Calculateur de valeurs propres et de vecteurs propres d’une matrice 3×3
Saisissez les neuf coefficients d’une matrice 3×3 pour trouver ses valeurs propres et ses vecteurs propres, ainsi que son déterminant, sa trace et son polynôme caractéristique. Comprend un exemple détaillé que vous pouvez reproduire avec les valeurs par défaut.
Calculez les valeurs propres 3×3
Formule des valeurs propres et des vecteurs propres
Où :
- \(A\) — la matrice 3×3 saisie
- \(\lambda\) — une valeur propre (un scalaire)
- \(I\) — la matrice identité 3×3
- \(\vec{v}\) — le vecteur propre associé à \(\lambda\), avec \(\vec{v} \neq \vec{0}\)
La première équation est l’équation caractéristique. Pour une matrice 3×3, elle se développe en l’équation cubique
\[ \lambda^3 - \operatorname{tr}(A)\,\lambda^2 + s\,\lambda - \det(A) = 0 \]
où \(\operatorname{tr}(A) = a_{11}+a_{22}+a_{33}\), \(\det(A)\) est le déterminant et \(s\) est la somme des trois mineurs principaux d’ordre 2. La résolution de cette équation cubique donne les valeurs propres ; chaque vecteur propre est ensuite obtenu en résolvant le système homogène \((A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}\).
Valeurs propres et vecteurs propres 3×3 – Exemple de calcul
Exemple : trouvons les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice correspondant aux valeurs par défaut du calculateur : \(a_{11}=2\), \(a_{12}=1\), \(a_{13}=3\), \(a_{21}=1\), \(a_{22}=4\), \(a_{23}=2\), \(a_{31}=1\), \(a_{32}=1\), \(a_{33}=3\).
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]
La trace est \(2+4+3=9\), le déterminant est \(10\) et la somme des mineurs principaux d’ordre 2 est \(s = 20\). Le polynôme caractéristique est donc :
\[ \lambda^3 - 9\lambda^2 + 20\lambda - 10 = 0 \]
La résolution de cette équation cubique donne les trois valeurs propres :
\[ \lambda_1 \approx 0.7076, \quad \lambda_2 \approx 2.3974, \quad \lambda_3 \approx 5.8950 \]
Pour chaque valeur propre, réduisez \(A - \lambda I\) par lignes et résolvez \((A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}\). En multipliant chaque vecteur par un scalaire de sorte que sa troisième composante soit égale à 1 :
Résultat : \(\lambda_1 \approx 0.7076\) avec \(\vec{v}_1 \approx (-2.42,\ 0.13,\ 1)\) ; \(\lambda_2 \approx 2.3974\) avec \(\vec{v}_2 \approx (1.72,\ -2.32,\ 1)\) ; \(\lambda_3 \approx 5.8950\) avec \(\vec{v}_3 \approx (1.20,\ 1.69,\ 1)\). Vous pouvez vérifier chaque paire en contrôlant que \(A\vec{v} \approx \lambda\vec{v}\).
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez les neuf coefficients de la matrice dans les champs a₁₁, a₁₂, a₁₃ (première ligne), a₂₁, a₂₂, a₂₃ (deuxième ligne) et a₃₁, a₃₂, a₃₃ (troisième ligne).
- Les résultats se mettent à jour automatiquement : le déterminant |A|, la trace de la matrice et le polynôme caractéristique |A − cI|.
- Lisez les trois valeurs propres λ₁, λ₂, λ₃ : ce sont les racines du polynôme caractéristique.
- Lisez le vecteur propre affiché pour chaque valeur propre. Chaque vecteur est multiplié par un scalaire de sorte que sa dernière composante soit égale à 1 ; tout multiple non nul de ce vecteur est une réponse tout aussi valable.
Que sont les valeurs propres et les vecteurs propres ?
Une valeur propre \(\lambda\) et son vecteur propre \(\vec{v}\) vérifient la relation qui les définit : \(A\vec{v} = \lambda\vec{v}\). Géométriquement, la matrice \(A\) représente une transformation linéaire, et un vecteur propre indique une direction que cette transformation ne fait pas tourner : elle ne fait que l’étirer ou la comprimer d’un facteur \(\lambda\). Si \(\lambda > 1\), le vecteur s’allonge ; si \(0 < \lambda < 1\), il se raccourcit ; et si \(\lambda < 0\), il change de sens tout en étant redimensionné.
Les valeurs propres et les vecteurs propres comptent parmi les outils les plus utiles de l’algèbre linéaire. Ils permettent de diagonaliser les matrices, ce qui transforme des multiplications matricielles répétées en simples calculs de puissances (consultez les calculateurs Multiplication de matrices et Carré d’une matrice pour les opérations de base). Dans les applications, ils déterminent la stabilité des systèmes dynamiques, les modes propres de vibration des structures, les composantes principales en analyse de données et les états d’énergie en mécanique quantique.
Les valeurs propres sont liées à deux grandeurs matricielles familières : leur somme est toujours égale à la trace de la matrice, et leur produit est toujours égal au déterminant. Cela permet de vérifier rapidement un résultat obtenu à la main ou avec un calculateur. Si vous travaillez avec des matrices 2×2, le calculateur Valeurs propres et vecteurs propres 2×2 traite directement ce cas.
Vérifications rapides de vos résultats
| Vérification | Formule | Valeur dans l’exemple |
|---|---|---|
| Somme des valeurs propres | \(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = \operatorname{tr}(A)\) | 9 |
| Somme des produits deux à deux | \(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3 = s\) | 20 |
| Produit des valeurs propres | \(\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = \det(A)\) | 10 |
Hypothèses, limites et conseils
- Valeurs propres réelles uniquement. Le calculateur résout l’équation caractéristique cubique en cherchant ses racines réelles. Si votre matrice possède une valeur propre réelle et une paire de valeurs propres complexes conjuguées (ce qui est courant pour les matrices associées à une rotation), seule la racine réelle est affichée ; les valeurs propres complexes ne sont pas calculées.
- Les vecteurs propres sont définis à un facteur près. Tout multiple non nul d’un vecteur propre affiché est également correct : \((2, 1, 1)\) et \((4, 2, 2)\) représentent donc le même vecteur propre. Les résultats sont également arrondis ; de légères différences d’arrondi entre outils sont donc normales.
- Vérifiez que \(A\vec{v} \approx \lambda\vec{v}\). Une vérification rapide sur une composante permet de confirmer que vous avez associé le bon vecteur à la bonne valeur propre.
- Une valeur propre nulle signifie que la matrice est singulière. Si une valeur propre est égale à 0, le déterminant est nul et la matrice n’a pas d’inverse ; le calculateur Inverse d’une matrice 3×3 le confirmera, et le calculateur Rang d’une matrice 3×3 montrera la diminution du rang qui en résulte.
- Les valeurs propres répétées demandent de l’attention. Lorsqu’une valeur propre apparaît deux fois, son sous-espace propre peut être de dimension deux (ce qui nécessite deux vecteurs indépendants) ou de dimension un, et les solveurs simples peuvent ne pas fournir une base complète. Dans ce cas, réduisez \(A - \lambda I\) par lignes à la main pour trouver toutes les directions libres.
Questions fréquentes
Comment trouver à la main les valeurs propres d’une matrice 3×3 ?
Calculez la trace, le déterminant et la somme \(s\) des trois mineurs principaux d’ordre 2, puis formez l’équation cubique \(\lambda^3 - \operatorname{tr}(A)\lambda^2 + s\lambda - \det(A) = 0\). Essayez les racines rationnelles de la forme \(\pm p/q\), où \(p\) divise le déterminant et \(q\) divise le coefficient dominant : c’est généralement ainsi que l’on trouve les valeurs propres entières. S’il n’existe aucune racine rationnelle, résolvez l’équation cubique à l’aide de la formule de Cardan ou par une méthode numérique. Pour obtenir chaque vecteur propre, remplacez \(\lambda\) dans \(A - \lambda I\), réduisez cette matrice par lignes et résolvez le système homogène obtenu.
Pourquoi mon vecteur propre est-il différent de celui indiqué dans mon manuel ?
Les vecteurs propres ne sont définis qu’à un facteur scalaire non nul près : toute version obtenue en multipliant le vecteur par un tel facteur est donc valable. Ainsi, \((1, 2, 3)\), \((2, 4, 6)\) et \((-1, -2, -3)\) représentent tous le même vecteur propre. Les manuels normalisent souvent les vecteurs pour que leur norme soit égale à 1, tandis que ce calculateur fixe la dernière composante à 1. Si votre vecteur n’est pas un multiple de celui affiché, vous l’avez probablement associé à la mauvaise valeur propre : vérifiez que \(A\vec{v} \approx \lambda\vec{v}\).
Que signifie le fait qu’une matrice ait des valeurs propres complexes ?
Une matrice réelle 3×3 possède toujours au moins une valeur propre réelle, mais les deux autres peuvent former une paire de valeurs propres complexes conjuguées. Cela se produit pour les transformations associées à une rotation ou produisant une spirale, qui ne conservent aucune direction réelle inchangée. Les valeurs propres complexes renseignent sur l’angle de rotation et le taux de croissance ; elles apparaissent dans les systèmes oscillants. Ce calculateur n’affiche que les racines réelles : en présence d’une paire complexe, vous verrez une valeur propre valide et des emplacements réservés pour les autres. Utilisez un outil prenant en charge les nombres complexes pour obtenir le résultat complet.
Comment vérifier rapidement mes valeurs propres sans refaire tous les calculs ?
Utilisez les formules de Viète : les trois valeurs propres doivent vérifier \(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = \operatorname{tr}(A)\), \(\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1 = s\) et \(\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = \det(A)\). Si l’une de ces égalités n’est pas vérifiée, au moins une racine est incorrecte. Pour les vecteurs propres, multipliez la matrice initiale par votre vecteur et vérifiez que chaque composante est multipliée par le même facteur \(\lambda\). Ces deux vérifications permettent de repérer presque toutes les erreurs de calcul manuel et de transcription.
Que se passe-t-il si deux ou trois valeurs propres sont égales ?
Une valeur propre répétée demande une attention particulière, car ses multiplicités algébrique et géométrique peuvent être différentes. Si le sous-espace propre est de dimension deux, la valeur propre répétée possède deux vecteurs propres indépendants et la matrice est diagonalisable ; s’il est seulement de dimension un (matrice défective), la solution complète nécessite des vecteurs propres généralisés. Un solveur numérique simple peut ne renvoyer qu’un seul vecteur ou des vecteurs presque identiques. Dans ce cas, réduisez \(A - \lambda I\) par lignes à la main et comptez les variables libres pour trouver une base complète.
Une valeur propre peut-elle être nulle, et qu’est-ce que cela m’indique ?
Oui. Puisque le produit de toutes les valeurs propres est égal au déterminant, une seule valeur propre nulle impose \(\det(A) = 0\) : la matrice est donc singulière et non inversible. Géométriquement, la transformation écrase l’espace dans la direction du vecteur propre correspondant. Le nombre de valeurs propres nulles indique dans quelle mesure le rang diminue : une valeur propre nulle correspond à un rang de 2, deux à un rang de 1 et trois, hormis le cas de la matrice entièrement nulle, à un rang de 0.
Les valeurs propres d’une matrice symétrique sont-elles toujours réelles ?
Oui. Pour toute matrice symétrique réelle (où \(A = A^T\)), les trois valeurs propres sont nécessairement réelles et les vecteurs propres peuvent être choisis orthogonaux deux à deux. C’est pourquoi les matrices de covariance en statistique et les matrices de rigidité en ingénierie des structures donnent toujours des valeurs propres réelles et des résultats numériques stables. La symétrie est facile à vérifier avant de commencer : contrôlez que \(a_{12} = a_{21}\), \(a_{13} = a_{31}\) et \(a_{23} = a_{32}\).