Calculadora del determinante de una matriz

Q: ¿Qué significan las notaciones det A y |A|?

Significan lo mismo: det A, |A| y det(A) representan el determinante de la matriz A. La notación con barras verticales es habitual en fórmulas abreviadas, como las de la regla de Cramer, pero no debes confundirla con el valor absoluto: un determinante escrito como |A| también puede ser negativo. Para evitar confusiones, esta calculadora siempre identifica el resultado como det A.

Actualizado: 02.11.2026

Calcula el determinante exacto de cualquier matriz cuadrada de 2×2 a 6×6. Introduce números enteros, decimales o fracciones y obtén el resultado exacto, su valor decimal, una comprobación de si la matriz es singular y la resolución paso a paso.

Calcula el determinante de una matriz cuadrada

Tamaño de la matriz

Rellenar la matriz con

Fila 1

a₁₁Introduce números enteros, decimales (p. ej., 1.5) o fracciones (p. ej., 3/4). Las casillas vacías cuentan como 0.

a₁₂

a₁₃

Fila 2

a₂₁

a₂₂

a₂₃

Fila 3

a₃₁

a₃₂

a₃₃

Calcular automáticamenteSi está activado, el resultado se actualizará automáticamente al cambiar cualquier valor.

Resultados del determinante

Determinante (valor exacto)det A

Determinante (valor decimal)

¿Es singular la matriz?

Pasos de la solución

Fórmula del determinante

Fórmula

\[ \det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc \\ \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \\ \det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j} \]

Donde:

\(a_{ij}\) — el elemento de la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz cuadrada \(A\)
\(M_{1j}\) — el menor: el determinante de la submatriz que queda al eliminar la fila 1 y la columna \(j\)
\((-1)^{1+j}M_{1j}\) — el cofactor del elemento \(a_{1j}\)

La primera línea muestra la regla de las diagonales para matrices de 2×2; la segunda, el desarrollo por cofactores (o de Laplace) a lo largo de la primera fila para matrices de 3×3; y la última, el desarrollo general, válido para cualquier matriz de \(n \times n\).

Ejemplo de cálculo del determinante

Ejemplo: calcula el determinante de la siguiente matriz de 3×3:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]

\[ M_{11} = 0 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = -2, \quad M_{12} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = -5, \quad M_{13} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 4 = 1 \]

\[ \det A = 2(-2) - 1(-5) + 3(1) = -4 + 5 + 3 \]

Resultado: \(\det A = 4\). Como el determinante no es cero, la matriz es invertible. Puedes comprobarlo pulsando «Calcular» con los valores predeterminados de la herramienta.

Cómo usar la calculadora de determinantes

Abre el menú Tamaño de la matriz y elige 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 o 6 × 6. Solo se utilizan las casillas correspondientes al tamaño elegido.
En el menú Rellenar la cuadrícula con, elige cómo quieres introducir la matriz: Usar los valores introducidos abajo, Matriz aleatoria de números enteros (se genera una nueva cada vez que seleccionas esta opción), Matriz identidad o Borrar (todo ceros).
Escribe los elementos en las casillas a₁₁, a₁₂, … Se admiten números enteros, decimales como 1,5 y fracciones como 3/4. Las casillas vacías cuentan como 0.
Consulta los resultados: Determinante (exacto) muestra la respuesta como fracción exacta o número entero; Determinante (decimal), su expresión decimal; ¿Es singular la matriz? indica si es invertible; y Pasos de la resolución muestra el procedimiento completo.

¿Qué es el determinante de una matriz?

El determinante es un número que resume una propiedad geométrica y algebraica importante de una matriz cuadrada. Desde el punto de vista geométrico, el valor absoluto del determinante de una matriz de \(n \times n\) es el factor por el que la transformación lineal representada por la matriz modifica el volumen: \(|\det A|\) indica cuánto multiplica la transformación las longitudes (2×2), las áreas (2×2 y 3×3 en contextos de dos o tres dimensiones) o los volúmenes en general. Un determinante de 3 significa que la transformación triplica el volumen; uno de 0 significa que reduce el espacio a una dimensión inferior y se pierde información.

Desde el punto de vista algebraico, el determinante permite comprobar rápidamente si una matriz es invertible. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si \(\det A \neq 0\). Cuando \(\det A = 0\), la matriz se denomina singular: sus filas (y columnas) son linealmente dependientes, los sistemas \(Ax = b\) no tienen solución única y \(A^{-1}\) no existe. Por eso el determinante aparece tanto al resolver sistemas lineales mediante la regla de Cramer como al hallar valores propios o calcular productos vectoriales.

La interpretación del número depende del contexto. El valor exacto es importante para comprobar cálculos hechos a mano y en el estudio teórico; el valor decimal resulta práctico para hacer estimaciones. El signo también importa: un determinante negativo indica que la transformación invierte la orientación, como ocurre con el reflejo en un espejo. Ten en cuenta que el determinante solo está definido para matrices cuadradas: una matriz no cuadrada no tiene determinante.

Cómo calcula el determinante: dos métodos

Para matrices de 2×2 y 3×3, la calculadora utiliza el desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila y muestra todos los menores y productos. En las matrices de 3×3, también comprueba el resultado con la regla de Sarrus. Para matrices de 4×4 a 6×6, emplea la eliminación gaussiana con aritmética racional exacta: sumar a una fila un múltiplo de otra no altera el determinante, mientras que cada intercambio de filas cambia su signo. El determinante se obtiene multiplicando los pivotes de la matriz triangular superior resultante y aplicando un factor \((-1)\) por cada intercambio realizado. Si en alguna columna no se puede encontrar un pivote, la matriz es singular y su determinante es exactamente 0.

Como todos los cálculos se hacen con números enteros y fracciones, y no con decimales de coma flotante, el resultado es exacto: no hay errores de redondeo, ni siquiera con fracciones difíciles. Los decimales de hasta 12 cifras se convierten internamente en fracciones exactas, de modo que 0,1 se trata exactamente como 1/10 y no como un valor binario aproximado.

Propiedades y limitaciones útiles

\(\det(AB) = \det A \cdot \det B\) y \(\det(A^{-1}) = 1/\det A\) para una matriz invertible.
Intercambiar dos filas (o columnas) multiplica el determinante por −1; multiplicar una fila por una constante \(k\) multiplica el determinante por \(k\). Una matriz con dos filas iguales o con una fila de ceros tiene determinante 0.
\(\det A = \det A^{T}\), por lo que las propiedades relativas a filas y columnas son intercambiables. Puedes explorar la transpuesta con la calculadora de la transpuesta de una matriz.
La calculadora solo admite tamaños de 2×2 a 6×6 y elementos con hasta 12 cifras decimales. Para matrices más grandes, utiliza la eliminación o el desarrollo por cofactores, o bien un programa diseñado para sistemas lineales de gran tamaño.
Conviene recordar esta regla: \(\det(kA) = k^{n} \det A\) para una matriz de \(n \times n\), porque cada fila se multiplica por \(k\). La calculadora de multiplicación de una matriz por un escalar te permite construir estas matrices directamente.
Como un determinante distinto de cero garantiza que un sistema lineal tiene solución única, también puedes resolver sistemas directamente con la calculadora del método de eliminación, o comparar propiedades relacionadas, como la suma de los elementos de la diagonal, con la calculadora de la traza de una matriz.

Preguntas frecuentes

¿Cómo calculo a mano el determinante de una matriz de 4×4?

Puedes desarrollar el determinante por una fila o columna que tenga muchos ceros (el desarrollo de Laplace reduce el cálculo de una matriz de 4×4 al de cuatro determinantes de 3×3), o transformar la matriz en una matriz triangular superior mediante operaciones con filas. En este último caso, det A es el producto de los elementos de la diagonal, multiplicado por −1 por cada intercambio de filas que hayas hecho. Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. La resolución paso a paso de la calculadora muestra precisamente este proceso de eliminación.

¿Puede un determinante ser negativo o una fracción?

Sí, en ambos casos. Un determinante negativo significa que la transformación invierte la orientación, como el reflejo en un espejo; si necesitas el factor de escala del volumen, toma su valor absoluto. Los elementos fraccionarios, o las divisiones realizadas durante la eliminación, pueden dar lugar a determinantes fraccionarios. Por ejemplo, el determinante de la matriz de 2×2 \(\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}\) es 1/6. La herramienta muestra el resultado como fracción exacta junto con un decimal redondeado.

¿Qué significan las notaciones det A y |A|?

Significan lo mismo: \(\det A\), \(|A|\) y \(\det(A)\) representan el determinante de la matriz \(A\). La notación con barras verticales es habitual en fórmulas abreviadas, como las de la regla de Cramer, pero no debes confundirla con el valor absoluto: un determinante escrito como \(|A|\) también puede ser negativo. Para evitar confusiones, esta calculadora siempre identifica el resultado como det A.

¿Hay una forma rápida de calcular el determinante de una matriz diagonal o triangular?

Sí. En cualquier matriz diagonal o triangular, ya sea superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal: \(\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}\). Por eso la calculadora transforma las matrices más grandes en matrices triangulares: sustituye un desarrollo complicado por una multiplicación. La matriz identidad es el caso particular en el que ese producto vale 1; por tanto, det \(I\) = 1 sea cual sea su tamaño.

He hecho operaciones con las filas a mano y me sale otro resultado. ¿Qué ha fallado?

El error más frecuente es olvidar que multiplicar una fila por una constante \(k\) multiplica todo el determinante por \(k\), y que cada intercambio de filas o columnas cambia su signo. Solo la operación «sumar a una fila un múltiplo de otra» deja el determinante intacto. Si has usado el desarrollo por cofactores, comprueba también que lo hayas hecho a lo largo de una sola fila o columna y con los signos alternos correctos.

¿Por qué no puedo hallar el determinante de una matriz de 3×4 o de otra matriz no cuadrada?

El determinante solo está definido para matrices cuadradas, porque mide cómo una transformación modifica la escala de un espacio de \(n\) dimensiones al transformarlo en sí mismo. Una matriz no cuadrada cambia la dimensión, así que no existe un único factor de escala. Para esas matrices se utilizan otras propiedades, como el rango de \(A\) o el determinante de la matriz cuadrada \(A^T A\), que aparece en las fórmulas de mínimos cuadrados.

¿Cómo introduzco números mixtos o valores como 1 1/2?

Introduce los números mixtos como fracciones impropias: 1 1/2 se convierte en 3/2 y −2¾ en −11/4. Las casillas solo admiten números enteros, decimales de hasta 12 cifras y fracciones escritas como p/q; las casillas vacías se tratan como 0. Los decimales se convierten internamente en fracciones exactas, de modo que 0,1 se calcula exactamente como 1/10 y ningún error de redondeo de coma flotante afecta al determinante.