Stichprobengrößen-Rechner
Berechnen Sie, wie viele Befragte oder Beobachtungen Ihre Umfrage oder Studie benötigt. Geben Sie Konfidenzniveau, Fehlermarge, erwarteten Anteil (oder Standardabweichung) und Populationsgröße ein, um die erforderliche Stichprobengröße zu erhalten.
Bestimmen Sie Ihre Stichprobengröße
Formel für die Stichprobengröße
Wobei gilt:
- \(z\) — der z-Wert für das gewählte Konfidenzniveau (1,96 bei 95 %)
- \(p\) — erwarteter Anteil als Dezimalzahl (0,50 = 50 %)
- \(E\) — Fehlermarge; bei einem Anteil als Dezimalzahl (0,05 = ±5 Prozentpunkte), bei einem Mittelwert in denselben Einheiten wie die Daten
- \(\sigma\) — Standardabweichung der Population (nur bei der Schätzung eines Mittelwerts)
- \(n_0\) — erforderliche Stichprobengröße bei unbegrenzter (sehr großer) Population
- \(N\) — Populationsgröße, wenn sie bekannt und endlich ist
- \(n\) — endgültige erforderliche Stichprobengröße, immer auf eine ganze Zahl aufgerundet
Die erste Formel ist Cochran's Formel für einen Anteil; die zweite ist ihr Gegenstück für einen Mittelwert. Die Korrektur bei endlicher Population verringert die erforderliche Stichprobe, wenn ein spürbarer Anteil der Population befragt wird.
Stichprobengröße – Rechenbeispiel
Beispiel: Sie möchten die Einwohner einer Stadt mit 10.000 Menschen befragen. Sie erwarten eine Zufriedenheit von etwa 50 % und möchten eine Fehlermarge von ±5 Prozentpunkten bei einem Konfidenzniveau von 95 %.
\[ z = 1.959964 \]
\[ n_0 = \frac{1.959964^2 \times 0.50 \times (1 - 0.50)}{0.05^2} = \frac{0.9604}{0.0025} = 384.15 \rightarrow 385 \]
\[ n = \frac{384.15}{1 + \dfrac{384.15 - 1}{10\,000}} = \frac{384.15}{1.0383} = 369.97 \rightarrow 370 \]
Ergebnis: Sie benötigen 370 Befragte. Ohne die Populationskorrektur wäre die Antwort 385; das Wissen um die Populationsgröße spart also 15 Interviews. Mit 370 Antworten und angewandter Korrektur beträgt die Fehlermarge ±5,0 Prozentpunkte.
So benutzen Sie den Rechner
- Wählen Sie unter Was schätzen Sie die Option „Ein Anteil oder Prozentanteil (Umfrage)“ für Fragen wie „% der Wähler, die X unterstützen“, oder „Ein Mittelwert (Durchschnitt)“ für Größen wie Durchschnittseinkommen oder Gewicht.
- Wählen Sie das Konfidenzniveau — 95 % ist die Standardwahl für die meisten Umfragen.
- Geben Sie die Fehlermarge (E) ein. Bei einem Anteil erfolgt die Eingabe in Prozentpunkten (5 = ±5 %); bei einem Mittelwert in denselben Einheiten wie die Standardabweichung (z. B. ±200 $).
- Geben Sie bei Anteilen Ihren erwarteten Anteil (p) ein. Wenn Sie keine Vorstellung haben, lassen Sie ihn bei 50 % — das ist der konservativste Wert und liefert die größte Stichprobe.
- Geben Sie bei Mittelwerten die Standardabweichung der Population (σ) ein, geschätzt aus einer Pilotstudie oder früheren Daten.
- Wenn die Population klein genug ist, dass Ihre Stichprobe einen spürbaren Anteil davon abdeckt, aktivieren Sie Endliche Population (bekannte Größe) und geben Sie die Populationsgröße (N) ein. Andernfalls lassen Sie das Kästchen deaktiviert.
- Lesen Sie die erforderliche Stichprobengröße ab, zusammen mit dem Wert ohne Populationskorrektur, der erreichten Fehlermarge, dem z-Wert und einer Zusammenfassung im Interpretationsblock.
Was Stichprobengröße bedeutet und warum sie wichtig ist
Die Stichprobengröße ist die Anzahl von Personen oder Beobachtungen, die Sie erfassen müssen, damit Ihre Schätzung — ein Prozentwert oder ein Durchschnitt — genau genug ist, um nützlich zu sein. Keine Umfrage befragt alle; stattdessen messen Sie eine Stichprobe und nutzen sie zur Schätzung der Gesamtpopulation. Je größer die Stichprobe, desto näher liegt Ihr Ergebnis in der Regel am wahren Wert.
Zwei Zahlen bestimmen die erforderliche Stichprobengröße. Die Fehlermarge sagt, wie weit Ihr Ergebnis von der Wahrheit entfernt sein darf: Wenn 62 % Ihrer Stichprobe mit „Ja“ antworten und die Fehlermarge ±5 % beträgt, liegt der wahre Populationswert wahrscheinlich zwischen 57 % und 67 %. Das Konfidenzniveau sagt, wie oft diese Aussage richtig ist: Bei 95 % Konfidenz liegt der wahre Wert in 95 von 100 identischen Umfragen innerhalb Ihres Intervalls.
Engere Margen und höhere Konfidenz kosten beide mehr Daten. Der Übergang von ±5 % auf ±3 % verdoppelt die Stichprobengröße mehr als, und eine Erhöhung der Konfidenz von 95 % auf 99 % erfordert bei einem Anteil rund 40 % mehr Befragte. Der z-Wert in den Ergebnissen ist die Verbindung zwischen Konfidenzniveau und Formel:
| Konfidenzniveau | z-Wert |
|---|---|
| 90% | 1.6449 |
| 95% | 1.9600 |
| 98% | 2.3263 |
| 99% | 2.5758 |
| 99.9% | 3.2905 |
Wenn die Population klein ist — etwa ein Unternehmen mit 500 Mitarbeitern — senkt die Korrektur bei endlicher Population die erforderliche Stichprobe, weil jeder Befragte weniger Menschen vertritt. Bei Populationen über etwa 100.000 ändert die Korrektur wenig und kann vernachlässigt werden.
Annahmen, Grenzen und praktische Tipps
- Vorausgesetzt wird einfache Zufallsstichprobe. Jedes Mitglied der Population muss die gleiche Chance haben, ausgewählt zu werden. Geschichtete, geklonte oder Convenience-Stichproben erfordern Anpassungen (einen „Designeffekt“, der die Stichprobengröße multipliziert).
- Nichtbeantwortung vergrößert Ihren Aufwand. Wenn Sie eine Rücklaufquote von 30 % erwarten, teilen Sie die Stichprobengröße durch 0,30: 370 Befragte bedeuten etwa 1.233 Einladungen.
- Verwenden Sie bei Unsicherheit 50 % (bei Anteilen). Das Produkt \(p(1-p)\) ist bei \(p = 0.50\) am größten; jede andere Schätzung ergibt eine kleinere erforderliche Stichprobe. Weicht Ihr tatsächliches Ergebnis weit von 50 % ab, ist Ihre Fehlermarge sogar kleiner als geplant.
- σ ist selten exakt bekannt (bei Mittelwerten). Die Formel verwendet die Normalverteilung (z) und behandelt σ als bekannt. Stammt σ aus einer kleinen Pilotstudie (unter ca. 30 Beobachtungen), wäre eine t-Verteilung angemessener; das Ergebnis hier ist dann eine gute Näherung.
- Teilgruppen benötigen eine eigene Stichprobe. Wenn Sie Ergebnisse getrennt nach Region, Altersgruppe oder Segment auswerten wollen, dimensionieren Sie die Stichprobe für die kleinste Gruppe, die Sie interessiert, nicht nur für das Gesamtergebnis.
- Die erreichte Fehlermarge kann leicht von E abweichen, weil die Stichprobengröße aufgerundet wird und bei endlicher Population die Korrektur angewandt wird — der angezeigte Wert ist das, was Ihre endgültige Stichprobe tatsächlich liefert.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Stichprobengröße von Hand ohne Rechner?
Verwenden Sie für einen Anteil Cochran's Formel: Multiplizieren Sie den quadrierten z-Wert mit \(p(1-p)\) und teilen Sie dann durch das Quadrat der Fehlermarge. Bei 95 % Konfidenz mit \(p = 0.50\) und \(E = 0.05\) ergibt das \(1.96^2 \times 0.25 / 0.0025 \approx 384\), aufgerundet 385. Ist Ihre Population klein, teilen Sie dieses Ergebnis durch \(1 + (n_0 - 1)/N\). Runden Sie immer auf, nie ab, damit Sie die Zielgenauigkeit erreichen.
Warum tauchen 385 oder 400 als Stichprobengröße in Umfragen so häufig auf?
Weil 385 das Ergebnis der konservativsten Standardeinstellung ist: 95 % Konfidenz, ±5 Prozentpunkte und \(p = 0.50\). Viele Meinungsforscher runden auf 400 auf, um einen Sicherheitspuffer zu haben. Die Zahl ist berühmt, weil sie für jede große Population funktioniert — 385 Befragte liefern ±5 % Genauigkeit, egal ob Sie eine Stadt mit 200.000 Einwohnern oder ein ganzes Land befragen. Nur kleine Populationen oder strengere Genauigkeitsanforderungen ändern sie erheblich.
Welche Fehlermarge und welches Konfidenzniveau soll ich wählen?
±5 % bei 95 % Konfidenz ist der Standard für Meinungs- und Marktforschung. Verwenden Sie ±3 % für Wahltagsbefragungen oder publikationsreife Forschung und akzeptieren Sie ±10 % für schnelle explorative Arbeiten, bei denen Kosten wichtiger sind als Präzision. 90 % Konfidenz ist für interne Unternehmensentscheidungen vertretbar; 99 % ist medizinischen oder besonders folgenreichen Studien vorbehalten. Jede Verschärfung verdoppelt die Kosten etwa oder erhöht sie stark — wählen Sie also die lockersten Werte, die Ihre Entscheidungen noch zulassen.
Brauche ich die Populationsgröße? Was, wenn ich sie nicht kenne?
Wenn die Population groß ist — über etwa 100.000 — können Sie sie getrost weglassen, denn die Korrektur ändert das Ergebnis um weniger als ein Prozent. Verwenden Sie einfach den unkorrigierten Wert. Für kleine, zählbare Gruppen (Mitarbeiter eines Unternehmens, Schüler einer Schule, Mitglieder eines Vereins) sollten Sie die Größe ermitteln oder schätzen, da die Befragung eines großen Anteils einer kleinen Gruppe tatsächlich weniger Personen erfordert. Eine grobe Schätzung von N genügt; kleine Fehler in N beeinflussen das Ergebnis kaum.
Was sind die häufigsten Fehler bei der Berechnung der Stichprobengröße?
Der größte ist die Verwechslung von Prozenten mit Dezimalzahlen: die Eingabe von 5 statt 0,05 bei der Handrechnung oder das Vermischen von ±5 Prozentpunkten mit ±5 % eines Wertes. Weitere Fehler sind: ab- statt aufrunden, das Vergessen der Division durch die erwartete Rücklaufquote, die Dimensionierung nur für das Gesamtergebnis, obwohl eigentlich Teilergebnisse benötigt werden, und die Anwendung der Korrektur bei endlicher Population, wenn die Stichprobe ein winziger Bruchteil einer riesigen Population ist (was harmlos, aber sinnlos ist). Denken Sie auch daran, dass die Formel eine einfache Zufallsstichprobe voraussetzt.
Wie viele Personen muss ich einladen, wenn viele nicht antworten?
Teilen Sie die erforderliche Stichprobe durch die erwartete Rücklaufquote als Dezimalzahl. Wenn Sie 370 vollständige Antworten benötigen und 30 % Antwort erwarten, laden Sie \(370 / 0.30 \approx 1{,}234\) Personen ein. Bleibt die tatsächliche Rücklaufquote darunter, wächst Ihre Fehlermarge: Bei nur 200 statt 370 Antworten wird aus der geplanten ±5 % grob ±6,9 %. Nichtbeantwortung kann die Ergebnisse auch verzerren, wenn die Antwortenden sich systematisch von den Nichtantwortenden unterscheiden.
Wann soll ich statt des z-Werts die t-Verteilung verwenden?
Wenn Sie einen Mittelwert schätzen und Ihre Standardabweichung aus einer kleinen Pilotstudie stammt — unter etwa 30 Beobachtungen —, ist die t-Verteilung technisch korrekt, weil σ selbst unsicher ist. Der Unterschied ist überschaubar: Bei 95 % Konfidenz liegt der t-Wert bei 20 Pilotbeobachtungen bei etwa 2,09 gegenüber 1,96 für z, was die Stichprobe um rund 14 % erhöht. Dieser Rechner verwendet die Normalverteilungs-Näherung, die bei der Planung Standard ist; Sie können für kleine Pilotstudien einfach einen Puffer von 10–15 % einplanen.