Calculateur de matrice au carré
Ce calculateur calcule le carré d'une matrice 2×2 ou 3×3, c'est-à-dire le produit A × A. Saisissez les éléments de la matrice et obtenez instantanément la matrice élevée au carré.
Outil de calcul du carré d'une matrice
Formule de la matrice au carré
Où :
- \(A\) — une matrice carrée (2×2 ou 3×3) d'éléments \(A_{ij}\)
- \(C = A^2\) — la matrice au carré, obtenue en multipliant \(A\) par elle-même
- \(C_{ij}\) — l'élément situé à la ligne \(i\), colonne \(j\) du résultat
- \(n\) — la taille de la matrice (2 ou 3)
Chaque élément du résultat est le produit scalaire d'une ligne de \(A\) par une colonne de \(A\), exactement comme dans une multiplication matricielle ordinaire — simplement avec les deux facteurs égaux à la même matrice.
Matrice au carré – Exemple de calcul
Exemple : élevons au carré la matrice 2×2
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]
\[ A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2\cdot 2 + 1\cdot 1 & 2\cdot 1 + 1\cdot 4 \\ 1\cdot 2 + 4\cdot 1 & 1\cdot 1 + 4\cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 6 & 17 \end{bmatrix} \]
Résultat : \( A^2 = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 6 & 17 \end{bmatrix} \)
Comment utiliser le calculateur
- Choisissez la taille de la matrice dans le champ Taille de la matrice : 2×2 ou 3×3. Le choix 3×3 fait apparaître les champs de saisie supplémentaires.
- La matrice au carré s'affiche immédiatement dans le panneau de résultats Matrice au carré.
Saisissez les éléments de la matrice dans les champs a₁₁, a₁₂, … selon la ligne et la colonne de chaque élément. Pour une matrice 2×2, remplissez a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ ; pour une matrice 3×3, les neuf champs.
Que signifie élever une matrice au carré ?
Élever une matrice au carré signifie la multiplier par elle-même : \(A^2 = A \times A\). Ce n'est pas la même chose qu'élever chaque élément individuellement au carré — cela correspondrait à un carré élément par élément (de Hadamard) et donnerait un résultat complètement différent. Le carré matriciel suit la règle classique de multiplication ligne par colonne, de sorte que chaque élément de \(A^2\) mélange des valeurs de différentes lignes et colonnes de \(A\).
Seules les matrices carrées (même nombre de lignes et de colonnes) peuvent être élevées au carré. Une matrice rectangulaire telle qu'une 2×3 ne peut pas être multipliée par elle-même, car le nombre de colonnes du facteur de gauche doit être égal au nombre de lignes du facteur de droite.
L'élévation au carré intervient dans de nombreuses applications : elle représente l'application répétée deux fois de la même transformation linéaire (utile en infographie, dans les chaînes de Markov et en théorie des graphes, où \(A^2\) compte les chemins de longueur 2 entre les nœuds), elle apparaît dans les polynômes de matrices et les récurrences telles que \(x_{k+1} = A x_k\), et elle sert de brique de base pour calculer des puissances matricielles supérieures \(A^m\) par élévation au carré répétée.
Une vérification utile de votre résultat : \(\det(A^2) = \det(A)^2\). Pour l'exemple ci-dessus, \(\det(A) = 2\cdot4 - 1\cdot1 = 7\) et \(\det(A^2) = 5\cdot17 - 6\cdot6 = 49 = 7^2\). Si vous devez le vérifier ou le calculer, notre calculateur Multiplication de déterminants peut vous aider.
Hypothèses, limites et conseils
- Matrices carrées uniquement. Le calculateur accepte les matrices 2×2 et 3×3. Il ne peut pas élever des matrices rectangulaires au carré.
- Pas élément par élément. Rappelez-vous qu'en général \((A^2)_{ij} \neq (A_{ij})^2\). Si vous avez besoin d'élever chaque élément au carré séparément, il s'agit d'une opération différente.
- L'ordre n'a pas d'importance ici. Pour une matrice multipliée par elle-même, \(A \times A\) est sans ambiguïté. Mais notez qu'en général la multiplication matricielle n'est pas commutative — \(A \times B \neq B \times A\). Utilisez le calculateur Multiplication de matrices pour les produits de deux matrices différentes.
- Les valeurs négatives et décimales sont acceptées ; les résultats sont affichés arrondis à deux décimales.
- Raccourcis pour l'identité et les matrices diagonales. Si \(A\) est diagonale, \(A^2\) est diagonale avec les coefficients diagonaux élevés au carré ; si \(A = I\), alors \(A^2 = I\). Ce sont des vérifications rapides de la cohérence de votre saisie.
- L'élévation au carré est liée aux valeurs propres : chaque valeur propre \(\lambda\) de \(A\) devient \(\lambda^2\) dans \(A^2\). Vous pouvez l'explorer avec les calculateurs Valeurs propres et vecteurs propres 2×2 et Valeurs propres et vecteurs propres 3×3.
Questions fréquentes
Comment élever une matrice 2×2 au carré à la main ?
Pour \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\), le carré est \(A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}\). Calculez chaque élément comme un produit scalaire ligne par colonne. Par exemple, l'élément en haut à gauche est la première ligne de \(A\) multipliée par la première colonne de \(A\) : \(a \cdot a + b \cdot c\). Vérifiez chaque terme deux fois, car la confusion entre lignes et colonnes est l'erreur la plus fréquente.
Pourquoi mon résultat n'est-il pas simplement chaque élément élevé au carré ?
Parce que l'élévation d'une matrice au carré utilise la multiplication matricielle, et non des opérations élément par élément. Le carré élément par élément \(\begin{bmatrix} a^2 & b^2 \\ c^2 & d^2 \end{bmatrix}\) est une opération différente (le carré de Hadamard) et donne des nombres différents dans presque tous les cas. Seules les matrices diagonales coïncident : si tous les éléments hors diagonale sont nuls, les deux méthodes donnent le même résultat, car chaque ligne ne « voit » que sa propre colonne.
Peut-on élever au carré une matrice avec des éléments négatifs ou décimaux ?
Oui. Le calculateur accepte les nombres négatifs et les décimales, et les règles de multiplication habituelles s'appliquent sans changement. Attention aux signes : les produits de deux nombres négatifs deviennent positifs, ce qui modifie fréquemment les sommes intermédiaires. Les résultats sont affichés arrondis à deux décimales, donc une valeur comme 12,999999 issue de saisies décimales apparaîtra comme 13,00 — il s'agit d'un arrondi, pas d'une erreur.
Quelles matrices vérifient A² = A ou A² = I ?
Une matrice telle que \(A^2 = A\) est dite idempotente — les projections et la matrice identité en sont des exemples classiques. Une matrice telle que \(A^2 = I\) est dite involutoire, ce qui signifie qu'elle est son propre inverse ; un exemple simple en 2×2 est \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\). Si votre saisie est l'une de celles-ci, le résultat doit être égal à la saisie (ou à l'identité), ce qui constitue une vérification rapide.
Si A est symétrique, A² sera-t-elle aussi symétrique ?
Oui. Si \(A = A^T\), alors \((A^2)^T = (A \times A)^T = A^T \times A^T = A \times A\), donc le carré est également symétrique. Cela vous offre une vérification gratuite : pour une saisie symétrique, les deux éléments hors diagonale du résultat 2×2 doivent coïncider, et le résultat 3×3 doit être symétrique par rapport à sa diagonale principale. Si ce n'est pas le cas, vous avez commis une erreur de calcul quelque part.
Comment élever une matrice 4×4 ou plus grande au carré ?
La même règle s'applique à toute taille : chaque élément \((A^2)_{ij}\) est le produit scalaire de la ligne \(i\) par la colonne \(j\) de \(A\). Ce calculateur se limite aux matrices 2×2 et 3×3, mais pour des matrices plus grandes, vous pouvez soit appliquer la règle à la main, soit utiliser des multiplications répétées. Pour calculer des puissances supérieures comme \(A^4\) ou \(A^8\), utilisez l'élévation au carré répétée : \(A^4 = (A^2)^2\), ce qui demande bien moins de multiplications que de multiplier \(A\) par elle-même encore et encore.
Quelles sont les erreurs courantes lors de l'élévation d'une matrice au carré ?
Les erreurs principales sont : élever les éléments individuellement au carré au lieu de multiplier les matrices ; lire les colonnes du second facteur comme des lignes ; oublier un terme croisé comme \(bc\) dans la formule 2×2 ; et faire des erreurs de signe avec des éléments négatifs. Une vérification fiable est \(\det(A^2) = \det(A)^2\) — si les déterminants ne satisfont pas cette identité, au moins un élément de votre résultat est faux.