Калькулятор векторного добутку 3D-векторів
Введіть координати X, Y і Z двох векторів, щоб миттєво знайти їхній векторний добуток. Калькулятор показує вектор-результат, його модуль і повні покрокові обчислення.
Обчисліть векторний добуток двох векторів
Формула векторного добутку 3D-векторів
Де:
- \(A_x, A_y, A_z\) — координати першого вектора \(\mathbf{A}\)
- \(B_x, B_y, B_z\) — координати другого вектора \(\mathbf{B}\)
- \(C_x, C_y, C_z\) — координати векторного добутку \(\mathbf{C}\)
- \(|\mathbf{C}|\) — модуль (довжина) вектора векторного добутку
Векторний добуток \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) дає новий вектор, перпендикулярний до обох векторів \(\mathbf{A}\) і \(\mathbf{B}\), з модулем, що дорівнює площі паралелограма, який вони утворюють.
Векторний добуток 3D-векторів — приклад обчислення
Приклад: знайдіть векторний добуток \(\mathbf{A} = (2, 3, 4)\) і \(\mathbf{B} = (5, 6, 7)\).
\[ C_x = A_y B_z - A_z B_y = 3 \cdot 7 - 4 \cdot 6 = 21 - 24 = -3 \]
\[ C_y = A_z B_x - A_x B_z = 4 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 20 - 14 = 6 \]
\[ C_z = A_x B_y - A_y B_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 \]
\[ |\mathbf{C}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{54} \approx 7.348 \]
Результат: \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3,\ 6,\ -3)\), модуль \(\approx 7.348\).
Як користуватися калькулятором векторного добутку 3D-векторів
- Введіть три координати першого вектора в поля A — координата X, A — координата Y і A — координата Z.
- Введіть три координати другого вектора в поля B — координата X, B — координата Y і B — координата Z.
- Від’ємні значення й нулі допустимі — просто поставте знак мінус там, де потрібно.
- Зчитайте результат у розділі Ваш векторний добуток: координати X, Y і Z вектора-результату, його модуль і покроковий розбір кожного обчислення.
Що таке векторний добуток?
Векторний добуток (його також називають добутком векторів) — це операція над двома векторами в тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку, який повертає одне число, векторний добуток повертає вектор. Його напрямок перпендикулярний до площини, у якій лежать обидва вхідні вектори, і визначається за правилом правої руки: спрямуйте пальці правої руки вздовж \(\mathbf{A}\), зігніть їх убік \(\mathbf{B}\) — і великий палець укаже напрямок \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
Порядок векторів має значення. Якщо поміняти їх місцями, знак кожної координати зміниться на протилежний: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\). Ця властивість, яку називають антикомутативністю, означає, що векторний добуток не є комутативним — інший порядок введення векторів дає інший результат.
Модуль векторного добутку має геометричний зміст:
\[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}| \sin\theta \]
де \(\theta\) — кут між двома векторами. Ця величина дорівнює площі паралелограма, утвореного векторами \(\mathbf{A}\) і \(\mathbf{B}\). Якщо результатом є нульовий вектор, вектори паралельні (або один із них — нульовий), оскільки \(\sin 0° = 0\). Чим більший кут між векторами, тим більший добуток — свого максимуму він сягає, коли вектори перпендикулярні.
Векторні добутки трапляються скрізь у фізиці та інженерії: момент сили — це \(\mathbf{r} \times \mathbf{F}\), магнітна сила пов’язана з \(\mathbf{v} \times \mathbf{B}\), а момент імпульсу — це \(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\). У комп’ютерній графіці векторні добутки застосовують для обчислення нормалей до поверхонь під час розрахунку освітлення й затінення.
Припущення, обмеження й практичні поради
- Лише три виміри. Векторний добуток визначено тільки для 3D-векторів (для 2D-векторів існує обмежена версія, що повертає скаляр). Цей калькулятор вимагає всіх трьох координат кожного вектора.
- Порядок має значення. Якщо у вас вийшов протилежний знак порівняно з відповіддю в підручнику, перевірте, чи не обчислено там \(\mathbf{B} \times \mathbf{A}\) замість \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
- Перевірка перпендикулярності. Швидкий спосіб переконатися в правильності результату: скалярні добутки \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}\) і \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}\) мають дорівнювати нулю, адже векторний добуток перпендикулярний до обох вхідних векторів.
- Паралельні вектори. Якщо результатом є нульовий вектор \((0, 0, 0)\), вхідні вектори паралельні або один із них нульовий — це цілком коректний результат, а не помилка.
- Одиниці. Координати мають бути задані в узгоджених одиницях. Якщо \(\mathbf{A}\) — у метрах, а \(\mathbf{B}\) — у ньютонах, векторний добуток буде в ньютон-метрах (Н·м) — одиниці моменту сили.
Якщо вам потрібно повторити базову арифметику, що стоїть за множенням координат, окремі кроки допоможуть виконати калькулятор множення і калькулятор віднімання.
Часті запитання
Як обчислити векторний добуток вручну, без калькулятора?
Розкладіть визначник 3×3 за верхнім рядком: для кожної координати перемножте відповідні пари добутків і відніміть їх. Корисна підказка для середньої координати: у розкладанні визначника її знак від’ємний, саме тому у формулі \(C_y = A_z B_x - A_x B_z\) доданки стоять у порядку, протилежному до двох інших. Записуйте кожен добуток окремо, перш ніж віднімати, — більшість помилок під час ручних обчислень — це звичайна плутанина зі знаками та порядком доданків.
Чим векторний добуток відрізняється від скалярного?
Скалярний добуток приймає два вектори й повертає скаляр (одне число), який обчислюється за формулою \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |A||B|\cos\theta\). Він показує, наскільки вектори спрямовані в один бік. Векторний добуток повертає вектор, перпендикулярний до обох вхідних векторів, з модулем \(|A||B|\sin\theta\). Скалярний добуток — це про співнапрямленість, векторний — про перпендикулярність та обертальні ефекти на кшталт моменту сили.
Чому мій результат — з протилежним знаком, ніж у підручнику?
Майже завжди через те, що вектори поміняли місцями. Векторний добуток антикомутативний: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\), тож знак змінюється в кожної координати. Перевірте, який вектор у вашому джерелі стоїть першим. Якщо порядок збігається, ще раз перегляньте середню координату \(C_y\) — саме її формулу найчастіше записують із доданками в неправильному порядку.
Чи можна користуватися цим калькулятором для 2D-векторів?
Так — задайте координати Z обох векторів рівними 0. Результат завжди лежатиме на осі Z: для \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, 0)\) і \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, 0)\) векторний добуток дорівнює \((0, 0, A_x B_y - A_y B_x)\). Це скалярне значення вздовж осі Z — якраз той «псевдоскалярний добуток», який використовують у геометрії, а його модуль дорівнює площі паралелограма, утвореного двома векторами.
Як за векторним добутком знайти кут між векторами?
Обчисліть \(\sin\theta = |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| / (|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|)\), де чисельник — це модуль, який показує цей калькулятор, а \(|\mathbf{A}|\) і \(|\mathbf{B}|\) — довжини вхідних векторів. Далі \(\theta = \arcsin(\sin\theta)\). Врахуйте обмеження: сам лише векторний добуток не розрізняє \(\theta\) і \(180° - \theta\). Щоб отримати однозначний кут від 0° до 180°, поєднайте його зі скалярним добутком або скористайтеся методом atan2.
Як за векторним добутком знайти площу трикутника?
Модуль \(|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\) дорівнює площі паралелограма, утвореного двома векторами. Трикутник — це рівно половина такого паралелограма, тому площа трикутника дорівнює \(\frac{1}{2}|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\). Для трикутника з вершинами \(P\), \(Q\), \(R\) візьміть \(\mathbf{A} = Q - P\) і \(\mathbf{B} = R - P\), а потім зменшіть удвічі модуль, отриманий від цього калькулятора.
Чи працює калькулятор із десятковими дробами?
Так, усі поля введення приймають десяткові числа, зокрема від’ємні значення й нулі — знак мінус просто вводиться з клавіатури. Результати показуються з точністю до трьох знаків після коми. Якщо потрібні точні звичайні дроби, спершу переведіть їх у десяткові (наприклад, \(\frac{1}{3} \approx 0.333\)), але майте на увазі: заокруглення вхідних даних трохи змінює точний результат, тому залишайте достатньо знаків для потрібної точності.