Fadenpendel-Rechner
Berechnen Sie die Schwingungsdauer eines Fadenpendels aus Länge und Erdbeschleunigung oder finden Sie die Länge für eine gewünschte Dauer. Geben Sie den bekannten Wert ein und erhalten Sie Dauer, Frequenz und Schwingungen pro Minute.
Die Periodendauer eines Pendels aus seiner Länge berechnen
Formel für das Fadenpendel
Dabei ist:
- \(T\) — Dauer einer vollständigen Schwingung (s)
- \(L\) — Länge des Pendels, vom Aufhängepunkt bis zum Mittelpunkt des Pendelkörpers (m)
- \(g\) — Erdbeschleunigung (m/s², auf der Erde 9,81)
- \(f\) — Frequenz in Hertz (Hz), die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde
Die erste Formel liefert die Schwingungsdauer aus der Länge; die zweite ist dieselbe Gleichung, umgestellt nach der Länge, die für eine gewünschte Dauer nötig ist. Beachten Sie, dass die Masse des Pendelkörpers überhaupt nicht vorkommt — sie hat keinen Einfluss auf die Dauer eines idealen Pendels.
Fadenpendel – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Pendel mit einem 1 m langen Faden schwingt auf der Erde, wo \(g = 9.81\ \text{m/s}^2\) gilt. Wie groß ist seine Schwingungsdauer?
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.81}} = 2\pi \times 0.3193 \approx 2.006\ \text{s} \]
Ergebnis: Das Pendel vollführt alle 2,006 s eine komplette Hin- und Herschwingung. Das entspricht einer Frequenz von \(f = 1/T \approx 0.4985\ \text{Hz}\), also rund 29,9 Schwingungen pro Minute.
In umgekehrter Richtung: Um ein Pendel mit einer Schwingungsdauer von genau 2 s auf der Erde zu bauen, bräuchten Sie eine Länge von \(L = 9.81\,(2/2\pi)^2 \approx 0.994\ \text{m}\).
So benutzen Sie den Rechner
- Wählen Sie im Auswahlfeld Berechnen mit die Option Pendellänge (L), wenn Sie die Länge kennen und die Dauer suchen, oder Schwingungsdauer (T), wenn Sie die für eine Ziel-Dauer nötige Länge bestimmen wollen.
- Geben Sie den bekannten Wert ein: entweder Pendellänge (L) mit ihrer Einheit (m, cm, ft oder in) oder Schwingungsdauer (T) in Sekunden. Der Rechner zeigt automatisch nur das jeweils relevante Feld an.
- Optional können Sie die Masse des Pendelkörpers (m) in kg, g oder lb eingeben. Die Masse ändert die Schwingungsdauer nicht; sie wird nur in den Ergebnissen mit ausgegeben, damit Sie einen vollständigen Überblick über Ihr Pendel haben.
- Prüfen Sie die Erdbeschleunigung (g). Der Standardwert 9,81 m/s² gilt für die Erde; geben Sie 1,62 für den Mond oder 3,72 für den Mars ein, um zu sehen, wie sich dasselbe Pendel dort verhält. Sie können die Einheit auch auf ft/s² umstellen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Dauer in Sekunden, die Frequenz in Hz, die Kreisfrequenz \(\omega\), die Schwingungen pro Minute sowie die Länge, umgerechnet in m, cm, ft und in.
Was ist ein Fadenpendel?
Ein Fadenpendel (mathematisches Pendel) ist ein idealisiertes System: eine Punktmasse (der Pendelkörper), die an einem masselosen, unausdehnbaren Faden hängt, der an einem festen Aufhängepunkt befestigt ist. Wird der Pendelkörper ausgelenkt und losgelassen, schwingt er unter dem Einfluss der Schwerkraft hin und her. Jeder vollständige Durchlauf — nach einer Seite, zurück durch die Mitte, zur anderen Seite und wieder zurück — ist eine Schwingung, und ihre Dauer ist die Schwingungsdauer \(T\).
Die entscheidende Erkenntnis der Pendelformel steckt in dem, was nicht in ihr vorkommt: kein Term für die Masse und keiner für die Amplitude. Ein 10-g-Körper und ein 10-kg-Körper an einem 1 m langen Faden schwingen mit exakt derselben Dauer, und eine kleine Auslenkung und eine etwas größere Auslenkung dauern gleich lang. Deshalb wurde das Pendel jahrhundertelang das Herz der Zeitmessung mechanischer Uhren: Sein Tick bleibt bemerkenswert gleichmäßig, während die Feder sich entspannt und die Amplitude allmählich abnimmt.
Die Schwingungsdauer wächst mit der Quadratwurzel der Länge — vervierfacht man die Länge, verdoppelt sich die Dauer nur. Sie schrumpft auch bei stärkerer Schwerkraft — dasselbe 1-m-Pendel, das auf der Erde etwa 2 s braucht, schwingt nur unter deutlich schwächerer Schwerkraft mit einer zügigeren Dauer von 4,94 s: Auf dem Mond dehnt sich seine Schwingungsdauer auf etwa 4,93 s aus, weil \(g\) dort nur 1,62 m/s² beträgt. Wenn Sie die energetische Seite der Bewegung erkunden möchten — wie die potentielle Energie am höchsten Punkt der Schwingung in kinetische Energie umgewandelt wird — probieren Sie die Rechner zu Energieerhaltung und Kinetischer Energie.
Annahmen und Grenzen
- Nur kleine Amplituden. Die Formel setzt voraus, dass der Auslenkwinkel unterhalb von etwa 15° gegenüber der Senkrechten bleibt. Bei 15° ist die tatsächliche Dauer bereits etwa 0,5 % länger als die Formel vorhersagt; bei 60° wächst der Fehler über 18 %. Als Faustregel: Für uhrenähnliche Genauigkeit die Amplituden klein halten.
- Idealer Faden und Aufhängepunkt. Der Faden wird als masselos und vollkommen biegsam behandelt, der Aufhängepunkt als reibungsfrei. In Wirklichkeit verschieben ein schwerer Faden, eine steife Stange oder Reibung am Aufhängepunkt die Schwingungsdauer leicht.
- Kein Luftwiderstand, keine Dämpfung. Reale Pendel verlieren bei jeder Schwingung etwas Energie, was vor allem die Amplitude mit der Zeit verringert; die Schwingungsdauer ändert sich anfangs nur sehr wenig.
- Pendelkörper als Punktmasse. \(L\) wird bis zum Massenmittelpunkt des Pendelkörpers gemessen, nicht bis zu seiner Ober- oder Unterkante.
- Einheitliche Schwerkraft. \(g\) wird als konstant über den Bewegungsbereich des Pendels angenommen. Auf der Erde schwankt \(g\) leicht mit Breitengrad und Höhe (etwa von 9,78 bis 9,83 m/s²), was die Schwingungsdauer eines langen Pendels messbar verändert.
Typische Schwingungsdauern auf der Erde (g = 9,81 m/s²)
| Länge L | Dauer T | Schwingungen pro Minute |
|---|---|---|
| 0,25 m | 1,00 s | 59,7 |
| 0,5 m | 1,42 s | 42,3 |
| 1 m | 2,01 s | 29,9 |
| 1,5 m | 2,46 s | 24,4 |
| 2 m | 2,84 s | 21,2 |
| 4 m | 4,01 s | 14,9 |
Praktische Tipps
Um bei einer Pendeluhr einen Takt von genau 1 s pro Halbschwingung zu erreichen (das klassische „Sekundenpendel“), sollten Sie auf eine volle Schwingungsdauer von 2 s zielen, wofür auf der Erde eine Länge von etwa 0,994 m nötig ist. Da die Dauer mit \(\sqrt{L}\) skaliert, bieten selbst feine Änderungen der Länge eine noch feinere Kontrolle über die Schwingungsdauer: Kürzt man den Faden um 1 %, verkürzt sich die Dauer nur um 0,5 %.
Das Pendel ist auch ein klassisches Instrument, um die örtliche Schwerkraft zu messen. Stoppen Sie mit einer Stoppuhr 20 oder mehr volle Schwingungen, teilen Sie durch deren Anzahl, um \(T\) zu erhalten, messen Sie \(L\) sorgfältig bis zum Mittelpunkt des Pendelkörpers und stellen Sie die Formel um zu \(g = 4\pi^2 L / T^2\). Wer viele Schwingungen statt nur einer stoppt, verteilt den Reaktionsfehler auf die gesamte Messreihe und macht das Ergebnis deutlich genauer. Für verwandte Aufgaben aus der Mechanik siehe die Rechner zur Atwoodschen Fallmaschine und zur Seilspannung.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Schwingungsdauer eines Pendels von Hand?
Teilen Sie die Länge in Metern durch 9,81, ziehen Sie die Quadratwurzel und multiplizieren Sie mit \( 2\pi \) (etwa 6,283). Für ein 2-m-Pendel: \( 2/9.81 \approx 0.204 \), \( \sqrt{0.204} \approx 0.452 \) und \( 6.283 \times 0.452 \approx 2.84 \) s. Ist Ihre Länge in Zentimetern oder Fuß, rechnen Sie zuerst in Meter um: 1 ft = 0,3048 m, 1 in = 0,0254 m, 1 cm = 0,01 m.
Soll ich eine ganze Schwingung oder nur eine Seite für die Dauer stoppen?
Die Schwingungsdauer \( T \) ist die Zeit einer vollständigen Schwingung: von einem Extrempunkt durch die Mitte zum anderen Extrempunkt und ganz zurück. Stoppen Sie nur den Weg von einer Seite zurück zu derselben Seite, ist das die volle Dauer; der Weg bis zur gegenüberliegenden Seite ist die Hälfte davon. Ein häufiger Fehler ist, Halbperioden zu stoppen und mit der Formel zu vergleichen — das lässt das Pendel doppelt so schnell erscheinen, als es in Wirklichkeit ist.
Warum weicht meine gemessene Dauer etwas vom Ergebnis des Rechners ab?
Reale Pendel weichen aus mehreren Gründen von der idealen Formel ab: Der Auslenkwinkel kann 15° überschreiten, der Faden hat Masse und Steifheit, der Aufhängepunkt hat Reibung, und der Luftwiderstand bremst den Pendelkörper. Prüfen Sie auch, wie Sie die Länge gemessen haben — sie muss vom Aufhängepunkt bis zum Mittelpunkt des Pendelkörpers reichen, nicht bis zu seiner Ober- oder Unterkante. Kleine Timing-Fehler beim Stoppen mit der Hand addieren sich ebenfalls; stoppen Sie daher 20+ Schwingungen und teilen Sie durch deren Anzahl.
Ist die Formel auch bei großen Auslenkwinkeln noch genau?
Nein — die Grundformel setzt kleine Amplituden voraus. Eine bessere Näherung fügt einen Korrekturterm hinzu: \( T \approx T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right) \), wobei \( \theta_0 \) der Auslenkwinkel beim Loslassen im Bogenmaß ist. Bei 10° liegt die Korrektur unter 0,2 %, bei 30° bei etwa 1,7 %, und bei 60° ist die tatsächliche Dauer rund 18 % länger, als die einfache Formel vorhersagt. Halten Sie die Auslenkung für uhrengenaue Ergebnisse unter etwa 15°.
Was ist der Unterschied zwischen einem Fadenpendel und einem realen Pendel an einer Stange?
Ein Fadenpendel ist eine Idealisierung: eine Punktmasse an einem masselosen Faden. Ein reales Pendel, das an einer starren Stange mit verteilter Masse schwingt, ist ein physikalisches Pendel; seine Schwingungsdauer ist \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \), wobei \( I \) das Trägheitsmoment und \( d \) der Abstand vom Aufhängepunkt zum Massenmittelpunkt ist. Standuhren verwenden physikalische Pendel — deshalb weicht ihre wirksame Länge von der Vorhersage der einfachen Formel ab.
Warum schwingt ein schwererer Pendelkörper nicht langsamer?
Die Schwerkraft zieht an einem schwereren Körper stärker, aber ein schwererer Körper ist auch schwerer zu beschleunigen — beide Effekte heben sich exakt auf. Verdoppelt man die Masse, verdoppeln sich sowohl die Gravitationskraft als auch die Trägheit, sodass ihr Verhältnis und damit die Schwingungsdauer gleich bleiben. Das gilt nur ohne Luftwiderstand: Bei sehr leichten Pendelkörpern aus Schaumstoff oder Papier wird der Luftwiderstand spürbar und die Bewegung verlangsamt sich und flaunt schneller ab.
Wie kann ich mit diesem Pendel selbst die Schwerkraft messen?
Stellen Sie die Formel um zu \( g = 4\pi^2 L / T^2 \). Hängen Sie einen dichten, kompakten Pendelkörper an einen dünnen Faden von mindestens 1 m Länge, messen Sie \( L \) vom Aufhängepunkt bis zum Mittelpunkt des Körpers mit einem Maßband, stoppen Sie dann 30–50 volle Schwingungen mit einer Stoppuhr und teilen Sie, um \( T \) zu finden. Wer viele Schwingungen stoppt, verteilt seinen Reaktionsfehler; Sie sollten \( g \) innerhalb von 1–2 % von 9,81 m/s² erhalten. Halten Sie den Auslenkwinkel unter 10°.