Hypergeometrische Verteilung Rechner
Berechnen Sie exakte und kumulative hypergeometrische Wahrscheinlichkeiten für Ziehen ohne Zurücklegen. Geben Sie die Populationsgröße, die Anzahl der Erfolge, die Anzahl der Ziehungen und die gewünschten Erfolge ein.
Hypergeometrische Wahrscheinlichkeiten berechnen
Formel der hypergeometrischen Verteilung
Dabei gilt:
- \(N\) — Populationsgröße (Gesamtzahl der Elemente)
- \(K\) — Anzahl der Erfolge in der Population (Elemente mit der gewünschten Eigenschaft)
- \(n\) — Anzahl der Ziehungen (Stichprobengröße, gezogen ohne Zurücklegen)
- \(k\) — gewünschte Anzahl der Erfolge in der Stichprobe
Die Formel liefert die Wahrscheinlichkeit, in einer Stichprobe von \(n\) Elementen, die ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population von \(N\) Elementen mit \(K\) Erfolgen gezogen werden, genau \(k\) Erfolge zu erhalten. Erwartungswert und Standardabweichung sind \(E(X) = nK/N\) und \(SD(X) = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}}\).
Hypergeometrische Verteilung – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Standardkartenspiel hat 52 Karten, davon 13 Herz. Sie ziehen 5 Karten und möchten die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Herz-Karten. Also \(N = 52\), \(K = 13\), \(n = 5\), \(k = 2\).
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \times 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0.2743 \]
Ergebnis: \(P(X = 2) \approx 0.2743\), also rund 27,43 % (etwa 1 von 4). Die kumulative Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 2)\) beträgt etwa 90,72 %, der Erwartungswert \(E(X) = 1.25\) Herz-Karten und die Standardabweichung etwa 0,93.
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie die Populationsgröße \(N\) ein — die Gesamtzahl der Elemente, aus denen Sie ziehen.
- Geben Sie die Erfolge in der Population \(K\) ein — wie viele dieser Elemente die gewünschte Eigenschaft besitzen.
- Geben Sie die Ziehungen (Stichprobengröße) \(n\) ein — wie viele Elemente Sie ohne Zurücklegen ziehen.
- Geben Sie die Gewünschten Erfolge \(k\) ein — die Anzahl der Erfolge, die Sie in Ihrer Stichprobe wünschen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die exakte Wahrscheinlichkeit \(P(X = k)\), die kumulativen Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le k)\), \(P(X k)\) (alle in Prozent) sowie Erwartungswert, Standardabweichung, die Formel mit eingesetzten Werten und eine leicht verständliche Interpretation.
Was ist die hypergeometrische Verteilung?
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge, die man erhält, wenn man eine feste Anzahl von Elementen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population zieht. Sie ist das richtige Modell, wann immer jede Ziehung die Zusammensetzung des Restbestands verändert — beim Austeilen von Karten aus einem Deck, bei der Entnahme von Teilen aus einer Charge für die Qualitätsprüfung, bei der Auswahl von Personen für eine Umfrage aus einer kleinen Gruppe oder beim Ziehen von Lottozahlen.
Ihr nächster Verwandter ist die Binomialverteilung, die Anwendung findet, wenn Elemente mit Zurücklegen gezogen werden (oder aus einer praktisch unendlichen Population), sodass jeder Durchgang dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Bei der hypergeometrischen Verteilung senkt jeder gezogene Erfolg die Erfolgsquote für die weiteren Ziehungen — genau das geschieht bei einem echten Kartenspiel oder einer endlichen Produktionscharge. Ist die Stichprobe klein im Vergleich zur Population (sagen wir, unter 5–10 %), liefern beide Verteilungen nahezu identische Ergebnisse.
Der Rechner gibt die Wahrscheinlichkeit sämtlicher Ergebnisse auf einmal aus, was oft nützlicher ist als der exakte Wert allein. So braucht etwa ein Qualitätsprüfer \(P(X \ge k)\) — die Chance, mindestens eine bestimmte Anzahl defekter Teile zu finden —, während ein Kartenspieler \(P(X \le k)\) wünschen mag, die Chance, höchstens ein paar Schlüsselkarten zu ziehen. Der Erwartungswert \(E(X) = nK/N\) sagt Ihnen, wie viele Erfolge in einer durchschnittlichen Stichprobe zu erwarten sind; er ist einfach die Stichprobengröße multipliziert mit der Erfolgsquote der Population.
Die Form der Verteilung hängt von den Parametern ab: Sie kann symmetrisch, zu wenigen Erfolgen geneigt oder zu vielen Erfolgen geneigt sein. Auch die möglichen Werte von \(X\) sind begrenzt — Sie können nicht mehr Erfolge ziehen, als in der Population vorhanden sind, und nicht mehr Elemente, als Sie ziehen. Die Anzahl der Erfolge ist daher auf den Bereich \([\max(0, n-(N-K)), \; \min(n, K)]\) beschränkt. Der Rechner liefert automatisch eine Wahrscheinlichkeit von null, wenn Ihr \(k\) außerhalb dieses Bereichs liegt.
Voraussetzungen, Grenzen und Tipps
- Ziehen ohne Zurücklegen: Das Modell setzt voraus, dass gezogene Elemente nicht in die Population zurückgelegt werden. Werden Elemente nach jeder Ziehung zurückgelegt, verwenden Sie stattdessen den Binomialverteilungs-Rechner.
- Feste Stichprobengröße: Die Anzahl der Ziehungen \(n\) muss im Voraus festgelegt werden und unverändert bleiben. Zählen Sie Ereignisse, die zufällig über ein festes Zeit- oder Raumintervall auftreten, ist der Poisson-Verteilungs-Rechner das bessere Werkzeug.
- Gleichwahrscheinliche Stichproben: Jede mögliche Teilmenge von \(n\) Elementen muss dieselbe Chance haben, gezogen zu werden. Wenn einige Elemente mit größerer Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden, ist das hypergeometrische Modell nicht anwendbar.
- Nur ganze Zahlen: \(N\), \(K\), \(n\) und \(k\) müssen ganze Zahlen sein, mit \(1 \le N \le 1{,}000{,}000\), \(0 \le K \le N\), \(0 \le n \le N\) und \(0 \le k \le n\).
- Große Populationen: Wenn \(n\) im Verhältnis zu \(N\) klein ist, lässt sich die hypergeometrische Verteilung gut durch die Binomialverteilung annähern (oder, bei großen Anzahlen, durch die Normalverteilung), doch dieser Rechner liefert das exakte Ergebnis ganz ohne Näherung.
- Binomialkoeffizienten prüfen: Die eingesetzte Formel verwendet die Schreibweise \(\binom{a}{b}\). Diese Werte können Sie mit dem Rechner für Permutationen und Kombinationen überprüfen.
- Wahrscheinlichkeit null interpretieren: Ein Ergebnis von 0 % bedeutet meist, dass Ihr \(k\) unmöglich ist — etwa wenn Sie 3 Erfolge verlangen, die Population aber nur 2 Erfolgs-Elemente enthält.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine hypergeometrische Wahrscheinlichkeit von Hand?
Zählen Sie die Möglichkeiten, die gewünschten Erfolge aus den Erfolgs-Elementen zu wählen \(\binom{K}{k}\), multiplizieren Sie diese mit den Möglichkeiten, die übrigen Ziehungen aus den Nicht-Erfolgs-Elementen zu wählen \(\binom{N-K}{n-k}\), und teilen Sie durch die Gesamtzahl möglicher Stichproben \(\binom{N}{n}\). Bei kleinen Zahlen funktionieren Fakultäten: \(\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}\). Für alles Größere verwenden Sie den Rechner, um Rechenfehler mit riesigen Fakultäten zu vermeiden.
Wie erhalte ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens oder höchstens k Erfolge?
Der Rechner gibt alle vier kumulativen Wahrscheinlichkeiten direkt aus. Mindestens k ist \(P(X \ge k)\); höchstens k ist \(P(X \le k)\). Von Hand müssten Sie die exakten Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse in diesem Bereich addieren, z. B. \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + \dots\), was schnell mühsam wird — genau das übernehmen die kumulativen Ausgaben für Sie.
Warum habe ich eine Wahrscheinlichkeit von genau 0 erhalten?
Ein Ergebnis von null bedeutet fast immer, dass die geforderte Anzahl an Erfolgen unmöglich ist. Die Stichprobe kann nicht mehr Erfolge enthalten, als in der Population existieren (\(k \le K\)), nicht mehr Erfolge als Ziehungen (\(k \le n\)) und nicht weniger Erfolge, als zwangsläufig in die Stichprobe geraten, wenn fast alle verbleibenden Elemente Erfolge sind. Die Ausgabe der eingesetzten Formel zeigt den gültigen Bereich für Ihre Parameter; jedes \(k\) außerhalb davon ist tatsächlich 0 %.
Was ist der Unterschied zwischen P(X = k) und P(X ≤ k)?
\(P(X = k)\) ist die Wahrscheinlichkeit, genau diese Anzahl an Erfolgen zu erzielen — zum Beispiel genau 2 Herz-Karten bei 5 Karten. \(P(X \le k)\) ist die Wahrscheinlichkeit für diese Anzahl oder weniger — 0, 1 oder 2 Herz-Karten. Der kumulative Wert ist immer größer. Achten Sie darauf, wonach Ihre Aufgabe fragt: „höchstens 2“ bedeutet \(P(X \le 2)\), während „genau 2“ \(P(X = 2)\) bedeutet.
Kann ich diesen Rechner für Lottoquoten verwenden?
Ja — Lotterien sind ein klassischer Fall der hypergeometrischen Verteilung: Kugeln werden ohne Zurücklegen aus einem endlichen Pool gezogen. Setzen Sie \(N\) auf die Gesamtzahl der Kugeln, \(K\) auf die Anzahl, die Sie auf Ihrem Tippschein angekreuzt haben, \(n\) auf die Anzahl der gezogenen Kugeln und \(k\) auf die gewünschten Treffer. Für „6 aus 49“-Spiele benötigen Sie beispielsweise \(N = 49\), \(K = 6\), \(n = 6\), \(k = 6\) für die Jackpot-Chance.
Welche Fehler passieren beim Eingeben der Werte am häufigsten?
Der größte ist das Vertauschen der Reihenfolge: \(N\) ist die gesamte Population, \(K\) nur die Elemente mit der gewünschten Eigenschaft und \(n\) die Stichprobengröße — nicht umgekehrt. Ein weiterer häufiger Fehler ist, das hypergeometrische Modell für Ziehungen mit Zurücklegen zu verwenden, wofür stattdessen die Binomialverteilung nötig ist. Schließlich müssen alle vier Werte ganze Zahlen sein; Bruchteile von Elementen oder Ziehungen sind keine gültigen Eingaben.
Was bedeutet der Erwartungswert E(X) = nK/N tatsächlich?
Er ist die durchschnittliche Anzahl an Erfolgen, die Sie pro Stichprobe erwarten dürfen, wenn Sie das Ziehen viele Male wiederholen — einfach die Stichprobengröße multipliziert mit der Erfolgsquote der Population. Wenn 20 % einer Charge Teile defekt sind und Sie 10 prüfen, ist der Erwartungswert 2 defekte Teile. Beachten Sie, dass einzelne Stichproben um diesen Wert streuen; die Standardabweichung sagt Ihnen, wie stark. Der Erwartungswert ist zudem oft nicht einmal eine ganze Zahl oder das wahrscheinlichste einzelne Ergebnis.