введіть коефіцієнт c — множник при \( x \).
Введіть коефіцієнт d — вільний член. Якщо рівняння не має вільного члена (як у \( x^3 + 8x^2 + 16x = 0 \)), введіть 0.
Зчитайте результати: корінь x₁, корінь x₂ і корінь x₃. Якщо рівняння має лише один дійсний розв'язок, два інші поля показуватимуть «Комплексний корінь», оскільки два інші корені є комплексно-спряженими.

Що таке кубічне рівняння?

Кубічне рівняння — це будь-яке поліноміальне рівняння третього степеня, записане у стандартній формі \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \), де \( a \neq 0 \). Кожне кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами має принаймні один і не більше трьох дійсних коренів. На відміну від квадратного рівняння, яке можна розв'язати однією компактною формулою, кубічне потребує розкладання на множники, методу Кардано або чисельного підходу — саме тому інструмент для розв'язання економить стільки часу.

Калькулятор спочатку усуває член \( x^2 \). Підстановка \( x = t - \frac{b}{3a} \) перетворює будь-яке кубічне рівняння на зведене кубічне рівняння \( t^3 + pt + q = 0 \) — простішу форму, відому з XVI століття. Формула Кардано потім обчислює подібну до дискримінанта величину \( \Delta \), яка вказує на природу коренів ще до їх обчислення: один дійсний та два комплексні корені, коли \( \Delta > 0 \); усі дійсні з кратним коренем, коли \( \Delta = 0 \); і три різні дійсні корені, коли \( \Delta < 0 \).

Тлумачити результат просто. Якщо всі три корені є числами, графік функції \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) перетинає вісь абсцис у цих точках (дотикаючись до неї у кратному корені). Якщо два поля показують «Комплексний корінь», графік перетинає вісь абсцис лише один раз — в одній дійсній точці, яка виводиться. Два приховані корені утворюють пару комплексно-спряжених чисел; їх можна дослідити детальніше за допомогою калькулятора комплексних чисел.

Кубічні рівняння трапляються всюди в прикладній математиці: пошук точок перетину в геометрії, обчислення власних значень у лінійній алгебрі, моделювання задач об'єму у фізиці та аналіз стійкості в інженерії й економіці.

Припущення, обмеження та поради

Коефіцієнт a має бути ненульовим. Якщо \( a = 0 \), рівняння насправді є квадратним (або лінійним) — скористайтеся калькулятором квадратних рівнянь.
Комплексні корені позначаються, а не обчислюються. Калькулятор повертає дійсні корені чисельно і показує «Комплексний корінь» для недійсної пари. Це робить результат чітким для щоденного використання.
Округлення до 5 десяткових знаків. Результати округлюються, тому корінь на кшталт \( \sqrt[3]{2} \) відображається як 1,25992. Для більшості цілей такої точності більш ніж достатньо; при підстановці округленого кореня назад у рівняння можуть виникнути невеликі розбіжності.
Числові граничні випадки. Дуже великі або дуже малі коефіцієнти можуть спричинити похибки округлення з плаваючою комою, тому дискримінант, який математично дорівнює точно нулю, може обчислюватися як дуже мале додатне або від'ємне число. У таких випадках показані корені можуть відрізнятися в останніх десяткових знаках.
Перевірка за правилом Декарта. Перед розв'язанням можна оцінити, скільки додатних і від'ємних дійсних коренів існує, за допомогою калькулятора правила знаків Декарта, а потім використати результат як перевірку коректності. У парі з ним калькулятор кубічного кореня зручний, коли потрібно обчислити лише \( \sqrt[3]{n} \) для одного числа.
Спочатку спробуйте просте розкладання. Завжди перевіряйте, чи \( x = 0 \) є коренем (тобто \( d = 0 \)), або чи не задовольняє рівняння якесь очевидне ціле число, як-от 1, −1, 2 чи −2 — виокремлення одного кореня зводить кубічне рівняння до квадратного, яке легко розв'язати в умі.

Часті запитання

Як розв'язати кубічне рівняння вручну без формули Кардано?

Спочатку спробуйте теорему про раціональні корені: будь-який раціональний корінь \( \frac{m}{n} \) має \( m \) — дільник вільного члена \( d \), а \( n \) — дільник старшого коефіцієнта \( a \). Перевірте кандидати на кшталт ±1, ±2, ±d підстановкою. Коли один корінь \( x_1 \) знайдено, поділіть многочлен на \( (x - x_1) \) (ділення «куточком» або за схемою Горнера), щоб отримати квадратне рівняння, а потім застосуйте формулу коренів квадратного рівняння. Це покриває більшість навчальних кубічних рівнянь.

Скільки дійсних коренів може мати кубічне рівняння?

Завжди принаймні один і не більше трьох. Величина \( \Delta \) на сторінці це визначає: \( \Delta > 0 \) дає один дійсний корінь і пару комплексно-спряжених, \( \Delta = 0 \) дає три дійсні корені, з яких принаймні два рівні, а \( \Delta < 0 \) дає три різні дійсні корені. Можна також швидко перевірити за графіком: многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має перетинати вісь абсцис хоча б один раз.

Як перевірити корені, які повертає калькулятор?

Підставте кожен корінь назад у \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) — результат має дорівнювати 0 (або бути дуже близьким до нуля, оскільки значення округлені до 5 десяткових знаків). Для додаткової перевірки можна використати формули Вієта: сума коренів дорівнює \( -\frac{b}{a} \), а їх добуток — \( -\frac{d}{a} \). Для прикладу \( x(x+4)^2 \) сума дорівнює \( 0 - 4 - 4 = -8 = -\frac{8}{1} \).

Чому калькулятор пише «Комплексний корінь» замість числа?

Коли \( \Delta > 0 \), два інші корені є комплексно-спряженими \( u \pm vi \). Калькулятор повертає лише числові дійсні корені, тому він позначає недійсну пару, а не виводить комплексні значення. Якщо вони вам потрібні, зауважте, що дійсна частина \( u \) дорівнює \( -\frac{b}{3a} \) мінус половина дійсного кореня, і скористайтеся квадратним множником, який залишається після виокремлення дійсного кореня.

Що геометрично означає кратний корінь?

Кратний (подвійний) корінь — це точка, у якій крива \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) дотикається до осі абсцис, не перетинаючи її, подібно до вершини параболи на осі. У стандартному прикладі \( x(x+4)^2 = 0 \) графік перетинає вісь у точці \( x = 0 \) і лише дотикається до осі в точці \( x = -4 \). Потрійний корінь (усі три рівні) виглядає як точка перегину, що лежить точно на осі.

Чи можна вводити дроби або десяткові числа як коефіцієнти?

Поля введення приймають десяткові числа, зокрема від'ємні (наприклад, 0,5 або -2,75). Для дробових коефіцієнтів, як-от \( \frac{1}{2}x^3 - 3x + 4 \), або переведіть їх у десяткові (a = 0,5), або спочатку помножте все рівняння на спільний знаменник — множення кожного члена на одне й те саме ненульове число не змінює коренів.

Які типові помилки під час використання калькулятора кубічних рівнянь?

Найчастіші помилки — введення членів у неправильному порядку (пам'ятайте: a множить \( x^3 \), d — це просто вільний член), пропуск нульового коефіцієнта (в \( x^3 - 8 = 0 \) потрібно ввести b = 0 і c = 0) і втрата знаків «мінус» під час переписування з паперу. Також зауважте, що \( x^3 + 5x^2 \) — не повний запис: відсутні члени автоматично не вважаються нулями, якщо ви не введете 0.