Calculateur d'interférences à double fente
Calculez l'interfrange et la position des franges brillantes dans l'expérience des fentes de Young. Saisissez la longueur d'onde, l'écartement des fentes, la distance à l'écran et l'ordre de la frange.
Calculez l'interfrange et la position des franges brillantes
Interférences à double fente
Où :
- \(\Delta y\) — l'interfrange, c'est-à-dire la distance entre deux franges brillantes voisines sur l'écran (m)
- \(y_m\) — position de la frange brillante d'ordre \(m\), mesurée depuis le centre de la figure (m)
- \(\lambda\) — longueur d'onde de la lumière (m)
- \(L\) — distance entre les fentes et l'écran (m)
- \(d\) — distance entre les deux fentes (m)
- \(m\) — ordre de la frange : \(m = 0\) correspond au maximum central, \(m = 1, 2, 3, \ldots\) aux franges latérales
La première formule donne l'interfrange de la figure d'interférence, la seconde indique à quelle distance du centre se situe la \(m\)-ième frange brillante. Toutes deux supposent le régime des petits angles (\(\lambda \ll d\)), vérifié dans pratiquement tous les montages de laboratoire et de salle de classe.
Interférences à double fente – Exemple de calcul
Exemple : un laser rouge (\(\lambda = 650\) nm) éclaire deux fentes espacées de \(d = 0,25\) mm, et la figure est observée sur un écran placé à \(L = 1\) m. Où tombe la troisième frange brillante (\(m = 3\)) ?
\[ \Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{650 \times 10^{-9}\ \text{m} \times 1\ \text{m}}{0.25 \times 10^{-3}\ \text{m}} = 2.6 \times 10^{-3}\ \text{m} = 2.6\ \text{mm} \]
\[ y_3 = m \, \Delta y = 3 \times 2.6\ \text{mm} = 7.8\ \text{mm} \]
Résultat : les franges brillantes sont espacées de 2,6 mm, et la frange brillante d'ordre 3 se trouve à 7,8 mm du centre de la figure, de part et d'autre. Ce sont exactement les valeurs par défaut du calculateur : vous pouvez donc retrouver ce résultat en un instant.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez la longueur d'onde (λ) de la lumière et choisissez son unité (nm, µm ou mm). Un pointeur laser rouge se situe autour de 650 nm, un vert autour de 532 nm.
- Saisissez l'écartement des fentes (d) — la distance entre les centres des deux fentes — et choisissez µm, mm ou cm.
- Saisissez la distance à l'écran (L), des fentes jusqu'à l'endroit où la figure est observée, en cm, m ou pi.
- Saisissez, si vous le souhaitez, un ordre de frange (m) (0, 1, 2, 3…). Si vous laissez ce champ vide, le calculateur donne uniquement l'interfrange.
- Lisez les résultats : l'interfrange \(\Delta y\) dans plusieurs unités et, si vous avez saisi un ordre, la position \(y_m\) de cette frange brillante mesurée depuis le centre de la figure.
Qu'est-ce que l'interférence à double fente ?
En 1801, Thomas Young a envoyé de la lumière à travers deux fentes étroites et très rapprochées, et il a observé ce qu'un flux de particules ne pourrait jamais produire : des bandes claires et sombres alternées sur un écran. Les ondes qui parviennent à l'écran depuis les deux fentes parcourent des distances légèrement différentes. Là où la différence de marche est un nombre entier de longueurs d'onde — \(d \sin\theta = m\lambda\) — les ondes arrivent en phase et se renforcent, formant une frange brillante. Là où la différence de marche est un nombre impair de demi-longueurs d'onde, elles s'annulent et produisent une frange sombre.
La figure d'interférence constitue une empreinte directe de la longueur d'onde de la lumière, et c'est ce qui rend l'expérience si utile. Mesurer l'interfrange sur un écran avec une simple règle permet d'obtenir \(\lambda\) grâce à \(\lambda = \Delta y \, d / L\) ; c'est encore l'une des méthodes les plus courantes pour déterminer la longueur d'onde d'un laser en travaux pratiques. Réciproquement, avec une longueur d'onde connue, la même géométrie sert à mesurer des distances minuscules — l'écartement de pistes ou de fines structures, par exemple — bien en deçà de ce qu'une règle permet de distinguer.
L'interfrange \(\Delta y\) renseigne sur le caractère « étiré » de la figure : elle croît linéairement avec la longueur d'onde et avec la distance à l'écran, et diminue quand on écarte les fentes. Le résultat \(y_m\) est symétrique : une frange d'ordre \(m\) apparaît à \(+y_m\) d'un côté du centre et à \(-y_m\) de l'autre, car les ordres \(+m\) et \(-m\) satisfont tous deux la condition de frange brillante. Le maximum central (\(m = 0\)) se trouve sur l'axe et est deux fois plus large que les franges latérales.
Les interférences ne se limitent pas à la lumière. Le même principe est à l'œuvre dans les casques à réduction de bruit, dans les couleurs d'une bulle de savon ou dans la diffraction des vagues et des ondes sonores — vous pouvez explorer plus avant la nature ondulatoire du son avec notre calculateur de niveau d'intensité sonore. Pour une sélection plus large, consultez aussi le calculateur du pendule simple et le calculateur de la loi de Faraday.
Hypothèses, limites et conseils pratiques
- Approximation des petits angles : les formules utilisent \(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\), ce qui est excellent lorsque \(\lambda \ll d\) et que les franges restent proches de l'axe. Pour les ordres élevés proches de l'ordre maximal autorisé, le calculateur compare la position approchée à la géométrie exacte et signale la différence lorsqu'elle dépasse 1 %.
- Ordre maximal : puisque \(m\lambda \le d\), seuls les ordres jusqu'à \(m = \lfloor d/\lambda \rfloor\) existent. Si vous demandez un ordre supérieur, le calculateur vous indique l'ordre le plus élevé possible.
- Lumière cohérente : les deux fentes doivent être éclairées par une même source cohérente (un laser ou une fente unique placée devant une lampe). Deux sources lumineuses indépendantes ne produisent pas de figure stable.
- Fentes ponctuelles, sans enveloppe de diffraction : le modèle considère chaque fente comme infiniment étroite. Les fentes réelles, de largeur finie, ajoutent une enveloppe de diffraction qui module la luminosité des franges — les ordres très élevés peuvent être trop faibles pour être visibles même si les calculs les autorisent.
- Conseil de précision : comme \(\Delta y\) est proportionnelle à \(L\), il importe de mesurer soigneusement la distance à l'écran. Éloigner l'écran étale la figure et rend l'interfrange plus facile à mesurer avec précision.
- La longueur d'onde doit être inférieure à l'écartement des fentes : si \(\lambda \ge d\), la première frange brillante exigerait un angle de 90° ou plus et aucune figure nette ne se forme ; le calculateur signale alors cette saisie comme invalide.
Questions fréquentes
Comment calculer la position des franges sombres ?
Les franges sombres se situent exactement à mi-chemin entre deux franges brillantes voisines ; leurs positions sont donc \(y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right) \frac{\lambda L}{d}\) pour \(m = 0, 1, 2, \ldots\). Ainsi, la première frange sombre se trouve à \(\tfrac{1}{2} \Delta y\) du centre, et l'espacement entre deux franges sombres consécutives est le même \(\Delta y = \lambda L / d\) que pour les franges brillantes.
Peut-on utiliser ce calculateur pour déterminer la longueur d'onde d'une source lumineuse inconnue ?
Oui — c'est même la méthode classique des travaux pratiques. Mesurez l'interfrange \(\Delta y\) sur un écran à l'aide d'une règle, puis réarrangez la formule pour obtenir \(\lambda = \Delta y \, d / L\). Par exemple, des franges espacées de 2,0 mm, avec des fentes espacées de \(d = 0,25\) mm et \(L = 1\) m, donnent \(\lambda = 500\) nm. La précision s'améliore en augmentant \(L\) et en faisant la moyenne sur un grand nombre de franges.
Quelles sont les erreurs d'unités les plus fréquentes dans les calculs de fentes d'Young ?
Le mélange d'unités est l'erreur n° 1 : la longueur d'onde est généralement donnée en nanomètres alors que l'écartement des fentes est en millimètres, soit un rapport d'un million. Convertissez toujours tout en mètres au préalable : 1 nm = \(10^{-9}\) m, 1 µm = \(10^{-6}\) m, 1 mm = \(10^{-3}\) m. Autre confusion fréquente : saisir la largeur de la fente au lieu de son écartement.
Quelle est la différence entre l'écartement et la largeur des fentes ?
L'écartement \(d\) est la distance entre les centres des deux fentes et c'est lui qui détermine l'interfrange. La largeur \(a\) est la taille de chaque ouverture et c'est elle qui détermine l'enveloppe de diffraction — autrement dit la luminosité des franges selon l'angle. Ce calculateur n'a besoin que de \(d\) ; si vous voulez également l'enveloppe d'intensité, il vous faut \(a\) et la formule de diffraction par fente unique \(a \sin\theta = n\lambda\).
Pourquoi ne vois-je pas de frange d'ordre élevé, ou pourquoi le calculateur refuse-t-il mon ordre ?
Une frange brillante d'ordre \(m\) exige \(m\lambda \le d\), car la différence de marche ne peut pas dépasser l'écartement des fentes. L'ordre maximal possible est \(m = \lfloor d/\lambda \rfloor\). Avec une lumière de 650 nm et \(d = 0,25\) mm, cela donne l'ordre 384 — mais en pratique, les fentes réelles de largeur finie rendent les ordres très élevés extrêmement faibles, si bien que seule la première douzaine de franges environ est habituellement visible.
L'expérience des fentes de Young fonctionne-t-elle avec de la lumière blanche plutôt qu'avec un laser ?
Oui, mais chaque longueur d'onde forme sa propre figure avec son propre interfrange, si bien que les couleurs s'étalent : on observe une frange centrale blanche bordée d'irisations qui se brouillent après quelques ordres. Une seule couleur bien définie (lumière monochromatique, p. ex. un laser ou une lampe à sodium filtrée) donne les bandes sombres et claires, nettes et régulièrement espacées, que modélise ce calculateur.
L'approximation des petits angles est-elle suffisamment précise pour mon montage ?
Pour les montages typiques de salle de classe et de laboratoire, oui — elle est généralement précise à une fraction de pour cent. Elle ne se dégrade que pour les ordres élevés à grands angles. Le calculateur vérifie cela automatiquement : il compare la position approchée \(y_m = m\lambda L/d\) à la valeur exacte \(L\tan(\arcsin(m\lambda/d))\) et vous avertit lorsque la différence dépasse 1 %.