Vergrößerungsrechner
Geben Sie die Objekt- und Bildhöhe oder deren Abstände von einer Linse bzw. einem Spiegel ein, um die lineare Vergrößerung, die Bildgröße und die Auskunft, ob das Bild aufrecht oder umgekehrt ist, zu erhalten.
Die Vergrößerung einer Linse oder eines Spiegels berechnen
Vergrößerungsformel
Dabei gilt:
- \(m\) — lineare (transversale) Vergrößerung, eine dimensionslose Zahl
- \(h'\) — Höhe des Bildes; ein negativer Wert bedeutet, dass das Bild umgekehrt ist
- \(h\) — Höhe des Objekts (für ein reelles Objekt immer positiv)
- \(v\) — Bildabstand von der Linse oder dem Spiegel; positiv für ein reelles Bild, negativ für ein virtuelles Bild
- \(u\) — Objektivabstand von der Linse oder dem Spiegel; positiv für ein reelles Objekt
Die Formel drückt aus, dass ähnliche Dreiecke, die vom Objekt, vom Bild und von den Strahlen durch das optische Zentrum (bzw. den Spiegel Scheitelpunkt) gebildet werden, das Verhältnis der Höhen gleich dem Verhältnis der Abstände machen. Das Minuszeichen in \(m = -v/u\) folgt der Vorzeichenkonvention „reell ist positiv“ und macht die Vergrößerung für ein umgekehrtes, reelles Bild automatisch negativ.
Vergrößerung – Berechnungsbeispiel
Beispiel: Ein 5 cm hohes Objekt steht vor einer Sammellinse und erzeugt ein umgekehrtes Bild von 10 cm Höhe (als negative Bildhöhe eingegeben, da es auf dem Kopf steht).
\[ m = \frac{h'}{h} = \frac{-10 \text{ cm}}{5 \text{ cm}} = -2 \]
Ergebnis: \(m = -2\). Das Bild ist umgekehrt und doppelt so hoch wie das Objekt (200 % seiner Größe), also 10 cm hoch. Da die Vergrößerung negativ ist und es sich um eine einzelne dünne Linse handelt, ist das Bild auch reell.
Kontrolle mit den Abständen: Derselbe Aufbau ergibt einen Objektivabstand von 20 cm und einen Bildabstand von 40 cm (reelles Bild, also \(v > 0\)):
\[ m = -\frac{v}{u} = -\frac{40 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} = -2 \]
Ergebnis: Beide Methoden stimmen überein: \(m = -2\), Bildhöhe \(h' = m \cdot h = -2 \times 5\text{ cm} = -10\text{ cm}\).
So verwenden Sie den Vergrößerungsrechner
- Öffnen Sie das Dropdown-Menü Berechnungsmodus und wählen Sie je nachdem, welches Wertepaar Sie kennen, Objekt- und Bildhöhe oder Objekt- und Bildabstand.
- Geben Sie im Höhenmodus die Objekthöhe (h) und die Bildhöhe (h′) mit ihren Einheiten ein. Tippen Sie die Bildhöhe als negative Zahl ein, wenn das Bild umgekehrt ist.
- Geben Sie im Abstandsmodus den Objektivabstand (u) und den Bildabstand (v) ein. Halten Sie \(v\) für ein reelles Bild positiv und für ein virtuelles negativ. Füllen Sie optional die Objekthöhe aus, damit der Rechner auch die Bildgröße ausgibt.
- Lesen Sie die Vergrößerungsergebnisse ab: die vorzeichenbehaftete Vergrößerung \(m\), ihr Betrag \(|m|\), die Bildgröße als Prozentsatz des Objekts und — wenn eine Objekthöhe angegeben ist — die Bildhöhe in mehreren Einheiten.
Was ist Vergrößerung?
Die Vergrößerung sagt Ihnen, wie viel größer oder kleiner ein Bild im Vergleich zu dem Objekt ist, das es erzeugt hat, und in welcher Orientierung es erscheint. Die lineare (transversale) Vergrößerung \(m\) ist ein Verhältnis von Höhen und hat daher keine Einheiten: \(m = 3\) bedeutet, dass das Bild dreimal so hoch ist wie das Objekt, und \(m = 0.5\) bedeutet, dass es halb so hoch ist.
Das Vorzeichen trägt die Orientierung. Ein negatives \(m\) bedeutet, dass das Bild umgekehrt (auf dem Kopf stehend) ist; ein positives \(m\) bedeutet, dass es aufrecht ist. Bei einer einzelnen dünnen Linse oder einem Spiegel sagt Ihnen dieses Vorzeichen auch etwas über die Natur des Bildes: Ein umgekehrtes Bild ist reell — es kann auf einen Schirm projiziert werden —, während ein aufrechtes virtuell ist und nur durch die Linse hindurch bzw. in den Spiegel hinein betrachtet werden kann.
Die beiden gleichwertigen Formen der Formel stammen aus der Geometrie. Strahlen, die von der Spitze des Objekts durch das optische Zentrum der Linse gezogen werden (oder von einem Spiegel reflektiert werden), erzeugen zwei ähnliche Dreiecke, daher ist das Höhenverhältnis gleich dem Abstandsverhältnis: \(h'/h = -v/u\). Das Minuszeichen existiert, weil ein reelles Bild, das auf der gegenüberliegenden Seite einer Linse liegt (oder vor einem Spiegel), gegenüber dem Objekt umgekehrt ist.
In der Praxis ist die Vergrößerung überall dort wichtig, wo Optik auftaucht: bei der Auswahl des Objektivs eines Mikroskops oder Teleskops, beim Entwurf eines Projektors, bei der Bemessung einer Lupe oder bei der Prüfung des Bildes, das ein Kameraobjektiv erzeugt. In Verbindung mit dem Bildabstand ermöglicht sie außerdem, die Größe des Bildes auf einem Sensor oder Schirm allein aus der Größe des Objekts vorherzusagen.
Interpretation des Ergebnisses
| Vergrößerung | Bildgröße | Orientierung | Natur (einzelne Linse/Spiegel) |
|---|---|---|---|
| \(|m| < 1\) | Verkleinert (kleiner als das Objekt) | Hängt vom Vorzeichen ab | — |
| \(|m| = 1\) | Gleiche Größe wie das Objekt | Hängt vom Vorzeichen ab | — |
| \(|m| > 1\) | Vergrößert (größer als das Objekt) | Hängt vom Vorzeichen ab | — |
| \(m < 0\) | — | Umgekehrt | Reell |
| \(m > 0\) | — | Aufrecht | Virtuell |
Annahmen, Grenzen und Hinweise
- Die Formeln gelten für eine einzelne dünne Linse oder einen Kugelspiegel unter der paraxialen Näherung (kleine Winkel). Dicke Linsen, zusammengesetzte Systeme und weit geöffnete Strahlen erzeugen Abbildungsfehler, die das einfache Verhältnis nicht erfassen kann.
- Dieser Rechner verwendet die Vorzeichenkonvention „reell ist positiv“: Reelle Objekte und reelle Bilder erhalten positive Abstände. Manche Lehrbücher verwenden die kartesische Konvention, bei der die Formel \(m = v/u\) statt \(m = -v/u\) lautet — prüfen Sie, welche Konvention Ihr Kurs verwendet, bevor Sie Ergebnisse vergleichen.
- Im Höhenmodus kann die Natur des Bildes (reell oder virtuell) nicht allein aus den Höhen entschieden werden; der Rechner nennt die übliche Regel (umgekehrt → reell, aufrecht → virtuell bei einem einzelnen Element), aber Systeme mit mehreren Linsen können sie durchbrechen.
- Die hier berechnete lineare Vergrößerung ist etwas anderes als die Winkelvergrößerung, die für Mikroskope und Teleskope angegeben wird und Betrachtungswinkel statt Höhen vergleicht.
- Halten Sie die Einheiten konsistent: Der Rechner rechnet jede Eingabe aus der gewählten Einheit um, sodass gemischte Einheiten (z. B. Objekt in cm, Bild in Zoll) korrekt behandelt werden.
Weitere Physik-Werkzeuge finden Sie in unserem Rechner für kinematische Gleichungen oder im Energieerhaltungsrechner.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Vergrößerung von Hand ohne Rechner?
Teilen Sie die Bildhöhe durch die Objekthöhe: \(m = h'/h\). Zum Beispiel ergibt ein 2 cm großes Bild eines 4 cm großen Objekts \(m = 0.5\) — das Bild ist halb so groß wie das Objekt. Wenn Sie nur die Abstände kennen, verwenden Sie \(m = -v/u\) (Konvention „reell ist positiv“). Behalten Sie das Vorzeichen der Bildhöhe bei: Geben Sie sie als negativ ein, wenn das Bild auf dem Kopf steht, sonst gehen die Information zur Orientierung verloren.
Was bedeutet eine negative Vergrößerung?
Eine negative Vergrößerung bedeutet, dass das Bild gegenüber dem Objekt umgekehrt (auf dem Kopf stehend) ist. Der Betrag sagt Ihnen weiterhin das Größenverhältnis: \(m = -2\) bedeutet, dass das Bild doppelt so hoch und gespiegelt ist. Bei einer einzelnen dünnen Linse oder einem Kugelspiegel zeigt ein negatives \(m\) außerdem ein reelles Bild an, das auf einen Schirm projiziert werden kann. Ein positives \(m\) bedeutet ein aufrechtes Bild, das bei einem einzelnen Element virtuell ist.
Hat die Vergrößerung Einheiten? Kann ich cm und Zoll mischen?
Nein — die Vergrößerung ist ein Verhältnis zweier Längen und daher dimensionslos; \(m = 3\) bedeutet einfach dreimal so groß. Wenn Sie jedoch eine Bildhöhe aus \(h' = m \cdot h\) berechnen, entsprechen die Einheiten des Ergebnisses den Einheiten der Objekthöhe. Dieser Rechner rechnet jede Eingabe (mm, cm, m, Zoll, ft) intern um, sodass Sie das Objekt in Zoll und das Bild in Zentimetern eingeben können, ohne selbst umzurechnen.
Warum hat die Formel in meinem Lehrbuch kein Minuszeichen?
Es gibt zwei gängige Vorzeichenkonventionen. Die hier verwendete Konvention „reell ist positiv“ ergibt \(m = -v/u\). Die kartesische Konvention, die in vielen Physiklehrbüchern verbreitet ist, misst Abstände von der Linse mit richtungsbasierten Vorzeichen und schreibt direkt \(m = v/u\). Beide liefern dieselbe physikalische Antwort, wenn man sie konsequent anwendet. Prüfen Sie vor dem Vergleich von Ergebnissen, welche Konvention Ihr Kurs verwendet — eine Vorzeichendifferenz ist die häufigste Quelle von Verwirrung.
Was ist der Unterschied zwischen linearer und Winkelvergrößerung?
Die lineare (transversale) Vergrößerung vergleicht tatsächliche Höhen, \(m = h'/h\), und gilt für Bilder ausgedehnter Objekte auf Schirmen oder Sensoren. Die Winkelvergrößerung vergleicht den Winkel, unter dem ein Objekt dem Auge mit und ohne Instrument erscheint — das ist es, was die Angabe „10ד auf Ferngläsern oder einem Mikroskop-Okular bedeutet. Die beiden Zahlen sind verschieden, vergleichen Sie also nicht die Winkelangabe eines Teleskops mit einem linearen \(m\) aus diesem Rechner.
Was passiert, wenn die Vergrößerung 1 oder 0 beträgt?
\(m = 1\) bedeutet, dass das Bild genau so groß ist wie das Objekt; bei einem einzelnen Element geschieht dies, wenn das Objekt in der doppelten Brennweite steht. \(m = -1\) ergibt ein gleich großes, aber umgekehrtes Bild, wie es in manchen optischen Aufbauten verwendet wird. Eine Vergrößerung nahe null bedeutet, dass das Bild winzig ist — etwa wenn das Objekt sehr weit entfernt ist —, und \(m = 0\) genau entspricht einem Objekt im Unendlichen, das als Punkt in der Brennebene abgebildet wird.
Kann ich diesen Rechner für zwei Linsen oder ein zusammengesetztes System verwenden?
Nur mit Vorsicht. Die Formel \(m = -v/u\) ist für eine dünne Linse oder einen Kugelspiegel hergeleitet. Bei mehreren Elementen berechnen Sie jede Stufe einzeln: Das Bild der ersten Linse wird zum Objekt der zweiten, und die Gesamtvergrößerung ist das Produkt \(m_{total} = m_1 \cdot m_2 \cdot ...\). Beachten Sie außerdem, dass in zusammengesetzten Systemen ein umgekehrtes Bild nicht unbedingt reell sein muss, sodass die einfachen Vorzeichenregeln eines einzelnen Elements nicht mehr gelten.