Rechner für den exakten Test nach Fisher
Geben Sie die vier Häufigkeiten einer 2×2-Kontingenztabelle ein und erhalten Sie den exakten p-Wert des exakten Tests nach Fisher (zweiseitig und einseitig) sowie die Stichproben-Odds-Ratio und eine Interpretation auf dem 0,05-Niveau.
Zusammenhang in einer 2×2-Tabelle prüfen
Formel des exakten Tests nach Fisher
Dabei bedeuten:
- \(a, b, c, d\) — die vier Zellenhäufigkeiten der 2×2-Tabelle (\(a\) und \(b\) bilden Zeile 1, \(c\) und \(d\) Zeile 2)
- \(r_1 = a+b\) — die Zeilensumme der ersten Zeile; \(r_2 = c+d\), \(c_1 = a+c\), \(c_2 = b+d\) sind die übrigen Randsummen
- \(n = r_1+r_2\) — die Gesamtzahl der Beobachtungen
- \(X\) — der Wert der Zelle \(a\) in einer zufälligen Tabelle mit denselben festen Randsummen; er folgt der hypergeometrischen Verteilung
Bedingt auf die beobachteten Zeilen- und Spaltensummen ist die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Tabelle exakt durch die hypergeometrische Formel gegeben — eine Approximation über große Stichproben kommt nicht ins Spiel. Der zweiseitige p-Wert summiert die Wahrscheinlichkeiten aller Tabellen, die höchstens so wahrscheinlich sind wie die beobachtete (die Konvention, die auch R mit fisher.test verwendet). Die einseitigen p-Werte sind \(p_- = P(X \le a)\) für Odds Ratio < 1 und \(p_+ = P(X \ge a)\) für Odds Ratio > 1. Die Stichproben-Odds-Ratio ist \(OR = (a\,d)/(b\,c)\).
Exakter Test nach Fisher – Rechenbeispiel
Beispiel: Eine Studie vergleicht zwei Gruppen mit jeweils 10 Personen. In Gruppe 1 zeigen 8 Personen das Ergebnis 1 und 2 das Ergebnis 2; in Gruppe 2 zeigen 1 Person das Ergebnis 1 und 9 das Ergebnis 2. Also \(a=8\), \(b=2\), \(c=1\), \(d=9\), mit den Randsummen \(r_1=r_2=10\), \(c_1=9\), \(c_2=11\), \(n=20\).
\[ P(X=8)=\frac{\binom{9}{8}\binom{11}{2}}{\binom{20}{10}}=\frac{9\cdot 55}{184\,756}=\frac{495}{184\,756}\approx 0.002679 \]
Tabellen, die höchstens so wahrscheinlich sind wie die beobachtete, sind \(x=0,1,8,9\), mit den Wahrscheinlichkeiten \(0.0000595,\ 0.002679,\ 0.002679,\ 0.0000595\). Aufsummiert:
\[ p_{\text{zweiseitig}}=2\,(0.0000595+0.002679)\approx 0.005477 \]
\[ OR=\frac{a\,d}{b\,c}=\frac{8\cdot 9}{2\cdot 1}=36 \]
Ergebnis: zweiseitiger exakter p-Wert ≈ 0,00548, einseitiger p-Wert (OR > 1) ≈ 0,00274, einseitiger p-Wert (OR < 1) ≈ 0,99994, Stichproben-Odds-Ratio = 36. Der Zusammenhang ist auf dem 0,05-Niveau statistisch signifikant.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die Häufigkeit der ersten Gruppe und des ersten Ergebnisses unter Ergebnis 1 bei Gruppe 1 (Zeile 1) ein — dies ist Zelle \(a\).
- Geben Sie die Häufigkeit der ersten Gruppe und des zweiten Ergebnisses unter Ergebnis 2 bei Gruppe 1 (Zeile 1) ein — Zelle \(b\).
- Füllen Sie Ergebnis 1 und Ergebnis 2 bei Gruppe 2 (Zeile 2) aus — die Zellen \(c\) und \(d\).
- Wählen Sie die Alternativhypothese: zweiseitig für einen Zusammenhang in beliebiger Richtung (die Standardwahl) oder einseitig, wenn die Richtung bereits vor der Datenerhebung festgelegt wurde.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: den zweiseitigen exakten p-Wert, beide einseitigen p-Werte, die Stichproben-Odds-Ratio sowie den Interpretationsblock, der zusätzlich die kleinste erwartete Zellhäufigkeit angibt und ob eine Chi-Quadrat-Approximation vertretbar gewesen wäre.
Was ist der exakte Test nach Fisher?
Der exakte Test nach Fisher prüft anhand der Häufigkeiten einer 2×2-Kontingenztabelle, ob zwei kategoriale Variablen zusammenhängen — typischerweise eine Gruppierungsvariable (Behandlung gegen Kontrolle, exponiert gegen nicht exponiert) und ein binäres Ergebnis. Er beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich ist es, wenn die Zeilen- und Spaltensummen fest wären und die beiden Variablen in Wahrheit unabhängig wären, eine mindestens so extreme Tabelle zu beobachten wie die vorliegende?
Das Wort exakt ist der entscheidende Unterschied zum Chi-Quadrat-Test. Der Chi-Quadrat-Test beruht auf einer Approximation für große Stichproben, die unzuverlässig wird, wenn die erwarteten Zellhäufigkeiten klein sind (die klassische Faustregel warnt unter 5). Fishers Test berechnet die Wahrscheinlichkeiten dagegen direkt aus der hypergeometrischen Verteilung, sodass der p-Wert für jeden Stichprobenumfang gültig ist — auch bei sehr kleinen Häufigkeiten oder Nullzellen.
Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter der Nullhypothese „kein Zusammenhang“ eine mindestens so extreme Tabelle zu erhalten wie die beobachtete. Ein kleiner p-Wert (üblicherweise ≤ 0,05) bedeutet, dass eine so ungleichmäßige Tabelle durch reinen Zufall selten entstünde, weshalb die Daten auf einen Zusammenhang hindeuten. Ein großer p-Wert bedeutet, dass die Daten mit fehlendem Zusammenhang vereinbar sind — nicht, dass die Nullhypothese bewiesen wäre. Um die Stärke des Zusammenhangs und nicht nur seine statistische Signifikanz einzuschätzen, betrachten Sie die Odds Ratio, die dieser Rechner neben den p-Werten ausgibt; ausführlich behandelt sie der Rechner für Odds Ratio und relatives Risiko.
Die Wahl der Alternativhypothese ist wichtig. Der zweiseitige Test fragt nach einem Zusammenhang in beide Richtungen und ist die Standardeinstellung in den meisten Programmen. Ein einseitiger Test ist empfindlicher für einen Effekt in einer bestimmten Richtung, doch diese Richtung muss festgelegt werden, bevor die Daten gesehen werden — ein nachträglicher Wechsel zum einseitigen Test erhöht die Fehlalarmrate.
Voraussetzungen, Grenzen und praktische Hinweise
- Häufigkeiten, keine Prozentwerte. Die Zellen müssen rohe Häufigkeiten unabhängiger Beobachtungen enthalten. Geben Sie niemals Raten, Anteile oder Prozente ein — der Test wäre ungültig.
- Unabhängige Beobachtungen. Jede Versuchsperson darf genau zu einer Zelle beitragen. Gematchte oder gepaarte Designs (z. B. Vorher-Nachher-Messungen an denselben Personen) verletzen dies; der McNemar-Test ist die passende Alternative.
- Feste Randsummen. Der exakte p-Wert ist bedingt auf die beobachteten Zeilen- und Spaltensummen. Das ist die klassische Formulierung und deckt sich mit dem, was R und die meisten Programme ausgeben.
- Nullzellen. Der Test kommt mit Nullzellen problemlos zurecht. Die Stichproben-Odds-Ratio wird jedoch 0 oder unendlich, wenn \(b\,c = 0\) ist; in diesem Fall gibt der Rechner zusätzlich die um 0,5 korrigierte Schätzung \((a+0.5)(d+0.5)/((b+0.5)(c+0.5))\) aus.
- Signifikanz ist keine Effektstärke. Ein winziger p-Wert bei großer Stichprobe kann einem schwachen Zusammenhang entsprechen. Interpretieren Sie den p-Wert immer zusammen mit der Odds Ratio — und ziehen Sie beim Berichten von Ergebnissen ein Konfidenzintervall für die Effektstärke in Betracht.
- Wann der Chi-Quadrat-Test genügt. Wenn alle erwarteten Zellhäufigkeiten mindestens 5 betragen, liefern beide Tests ähnliche Ergebnisse, und Chi-Quadrat mit Yates-Kontinuitätskorrektur ist eine gängige Alternative. Der Interpretationsblock des Rechners nennt die kleinste erwartete Häufigkeit, sodass Sie das unmittelbar beurteilen können.
- Eine Tabellengröße. Dieser Rechner verarbeitet ausschließlich 2×2-Tabellen. Größere Tabellen erfordern einen allgemeinen Fisher–Freeman–Halton-Test oder ein exaktes Chi-Quadrat-Verfahren in Statistiksoftware.
Kurzreferenz: die vier p-Werte, die Ihnen begegnen können
| Größe | Definition | Wann verwenden |
|---|---|---|
| Zweiseitiger p-Wert | Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Tabellen, die höchstens so wahrscheinlich sind wie die beobachtete | Standard; Zusammenhang in beliebiger Richtung |
| Einseitiger p-Wert (OR > 1) | \(P(X \ge a)\) | Richtung (höhere Chancen in Gruppe 1) im Voraus festgelegt |
| Einseitiger p-Wert (OR < 1) | \(P(X \le a)\) | Richtung (niedrigere Chancen in Gruppe 1) im Voraus festgelegt |
| Odds Ratio | \((a\,d)/(b\,c)\) | Effektstärke, kein p-Wert; gemeinsam mit dem Test interpretieren |
Häufig gestellte Fragen
Wann sollte ich den exakten Test nach Fisher statt eines Chi-Quadrat-Tests verwenden?
Verwenden Sie den exakten Test nach Fisher, sobald eine erwartete Zellhäufigkeit unter etwa 5 fällt, Ihre Gesamtstichprobe klein ist oder eine Zelle den Wert null enthält — Situationen, in denen die Chi-Quadrat-Approximation versagt. Bei großen Stichproben und erwarteten Häufigkeiten von 5 oder mehr liefern beide Tests sehr ähnliche Ergebnisse, und beide sind vertretbar. Dieser Rechner gibt Ihre kleinste erwartete Häufigkeit aus, sodass Sie sofort erkennen, in welcher Situation Sie sich befinden.
Warum liefern verschiedene Programme unterschiedliche zweiseitige p-Werte für dieselbe Tabelle?
Es gibt mehrere Konventionen für den zweiseitigen Test. Dieser Rechner verwendet die gängigste, identisch mit fisher.test in R: Er summiert die Wahrscheinlichkeiten aller Tabellen, die höchstens so wahrscheinlich sind wie die beobachtete. Zu den Alternativen gehören die Verdopplung des kleineren einseitigen p-Werts oder die Summe aller Tabellen, deren Odds Ratio mindestens so weit von 1 entfernt ist wie die beobachtete. Kleine numerische Unterschiede sind normal und ändern die Schlussfolgerung auf dem 0,05-Niveau selten.
Wie berechne ich den exakten Test nach Fisher von Hand?
Berechnen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeit Ihrer beobachteten Tabelle aus der hypergeometrischen Verteilung: \(P = \binom{a+c}{a}\binom{b+d}{b} / \binom{n}{a+b}\), wobei Sie für die Binomialkoeffizienten Fakultäten verwenden. Listen Sie dann jede mögliche Tabelle mit denselben Zeilen- und Spaltensummen auf, berechnen Sie jede Wahrscheinlichkeit auf dieselbe Weise und summieren Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Tabellen, die höchstens so wahrscheinlich sind wie Ihre — diese Summe ist der zweiseitige p-Wert. Bei winzigen Randsummen ist das von Hand machbar; andernfalls ist Software deutlich sicherer.
Was ist ein guter oder normaler p-Wert?
Einen „normalen“ p-Wert gibt es nicht — er hängt vollständig von Ihren Daten ab. Üblich ist: p ≤ 0,05 gilt als statistisch signifikanter Beleg für einen Zusammenhang, p ≤ 0,01 als stärkerer Beleg, und p > 0,05 bedeutet, dass die Daten mit fehlendem Zusammenhang vereinbar sind. Ein nicht signifikantes Ergebnis beweist nicht, dass es keinen Effekt gibt — vor allem bei kleinen Stichproben nicht. Kombinieren Sie den p-Wert immer mit der Odds Ratio, um die Stärke des Zusammenhangs zu beurteilen.
Kann ich diesen Test mit Nullzellen oder sehr kleinen Stichproben verwenden?
Ja — genau dort zeigt der exakte Test seine Stärken. Nullzellen in der Tabelle sind für den p-Wert kein Problem, weil die hypergeometrische Formel gültig bleibt. Nur die Stichproben-Odds-Ratio ist betroffen: Fällt eine Null in das Nennerprodukt \(b\,c\), wird sie 0 oder unendlich; dann wird eine um 0,5 korrigierte Schätzung verwendet. Selbst eine Tabelle mit insgesamt 4 Beobachtungen liefert noch einen gültigen exakten p-Wert.
Was sind die häufigsten Fehler bei der Verwendung dieses Rechners?
Der größte Fehler ist die Eingabe von Prozentwerten, Anteilen oder Raten statt roher Häufigkeiten — der Test ist nur für ganzzahlige Häufigkeiten unabhängiger Beobachtungen gültig. Weitere häufige Fehler sind die Anwendung auf gepaarte Vorher-Nachher-Daten an denselben Versuchspersonen (hier ist der McNemar-Test korrekt) und der Wechsel zum einseitigen Test, nachdem das Ergebnis bereits gesehen wurde, was die Fehlalarmrate erhöht. Verzichten Sie auch darauf, Zeilen und Spalten nachträglich umzuordnen, um den p-Wert zu verkleinern.
Ist der exakte Test nach Fisher konservativ, und spielt das eine Rolle?
Er kann leicht konservativ sein, weil der p-Wert unter der Annahme berechnet wird, dass sowohl die Zeilen- als auch die Spaltenrandsummen fest sind, während in realen Studien meist nur die Zeilensummen (die Gruppengrößen) wirklich fest sind. Dadurch übersieht der Test einen realen Effekt etwas häufiger, als es seine nominale Fehlerquote von 5 % vermuten lässt. Der Effekt ist meist klein, und der Test bleibt allgemein anerkannt; Alternativen wie die exakten Tests nach Boschloo oder Barnard sind weniger konservativ, aber weniger verbreitet.