Calculateur de la loi de Malus
Calculez la quantité de lumière polarisée rectilignement qui traverse un polariseur grâce à la loi de Malus. Saisissez l'intensité incidente et l'angle entre la direction de polarisation et l'axe de l'analyseur.
Calculer la quantité de lumière polarisée qui traverse un analyseur
Formule de la loi de Malus
Où :
- \(I_0\) — intensité de la lumière polarisée rectilignement incidente sur l'analyseur (W/m²)
- \(I\) — intensité transmise après l'analyseur (W/m²)
- \(\theta\) — angle entre la direction de polarisation de la lumière et l'axe de transmission de l'analyseur
Cette loi exprime qu'un polariseur ne transmet que la composante du champ électrique parallèle à son axe de transmission ; l'intensité transmise varie donc comme le carré du cosinus de l'angle entre les deux directions.
Loi de Malus – Exemple de calcul
Exemple : une lumière polarisée rectilignement d'intensité 100 W/m² traverse un analyseur dont l'axe de transmission est incliné de 30° par rapport à la direction de polarisation de la lumière.
\[ I = I_0 \cos^2\theta = 100 \times \cos^2(30^\circ) \]
\[ \cos(30^\circ) \approx 0.8660, \quad \cos^2(30^\circ) = 0.75 \]
\[ I = 100 \times 0.75 = 75 \; \text{W/m}^2 \]
Résultat : l'analyseur transmet 75 W/m², soit 75 % de la lumière incidente ; les 25 W/m² restants sont absorbés ou bloqués.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez l'Intensité incidente (I₀) — l'intensité de la lumière polarisée rectilignement avant l'analyseur — et choisissez son unité : W/m², mW/cm² ou W/cm².
- Saisissez l'Angle entre les axes (θ) — l'angle entre la direction de polarisation de la lumière et l'axe de transmission de l'analyseur — en degrés ou en radians. Vous pouvez saisir des valeurs négatives ou supérieures à 360° ; seul le cosinus compte.
- Lisez l'Intensité de la lumière transmise, affichée dans les trois unités d'intensité, ainsi que la Fraction transmise et les détails, comprenant cos θ, cos²θ et l'intensité bloquée.
Qu'est-ce que la loi de Malus ?
Publiée par Étienne-Louis Malus en 1809, la loi de Malus décrit la quantité de lumière polarisée rectilignement qui traverse un filtre polarisant (souvent appelé analyseur lorsqu'il sert à examiner la lumière polarisée). La lumière est une onde électromagnétique dont le champ électrique oscille dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation. Dans une lumière polarisée rectilignement, cette oscillation se fait selon un plan fixe.
Un polariseur ne transmet que la composante du champ électrique alignée sur son axe de transmission. Si la direction de polarisation de la lumière fait un angle θ avec cet axe, la composante du champ qui subsiste vaut \(E_0 \cos\theta\). Comme l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ, l'intensité transmise devient \(I_0 \cos^2\theta\) — c'est la loi de Malus.
Cette dépendance angulaire présente des cas particuliers importants. À θ = 0°, les axes sont alignés et toute la lumière passe. À θ = 90°, les polariseurs sont croisés et, idéalement, aucune lumière ne passe — c'est le principe des lunettes de soleil à teinte réglable et des volets LCD. À θ = 45°, exactement la moitié de l'intensité est transmise. En raison du cosinus au carré, la transmission est également périodique, de période 180° : 30° et 150° donnent donc le même résultat.
La loi de Malus occupe une place centrale en optique de la polarisation et figure dans les cours de physique aux côtés d'autres phénomènes ondulatoires comme les interférences à double fente et les réseaux de diffraction. Si vous travaillez avec des intensités sur une échelle logarithmique, le calculateur de niveau d'intensité sonore convertit les rapports en décibels et inversement.
Hypothèses, limites et conseils pratiques
- Polariseur parfait : la loi suppose un analyseur idéal qui transmet 100 % de la lumière polarisée selon son axe et bloque 100 % de celle qui est perpendiculaire. Les polariseurs réels absorbent 10 à 20 % de la composante alignée, si bien que les valeurs mesurées sont légèrement inférieures au résultat idéal.
- Lumière totalement polarisée : la lumière incidente doit être polarisée rectilignement. Si une lumière non polarisée d'intensité \(I_0\) entre dans un polariseur, exactement la moitié est transmise en moyenne (\(I = I_0/2\)), quel que soit l'angle — vous pouvez ensuite appliquer la loi de Malus à la sortie de ce premier polariseur.
- Conservation de l'énergie : la composante bloquée n'est pas perdue ; elle est absorbée sous forme de chaleur (comme dans les films Polaroid) ou déviée (comme dans les séparateurs de faisceau polarisants). Le calculateur indique cette intensité bloquée sous la forme \(I_0 - I\).
- Périodicité de l'angle : comme \(\cos^2\theta\) a une période de 180°, tout angle peut être réduit modulo 180° sans changer le résultat. Les angles supérieurs à 90° donnent la même transmission que leur supplément (par exemple, 120° se comporte comme 60°).
- Polarisation partielle : pour une lumière partiellement polarisée, décomposez le faisceau en une partie polarisée (qui suit la loi de Malus) et une partie non polarisée (qui contribue toujours avec la moitié de son intensité).
Tableau de référence : transmission en fonction de l'angle
| Angle θ (degrés) | cos²θ | Fraction transmise |
|---|---|---|
| 0° | 1,000 | 100 % |
| 15° | 0,933 | 93,3 % |
| 30° | 0,750 | 75 % |
| 45° | 0,500 | 50 % |
| 60° | 0,250 | 25 % |
| 75° | 0,067 | 6,7 % |
| 90° | 0,000 | 0 % |
Servez-vous de ce tableau pour vérifier vos saisies : la fraction transmise doit diminuer régulièrement de 100 % à 0 % à mesure que θ passe de 0° à 90°.
Questions fréquentes
Comment calculer la loi de Malus à la main, sans calculatrice ?
Convertissez d'abord l'angle en degrés si nécessaire, puis prenez le cosinus, élevez-le au carré et multipliez par l'intensité incidente : \(I = I_0 \cos^2\theta\). Pour les angles usuels, vous pouvez même vous passer de trigonométrie : \(\cos^2(0°)=1\), \(\cos^2(30°)=3/4\), \(\cos^2(45°)=1/2\), \(\cos^2(60°)=1/4\) et \(\cos^2(90°)=0\). Ainsi, 100 W/m² sous un angle de 60° donnent \(100 \times 0.25 = 25\) W/m².
Pourquoi mon résultat est-il faux quand je saisis l'angle en radians ?
L'erreur la plus fréquente est une confusion d'unités d'angle. Si votre calculatrice ou votre logiciel est en mode radians et que vous tapez 30 (en pensant en degrés), vous calculez \(\cos^2(30 \text{ rad})\) au lieu de \(\cos^2(30°)\), soit environ 0,75 % au lieu de 75 %. Vérifiez toujours l'unité sélectionnée : \(30° = \pi/6 \approx 0.5236\) radians et \(90° = \pi/2 \approx 1.5708\) radians.
Que se passe-t-il quand une lumière non polarisée traverse deux polariseurs ?
Pour une lumière non polarisée d'intensité \(I_0\), le premier polariseur transmet toujours exactement la moitié : \(I_1 = I_0/2\), quelle que soit son orientation. On applique ensuite la loi de Malus à la lumière désormais polarisée à travers le second polariseur : \(I_2 = (I_0/2)\cos^2\theta\). Par exemple, 100 W/m² non polarisés à travers deux polariseurs inclinés à 45° l'un par rapport à l'autre donnent \(50 \times 0.5 = 25\) W/m².
La lumière peut-elle traverser trois polariseurs même si le premier et le dernier sont croisés ?
Oui — c'est une énigme classique de physique. Avec le premier et le troisième polariseurs à 90°, l'insertion d'un polariseur intermédiaire incliné à 45° par rapport au premier transmet \(I = I_0 \cos^2(45°)\cos^2(45°) = I_0/4\), alors que deux polariseurs croisés seuls bloquent tout. Cela s'explique par le fait que chaque polariseur projette le champ sur son propre axe, réorientant ainsi la polarisation. Cela démontre que la polarisation n'agit pas comme un simple filtre qui élimine des rayons.
Pourquoi la loi de Malus ne s'applique-t-elle pas à la lumière polarisée circulairement ou elliptiquement ?
La loi de Malus suppose que la lumière incidente est polarisée rectilignement, c'est-à-dire que le champ électrique oscille selon une direction fixe. En polarisation circulaire ou elliptique, le champ tourne ; l'intensité transmise à travers un analyseur linéaire reste donc constante (ou presque) quand on fait tourner l'analyseur. Une lumière polarisée circulairement d'intensité \(I_0\) transmet toujours \(I_0/2\) à travers un polariseur linéaire, exactement comme une lumière non polarisée.
Comment convertir entre W/m², mW/cm² et W/cm² ?
Comme 1 m² = 10 000 cm², on multiplie par 10 pour passer des mW/cm² aux W/m² : 1 mW/cm² = 10 W/m². De même, 1 W/cm² = 10 000 W/m² (1 × 10⁴). Dans l'autre sens, on divise par les mêmes facteurs : 1 W/m² = 0,1 mW/cm² = 0,0001 W/cm². Ce calculateur effectue la conversion automatiquement et affiche le résultat dans les trois unités, ce qui permet de recouper les valeurs.
La loi de Malus s'applique-t-elle aux polariseurs réels comme les filtres Polaroid ?
Seulement de manière approximative. Les polariseurs réels présentent des défauts : ils absorbent 10 à 20 % de la composante alignée (si bien que même à θ = 0°, il en passe moins de 100 %) et laissent passer une petite quantité à θ = 90° au lieu de ne rien transmettre. Les séparateurs de faisceau polarisants font mieux, car ils redirigent la composante bloquée au lieu de l'absorber. Pour un travail de précision, multipliez le résultat idéal par les coefficients de transmission mesurés du polariseur pour les composantes parallèle et perpendiculaire.