Calculateur de flèche d’une poutre en porte-à-faux chargée à son extrémité libre

Q: Comment calculer à la main la flèche d’une poutre en porte-à-faux ?

Utilisez la formule θ = racP L^22 E I \ pour la pente à l’extrémité et \ θ = (P L^2)/(2 E I) pour la pente, ainsi que \ ; delta_x = (P x^2 (3L - x))/(6 E I) pour la flèche. Procédez étape par étape : élevez la longueur au carré, multipliez par la charge, puis divisez par \ 2 E I ou \ 6 E I . Veillez à la cohérence des unités : si \ E est en psi, \ P , \ L et \ x doivent respectivement être en livres, en pouces et en pouces. La flèche est alors directement obtenue en pouces.

Q: Quelle est la flèche maximale d’une poutre en porte-à-faux chargée à son extrémité ?

La flèche maximale se produit à l’extrémité libre, \ x = L \ : \ ; delta_max = (P L^3)/(3 E I) . Notez sa dépendance au cube de la longueur : une poutre deux fois plus longue s’abaisse huit fois plus. Pour obtenir cette valeur à l’extrémité avec le calculateur, saisissez simplement une position de calcul de la flèche \ x égale à la longueur de la poutre \ L .

Mis à jour : 03.10.2026

Calculez la pente à l’extrémité libre et la flèche en tout point d’une poutre en porte-à-faux soumise à une charge ponctuelle à son extrémité. Saisissez la charge, le module d’élasticité, le moment d’inertie, la longueur de la poutre et la position souhaitée.

Analyse d’une poutre en porte-à-faux chargée à son extrémité libre

Formule pour une poutre en porte-à-faux chargée à son extrémité libre

Formule

\[ \theta = \frac{P \, L^2}{2 E I} \qquad \delta_x = \frac{P \, x^2 (3L - x)}{6 E I} \]

Avec :

\(P\) — charge appliquée à l’extrémité libre (lb ou N)
\(L\) — longueur de la poutre entre l’appui encastré et l’extrémité libre (in ou m)
\(E\) — module d’élasticité du matériau (psi ou Pa)
\(I\) — moment d’inertie de la section transversale de la poutre (in⁴ ou m⁴)
\(x\) — distance entre l’extrémité encastrée et le point où la flèche est évaluée
\(\theta\) — pente (rotation) à l’extrémité libre, en radians
\(\delta_x\) — flèche verticale à la position \(x\)

La première formule donne la rotation de la poutre à son extrémité ; la seconde donne la flèche à toute distance \(x\) de l’appui encastré. En posant \(x = L\) dans la seconde formule, on obtient la formule classique de la flèche maximale à l’extrémité : \(\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}\).

Poutre en porte-à-faux chargée à son extrémité libre – exemple de calcul

Exemple : une poutre en porte-à-faux en acier de 120 in de long supporte une charge de 500 lb à son extrémité libre. Le module d’élasticité de l’acier est de 29 000 000 psi et le moment d’inertie de la section transversale est de 150 in⁴. Déterminez la pente à l’extrémité libre et la flèche à 100 in de l’appui encastré.

\[ \theta = \frac{P L^2}{2 E I} = \frac{500 \times 120^2}{2 \times 29{,}000{,}000 \times 150} = \frac{7{,}200{,}000}{8{,}700{,}000{,}000} = 0.008276 \text{ rad} \]

\[ \delta = \frac{P x^2 (3L - x)}{6 E I} = \frac{500 \times 100^2 \times (3 \times 120 - 100)}{6 \times 29{,}000{,}000 \times 150} = \frac{1{,}300{,}000{,}000}{26{,}100{,}000{,}000} = 0.0498 \text{ in} \]

Résultat : la pente à l’extrémité libre est de 0,0083 rad (environ 0,47°), et la flèche de la poutre est de 0,0498 in à 100 in du mur. À l’extrémité même (\(x = L\)), la flèche atteint son maximum de 0,0662 in.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez la charge appliquée \(P\) en lb : la force exercée à l’extrémité libre de la poutre.
Saisissez le module d’élasticité \(E\) en psi. Utilisez environ 29 000 000 psi pour l’acier, 10 000 000 psi pour l’aluminium et 1 000 000 à 1 600 000 psi pour le bois, selon l’essence.
Saisissez le moment d’inertie \(I\) de la section transversale de la poutre en in⁴. Pour une section rectangulaire, \(I = \frac{b h^3}{12}\), où \(h\) est la dimension dans le sens de la flexion.
Saisissez la longueur de la poutre \(L\) en pouces, mesurée entre l’appui encastré et le point d’application de la charge.
Saisissez la position de calcul de la flèche \(x\) en pouces : la distance depuis l’extrémité encastrée jusqu’au point où vous souhaitez connaître la flèche. Utilisez \(x = L\) pour obtenir la flèche maximale à l’extrémité.
Lisez la pente à l’extrémité libre (en radians) et la flèche au point choisi (en pouces).

Qu’est-ce qu’une poutre en porte-à-faux chargée à son extrémité ?

Une poutre en porte-à-faux est fixée rigidement à une extrémité — encastrée dans un mur, un poteau ou une fondation — et entièrement libre à l’autre. Lorsqu’une charge concentrée unique \(P\) agit à l’extrémité libre, la poutre fléchit vers le bas : la flèche et la pente sont nulles à l’extrémité encastrée, tandis que le déplacement est maximal à l’extrémité libre. Il s’agit de l’un des cas les plus fondamentaux en mécanique des structures, que l’on rencontre partout en pratique : les dalles de balcon, les ailes d’avion, les plongeoirs, les équerres d’étagère, les poteaux de signalisation et les bras robotiques se comportent tous, pour l’essentiel, comme des porte-à-faux.

Le calculateur repose sur la solution classique de la théorie des poutres d’Euler-Bernoulli pour ce cas de charge. La déformée est une courbe cubique régulière : rien ne bouge au niveau du mur, et la flèche augmente rapidement vers l’extrémité libre. Comme la formule de la flèche contient des termes en \(x^2\) et en \(x^3\), doubler la charge ou la longueur a un effet considérable : la flèche est proportionnelle à \(P\), mais au cube de la longueur. Sous la même charge à l’extrémité, une poutre deux fois plus longue présente une flèche huit fois plus grande.

La pente indique de combien la poutre tourne à son extrémité, en radians. De petites valeurs sont normales pour les structures rigides ; pour obtenir des degrés, multipliez la valeur en radians par \(\frac{180}{\pi} \approx 57.3\). La flèche indique de combien la poutre s’abaisse au point choisi. La plupart des codes de construction limitent la flèche à une fraction de la portée — par exemple \(L/240\) ou \(L/360\) sous charge d’exploitation dans la conception des bâtiments. Pour la poutre de l’exemple ci-dessus, \(L/240 = 0.5\) in : une flèche de 0,066 in à l’extrémité respecterait donc largement une telle limite.

Hypothèses et limites

Petites déformations : les formules supposent que la pente est faible (généralement bien inférieure à 0,1 rad) et que la charge est appliquée verticalement. Pour de grandes rotations, les résultats deviennent inexacts.
Matériau élastique linéaire : le matériau doit rester en dessous de sa limite d’élasticité, et \(E\) doit être constant sur toute la longueur de la poutre.
Section transversale constante : \(I\) est supposé uniforme sur toute la longueur. Une poutre à section variable ou étagée nécessite une analyse plus détaillée.
Appui encastré rigide : le mur ou l’appui est supposé parfaitement rigide. En réalité, la souplesse de la liaison ou une rotation à la base augmente la flèche réelle.
Charge uniquement à l’extrémité libre : si la charge est répartie, appliquée en un point intermédiaire ou combinée à d’autres charges, utilisez le principe de superposition avec précaution ou choisissez un autre cas de charge. Le poids propre de la poutre n’est pas pris en compte, sauf si vous l’ajoutez sous forme de charge équivalente.
Flèche uniquement : cet outil ne calcule ni le moment fléchissant ni l’effort tranchant. Pour une charge à l’extrémité, le moment fléchissant maximal est \(M = P L\) à l’extrémité encastrée : vérifiez toujours les contraintes séparément avant de finaliser une conception.

Pour dimensionner des éléments réels, la flèche n’est qu’une vérification parmi d’autres. Vous pouvez également vérifier les limites de capacité portante, par exemple avec le calculateur de charge d’exploitation maximale admissible d’un plancher, ou vérifier une dalle porteuse avec le calculateur de charge murale maximale sur une dalle en béton. Si votre porte-à-faux fait partie d’une toiture, le calculateur de longueur de chevron peut vous aider à disposer les éléments porteurs.

Questions fréquentes

Comment calculer à la main la flèche d’une poutre en porte-à-faux ?

Utilisez la formule \( \theta = rac{P L^2}{2 E I} \\) pour la pente à l’extrémité et \\( \theta = \frac{P L^2}{2 E I} \) pour la pente, ainsi que \\( \\delta_x = \frac{P x^2 (3L - x)}{6 E I} \) pour la flèche. Procédez étape par étape : élevez la longueur au carré, multipliez par la charge, puis divisez par \\( 2 E I \) ou \\( 6 E I \). Veillez à la cohérence des unités : si \\( E \) est en psi, \\( P \), \\( L \) et \\( x \) doivent respectivement être en livres, en pouces et en pouces. La flèche est alors directement obtenue en pouces.

Puis-je utiliser ce calculateur avec des unités métriques (N, mm, MPa) ?

Oui, à condition de conserver des unités cohérentes. Si vous saisissez \\( P \) en newtons, \\( E \) en pascals (ou en MPa avec des longueurs en mm et \\( I \) en mm⁴), et \\( L \) et \\( x \) en mètres, les résultats sont obtenus en mètres. Une combinaison métrique courante consiste à exprimer \\( P \) en N, \\( E \) en MPa (N/mm²), \\( I \) en mm⁴ et les longueurs en mm : la flèche est alors obtenue en mm et la pente en radians. Ne mélangez jamais des valeurs en psi avec des longueurs métriques.

Quelle est la flèche maximale d’une poutre en porte-à-faux chargée à son extrémité ?

La flèche maximale se produit à l’extrémité libre, \\( x = L \\) : \\( \\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I} \). Notez sa dépendance au cube de la longueur : une poutre deux fois plus longue s’abaisse huit fois plus. Pour obtenir cette valeur à l’extrémité avec le calculateur, saisissez simplement une position de calcul de la flèche \\( x \) égale à la longueur de la poutre \\( L \).

Comment déterminer le moment d’inertie I de ma poutre ?

Il dépend de la section transversale. Pour un rectangle plein, \\( I = \frac{b h^3}{12} \), où \\( h \\) est la dimension dans le sens de la flexion : orienter verticalement la plus grande dimension augmente considérablement la rigidité. Pour une section circulaire, \\( I = \frac{\pi d^4}{64} \). Pour les profilés en acier standard (profilés en W, profilés en U, tubes), consultez la valeur indiquée dans une table de caractéristiques ; pour les sections composées, combinez les éléments à l’aide du théorème des axes parallèles.

Quelle flèche est acceptable ?

La plupart des codes de construction limitent la flèche à une fraction de la portée. Pour les porte-à-faux, la limite s’applique couramment au double de la longueur en saillie : une vérification à \\( L/240 \) correspond donc à \\( \\frac{2L}{240} \), où \\( L \) est la longueur du porte-à-faux. Les limites courantes sous charge d’exploitation sont \\( L/360 \) pour les finitions qui se fissurent facilement et \\( L/240 \) dans les situations plus tolérantes. Vérifiez toujours le code applicable et rappelez-vous que la flèche seule ne garantit pas la sécurité d’une conception : vérifiez également la contrainte de flexion et l’effort tranchant.

Pourquoi la pente calculée est-elle en radians, et comment la convertir en degrés ?

Les radians sont l’unité usuelle dans la théorie des poutres, car les formules découlent directement du calcul différentiel. Pour convertir la pente en degrés, multipliez-la par \\( \frac{180}{\pi} \approx 57.296 \) : une pente de 0,05 rad équivaut à environ 2,86 degrés. Si votre pente dépasse environ 0,1 rad (environ 5,7°), l’hypothèse des petites déformations sur laquelle reposent les formules commence à ne plus être valable, et les résultats deviennent de plus en plus inexacts, dans un sens conservateur.

Ce calculateur fonctionne-t-il pour une charge répartie ou appliquée à un point intermédiaire de la poutre ?

Non : ces formules ne s’appliquent qu’à une charge concentrée unique placée à l’extrémité libre. Pour une charge uniformément répartie, la flèche à l’extrémité est \\( \frac{w L^4}{8 E I} \) et la pente à l’extrémité est \\( \frac{w L^3}{6 E I} \). Pour une charge appliquée à un point intermédiaire situé à une distance \\( a \) de l’appui, d’autres formules s’appliquent. Vous pouvez combiner des cas de charge indépendants par superposition (en additionnant les flèches et les pentes), puisque la théorie sous-jacente est linéaire.