Calculadora de produto vetorial 3D
Digite as componentes X, Y e Z de dois vetores para calcular o produto vetorial na hora. A calculadora mostra o vetor resultante, seu módulo e todo o cálculo passo a passo.
Calcule o produto vetorial de dois vetores
Fórmula do produto vetorial 3D
Onde:
- \(A_x, A_y, A_z\) — componentes do primeiro vetor \(\mathbf{A}\)
- \(B_x, B_y, B_z\) — componentes do segundo vetor \(\mathbf{B}\)
- \(C_x, C_y, C_z\) — componentes do produto vetorial \(\mathbf{C}\)
- \(|\mathbf{C}|\) — módulo (comprimento) do produto vetorial
O produto vetorial \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) gera um novo vetor perpendicular a \(\mathbf{A}\) e a \(\mathbf{B}\), cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado por eles.
Produto vetorial 3D – Exemplo de cálculo
Exemplo: calcule o produto vetorial de \(\mathbf{A} = (2, 3, 4)\) e \(\mathbf{B} = (5, 6, 7)\).
\[ C_x = A_y B_z - A_z B_y = 3 \cdot 7 - 4 \cdot 6 = 21 - 24 = -3 \]
\[ C_y = A_z B_x - A_x B_z = 4 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 20 - 14 = 6 \]
\[ C_z = A_x B_y - A_y B_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 \]
\[ |\mathbf{C}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{54} \approx 7.348 \]
Resultado: \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3,\ 6,\ -3)\), com módulo \(\approx 7.348\).
Como usar a calculadora de produto vetorial 3D
- Digite as três componentes do primeiro vetor nos campos A — componente X, A — componente Y e A — componente Z.
- Digite as três componentes do segundo vetor nos campos B — componente X, B — componente Y e B — componente Z.
- Valores negativos e zero são aceitos — basta digitar o sinal de menos onde for necessário.
- Leia o resultado em Seu produto vetorial: as componentes X, Y e Z do vetor resultante, o módulo dele e a resolução passo a passo de cada cálculo.
O que é o produto vetorial?
O produto vetorial (também chamado de produto cruzado) é uma operação entre dois vetores no espaço tridimensional. Diferente do produto escalar, que devolve um único número, o produto vetorial devolve um vetor. Sua direção é perpendicular ao plano que contém os dois vetores de entrada e é determinada pela regra da mão direita: aponte os dedos da mão direita na direção de \(\mathbf{A}\), curve-os na direção de \(\mathbf{B}\) e seu polegar apontará na direção de \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
A ordem dos vetores importa. Trocá-los inverte o sinal de todas as componentes: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\). Essa propriedade, chamada anticomutatividade, significa que o produto vetorial não é comutativo — digitar os vetores em outra ordem dá outra resposta.
O módulo do produto vetorial tem um significado geométrico:
\[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}| \sin\theta \]
onde \(\theta\) é o ângulo entre os dois vetores. Esse valor é igual à área do paralelogramo formado por \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\). Se o resultado for o vetor nulo, os dois vetores são paralelos (ou um deles é nulo), pois \(\sin 0° = 0\). Quanto maior o ângulo entre os vetores, maior o módulo do produto vetorial — ele atinge o máximo quando os vetores são perpendiculares.
O produto vetorial aparece em toda a física e a engenharia: o torque é \(\mathbf{r} \times \mathbf{F}\), a força magnética envolve \(\mathbf{v} \times \mathbf{B}\) e o momento angular é \(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\). Em computação gráfica, o produto vetorial é usado para calcular as normais de superfície na iluminação e no sombreamento.
Premissas, limitações e dicas práticas
- Somente três dimensões. O produto vetorial só está definido para vetores 3D (existe uma versão limitada para vetores 2D, que devolve um escalar). Esta calculadora exige as três componentes de cada vetor.
- A ordem importa. Se o seu resultado tiver sinal oposto ao do livro, verifique se a obra calculou \(\mathbf{B} \times \mathbf{A}\) em vez de \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
- Verificação de perpendicularidade. Uma forma rápida de conferir o resultado: os produtos escalares \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}\) e \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}\) devem ser iguais a zero, já que o produto vetorial é perpendicular aos dois vetores de entrada.
- Vetores paralelos. Se o resultado for o vetor nulo \((0, 0, 0)\), os vetores de entrada são paralelos ou um deles é nulo — é um resultado válido, não um erro.
- Unidades. As componentes devem usar unidades consistentes. Se \(\mathbf{A}\) está em metros e \(\mathbf{B}\) em newtons, o produto vetorial fica em newtons-metro (N·m), a unidade de torque.
Se você precisar revisar a aritmética básica por trás das multiplicações entre componentes, a calculadora de multiplicação e a calculadora de subtração podem cuidar de cada etapa individual.
Perguntas frequentes
Como calcular um produto vetorial à mão, sem calculadora?
Use o desenvolvimento por cofatores ao longo da primeira linha do determinante 3×3: multiplique e subtraia os pares de produtos de cada componente. Uma dica útil para o componente do meio: ele entra com sinal negativo no desenvolvimento do determinante, e é por isso que \(C_y = A_z B_x - A_x B_z\) aparece com os termos numa ordem trocada em relação aos outros dois. Escreva cada produto explicitamente antes de subtrair — a maioria dos erros de cálculo manual são deslizes simples de sinal e de ordem.
Qual é a diferença entre produto vetorial e produto escalar?
O produto escalar recebe dois vetores e devolve um escalar (um único número), calculado como \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |A||B|\cos\theta\). Ele mede o quanto os vetores apontam na mesma direção. Já o produto vetorial devolve um vetor perpendicular aos dois vetores de entrada, com módulo \(|A||B|\sin\theta\). Produto escalar: alinhamento. Produto vetorial: perpendicularidade e efeitos de rotação, como o torque.
Por que minha resposta é o oposto da resposta do livro?
Quase sempre porque a ordem dos vetores foi trocada. O produto vetorial é anticomutativo: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\), então todas as componentes mudam de sinal. Verifique qual vetor sua fonte lista primeiro. Se a ordem for a mesma, confira o componente do meio, \(C_y\) — é o que mais costuma ser escrito com os termos na ordem errada.
Posso usar esta calculadora com vetores 2D?
Sim — defina as componentes Z dos dois vetores como 0. O resultado sempre apontará na direção do eixo Z: para \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, 0)\) e \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, 0)\), o produto vetorial é \((0, 0, A_x B_y - A_y B_x)\). Esse valor escalar em Z é exatamente o “produto vetorial escalar” 2D usado em geometria, e seu valor absoluto é a área do paralelogramo formado pelos dois vetores.
Como encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto vetorial?
Calcule \(\sin\theta = |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| / (|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|)\), em que o numerador é o módulo mostrado por esta calculadora e \(|\mathbf{A}|\) e \(|\mathbf{B}|\) são os comprimentos dos vetores de entrada. Em seguida, \(\theta = \arcsin(\sin\theta)\). Atenção à limitação: o produto vetorial sozinho não distingue \(\theta\) de \(180° - \theta\). Para um ângulo único entre 0° e 180°, combine-o com o produto escalar ou use o método atan2.
Como obter a área de um triângulo a partir do produto vetorial?
O módulo \(|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\) é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores. Um triângulo corresponde exatamente à metade desse paralelogramo, portanto a área do triângulo é \(\frac{1}{2}|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\). Para um triângulo de vértices \(P\), \(Q\) e \(R\), tome \(\mathbf{A} = Q - P\) e \(\mathbf{B} = R - P\) e divida por dois o módulo obtido nesta calculadora.
A calculadora funciona com números decimais e frações?
Sim, todos os campos de entrada aceitam números decimais, incluindo valores negativos e zero — digite o sinal de menos diretamente. Os resultados são exibidos com até três casas decimais. Se você precisar de frações exatas, converta-as primeiro para decimais (por exemplo, \(\frac{1}{3} \approx 0.333\)) — mas atenção: arredondar os valores de entrada altera ligeiramente o resultado exato, então mantenha um número suficiente de casas decimais para a precisão desejada.