Calculateur de multiplication de matrices
Multipliez instantanément deux matrices de dimensions compatibles (jusqu’à 3 × 3). Choisissez les dimensions des matrices A et B, saisissez leurs éléments et obtenez la matrice produit complète A × B.
Outil de multiplication de matrices
Formule de multiplication de matrices
Où :
- \(C_{ij}\) — élément situé à la ligne \(i\), colonne \(j\) de la matrice produit
- \(A_{ik}\) — élément situé à la ligne \(i\), colonne \(k\) de la matrice A
- \(B_{kj}\) — élément situé à la ligne \(k\), colonne \(j\) de la matrice B
- \(n\) — dimension commune : le nombre de colonnes de A, qui doit être égal au nombre de lignes de B
Chaque élément du produit est la somme des produits des éléments correspondants d’une ligne de A et d’une colonne de B : c’est la règle classique « ligne par colonne ».
Multiplication de matrices – exemple de calcul
Exemple : multiplions deux matrices 3 × 3 (il s’agit des valeurs par défaut du calculateur, ce qui vous permet de reproduire le résultat ci-dessus).
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \]
Prenons la ligne 1 de A et la colonne 1 de B : \( 1 \cdot 9 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 30 \). En répétant l’opération pour chaque paire ligne-colonne, on obtient :
\[ C = A \times B = \begin{bmatrix} 30 & 24 & 18 \\ 84 & 69 & 54 \\ 138 & 114 & 90 \end{bmatrix} \]
Résultat : une matrice 3 × 3 dont le premier élément est 30, le deuxième 24, et ainsi de suite.
Comment utiliser le calculateur
- Définissez les dimensions de la matrice A (par exemple 3 × 3) et les dimensions de la matrice B à l’aide des menus déroulants. Le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B ; sinon, le calculateur signale que les dimensions sont incompatibles.
- Saisissez les éléments de la matrice A dans les champs A11, A12, … Les champs situés en dehors des dimensions choisies deviennent non modifiables et sont ignorés.
- Saisissez les éléments de la matrice B dans les champs B11, B12, …
- Consultez la matrice produit A × B dans le tableau des résultats. Ses dimensions sont (nombre de lignes de A) × (nombre de colonnes de B).
Qu’est-ce que la multiplication de matrices ?
La multiplication de matrices est une opération binaire qui combine deux matrices pour en former une nouvelle. Contrairement à la multiplication ordinaire des nombres, elle ne s’effectue pas élément par élément : chaque élément du résultat est le produit scalaire d’une ligne de la première matrice et d’une colonne de la seconde. Une matrice A de dimensions \(m \times n\) peut être multipliée par une matrice B de dimensions \(n \times p\), et le résultat est de dimensions \(m \times p\).
L’ordre de multiplication est important. En général, \(AB \neq BA\), et il arrive même qu’un seul des deux produits soit défini. Lorsque vous calculez \(A \times B\), vous multipliez les lignes de A par les colonnes de B : inverser les matrices donne une opération différente (ou impossible).
Les produits matriciels sont omniprésents en mathématiques appliquées : ils servent à transformer des points et des objets en infographie, à enchaîner des transformations en robotique, à résoudre des systèmes d’équations linéaires et à faire fonctionner les couches des réseaux de neurones en apprentissage automatique. Multiplier une matrice par elle-même donne son carré, que vous pouvez calculer avec le calculateur de carré d’une matrice.
Interpréter le résultat
Le tableau des résultats affiche la matrice produit \(C\), qui comporte \(m\) lignes et \(p\) colonnes. Chaque élément \(C_{ij}\) est obtenu en multipliant terme à terme la \(i\)-ème ligne de A par la \(j\)-ème colonne de B, puis en additionnant les produits. Si les éléments d’une ligne de A sont multipliés dans le mauvais ordre, le résultat sera erroné : c’est précisément le type d’erreur que ce calculateur évite.
Si vous devez aussi combiner des matrices élément par élément, utilisez plutôt les calculateurs d’addition de matrices ou de soustraction de matrices : ces opérations s’effectuent élément par élément et nécessitent des dimensions identiques.
Conditions, limites et conseils
- Dimensions maximales : ce calculateur accepte les matrices jusqu’à 3 × 3. Les produits de matrices plus grandes se calculent de la même manière, mais nécessitent un logiciel ou un calcul à la main.
- Règle de compatibilité : la multiplication n’est définie que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le produit d’une matrice 2 × 3 par une matrice 3 × 2 est possible (résultat 2 × 2) ; le produit d’une matrice 3 × 2 par une matrice 2 × 3 l’est aussi (résultat 3 × 3), mais les résultats sont différents.
- Non-commutativité : puisque \(AB \neq BA\) en général, vérifiez toujours quelle matrice vient en premier dans votre problème.
- Propriété des déterminants : pour des matrices carrées, \(\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)\). Vous pouvez le vérifier avec le calculateur du déterminant d’un produit de matrices.
- Applications : si le produit intervient dans d’autres calculs d’algèbre linéaire, par exemple pour trouver une matrice inverse, le calculateur d’inverse d’une matrice 3 × 3 permet de passer à l’étape suivante.
Questions fréquentes
Comment multiplier deux matrices à la main ?
Utilisez la règle « ligne par colonne ». Pour obtenir l’élément situé à la ligne \(i\), colonne \(j\) du produit, multipliez chaque élément de la ligne \(i\) de la première matrice par l’élément correspondant de la colonne \(j\) de la seconde, puis additionnez les produits. Voici un exemple avec deux matrices 2 × 2 : \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix}\). Répétez l’opération pour chaque paire ligne-colonne, en procédant méthodiquement case par case.
Pourquoi la multiplication de matrices n’est-elle pas commutative ?
Parce que les lignes de la première matrice sont associées aux colonnes de la seconde, inverser l’ordre revient à associer d’autres éléments : \(AB\) et \(BA\) sont donc généralement calculés à partir de nombres différents. Les deux produits peuvent même avoir des dimensions différentes : une matrice 2 × 3 multipliée par une matrice 3 × 2 donne une matrice 2 × 2, tandis que l’ordre inverse donne une matrice 3 × 3. Il arrive aussi que l’un des produits ne soit pas défini. Les produits ne sont égaux que dans certains cas particuliers, notamment lorsque l’une des matrices est la matrice identité.
Puis-je multiplier des matrices de n’importe quelles dimensions ?
Non. Les dimensions intérieures doivent correspondre : une matrice de dimensions \(m \times n\) ne peut être multipliée que par une matrice de dimensions \(n \times p\). Le résultat est toujours de dimensions \(m \times p\), celles données par les dimensions extérieures. Pour vérifier rapidement, écrivez les dimensions côte à côte : (2 × 3)(3 × 4) fonctionne, car les nombres du milieu sont égaux, et donne un résultat 2 × 4. Si les nombres du milieu diffèrent, le produit n’est pas défini.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes lors de la multiplication de matrices ?
Les erreurs les plus courantes sont les suivantes : multiplier les éléments un par un comme des nombres ordinaires, associer une colonne de A à une ligne de B au lieu d’une ligne à une colonne, décaler les éléments en lisant en diagonale et oublier un signe négatif dans les sommes. Attention aussi à l’ordre : saisir B avant A donne une réponse différente. Ce calculateur évite toutes ces erreurs en imposant des dimensions compatibles et en effectuant les calculs exactement.
Comment multiplier une matrice par un vecteur ?
Considérez le vecteur comme une matrice à une seule colonne, par exemple une matrice 3 × 1. Multipliez-la comme n’importe quelle autre matrice : \(A v\) est défini lorsque A a autant de colonnes que le vecteur a d’éléments, et le résultat est un autre vecteur colonne. Par exemple, \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}\). Cette opération est au cœur de la résolution des systèmes linéaires \(Ax = b\).
Que se passe-t-il quand je multiplie par la matrice identité ?
La matrice identité \(I\), qui comporte des 1 sur sa diagonale et des 0 ailleurs, laisse inchangée toute matrice de dimensions compatibles : \(AI = IA = A\). Elle joue le même rôle que le nombre 1 dans la multiplication ordinaire. Vous pouvez vous en servir pour vérifier rapidement votre calcul : si multiplier votre matrice par I ne redonne pas la matrice initiale, votre méthode comporte une erreur.
La multiplication de matrices fonctionne-t-elle avec des nombres décimaux ou négatifs ?
Oui. Les éléments peuvent être n’importe quels nombres réels — positifs, négatifs, fractionnaires ou décimaux — et la règle « ligne par colonne » s’applique exactement de la même façon. Faites simplement attention aux signes : le produit de deux nombres négatifs est positif, et il est facile d’oublier un signe moins lors de l’addition. Avec des fractions, les convertir d’abord en nombres décimaux peut réduire les erreurs de calcul, même si conserver les fractions exactes évite les arrondis.