Résolveur d'équation du second degré

Q: Comment résoudre une équation du second degré à la main, sans la formule ?

Deux alternatives classiques existent. La factorisation : cherchez deux nombres dont le produit vaut ac et la somme b ; par exemple x^2 - 5x + 6 se factorise en (x-2)(x-3), ce qui donne les racines 2 et 3. La complétion du carré : réécrivez l'équation sous la forme a(x + tfracb2a)^2 = tfracb^2-4ac4a, puis prenez la racine carrée des deux membres. Les deux méthodes donnent les mêmes racines — la formule quadratique n'est que la complétion du carré effectuée une fois pour toutes les équations.

Q: Que signifient les racines complexes sur le plan graphique et dans les problèmes concrets ?

Des racines complexes signifient que la parabole ne touche jamais l'axe des abscisses : elle est entièrement située au-dessus (si a > 0) ou en dessous (si a < 0). Dans des problèmes pratiques comme le mouvement des projectiles, une racine complexe signale que l'événement décrit est impossible — par exemple, une balle lancée avec une vitesse donnée n'atteint jamais la hauteur visée. Les racines p ± qi satisfont néanmoins l'équation algébriquement, ce qui est utile en ingénierie et en analyse des signaux.

Q: Qu'est-ce qu'une racine double et pourquoi est-elle importante ?

Une racine double apparaît lorsque le discriminant est nul, donc x_1 = x_2 = -tfracb2a. Géométriquement, la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point — son sommet — sans le traverser. C'est un cas limite : par exemple, elle indique la hauteur exacte qu'un projectile atteint tout juste, ou le prix pour lequel la recette est exactement maximale. Une légère modification de c dans un sens ou dans l'autre sépare la racine en deux racines réelles ou rend les deux racines complexes.

Q: Comment convertir une équation qui n'est pas sous forme standard ?

Déplacez tous les termes vers le membre de gauche pour que l'équation s'écrive ax^2 + bx + c = 0, puis regroupez les termes semblables. Par exemple, 2x^2 = 5 - 3x devient 2x^2 + 3x - 5 = 0, donc a = 2, b = 3, c = -5. En présence de fractions, multipliez d'abord tous les termes par le dénominateur commun ; en présence de parenthèses, développez-les avant de lire les coefficients. Le membre de droite doit être nul avant toute saisie.

Q: Comment trouver le sommet de la parabole à partir des coefficients ?

Le sommet se trouve en x = -tfracb2a, qui est toujours à mi-chemin entre les deux racines (réelles ou complexes). Substituez cette valeur dans y = ax^2 + bx + c pour obtenir l'ordonnée. Si a > 0, le sommet est le point minimum ; si a < 0, c'est le maximum. Cela est très utile pour les problèmes d'optimisation — recette, aire ou hauteur d'un projectile — où la réponse est le sommet ou le point bas de la courbe plutôt que ses racines.

Q: Quelles sont les erreurs les plus courantes lors de la saisie des coefficients ?

La plus grave est l'oubli des signes négatifs : dans x^2 - 3x + 2 = 0, b vaut -3, et non 3. Parmi les autres erreurs : oublier un coefficient égal à 1 (dans x^2 + 4 = 0, b vaut 0, et non rien), saisir c avec le mauvais signe lorsqu'il se trouve dans le membre de droite de l'équation d'origine, et taper a = 0 pour une équation linéaire. Effectuez toujours une rapide vérification de Viète : x_1 + x_2 = -tfracba et x_1 x_2 = tfracca doivent être vraies toutes les deux.

Mis à jour : 03.10.2026

Résolvez instantanément toute équation du second degré ax² + bx + c = 0. Saisissez les coefficients a, b et c, et le calculateur trouve les deux racines réelles ou complexes grâce à la formule quadratique et au discriminant.

Résoudre des équations du second degré

Formule de l'équation du second degré

Formule

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Où :

\(a\) — coefficient de \(x^2\) (ne doit pas être nul)
\(b\) — coefficient de \(x\)
\(c\) — terme constant
\(D = b^2 - 4ac\) — le discriminant, qui détermine le type des racines

La formule donne les deux solutions de l'équation du second degré \(ax^2 + bx + c = 0\). Le discriminant détermine le type de racines obtenues :

\(D > 0\) — deux racines réelles distinctes
\(D = 0\) — une racine réelle double, \(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\)
\(D < 0\) — deux racines complexes conjuguées \(\frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{-D}}{2a}i\)

Pour en savoir plus sur ce terme sous la racine carrée, consultez l'article sur le discriminant d'une équation du second degré.

Équation du second degré – Exemple de calcul

Exemple : résolvons \(x^2 - 3x + 2 = 0\), donc \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\).

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

Résultat : \(x_1 = 2.0000\), \(x_2 = 1.0000\). Vérification : \(2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 0\) et \(1 - 3 + 2 = 0\).

Comment utiliser le calculateur

Saisissez le coefficient de \(x^2\) dans le champ a (coefficient de x²). Il ne doit pas être nul.
Saisissez le coefficient de \(x\) dans le champ b (coefficient de x).
Saisissez le terme constant dans le champ c (constante).
Lisez les résultats dans les champs x₁ et x₂. Les racines réelles sont affichées sous forme de nombres décimaux ; les racines complexes apparaissent sous la forme \(p + qi\) et \(p - qi\).

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Une équation du second degré est toute équation qui peut s'écrire sous la forme standard \(ax^2 + bx + c = 0\), où \(a \neq 0\). La représentation graphique de la fonction correspondante \(y = ax^2 + bx + c\) est une parabole : elle s'ouvre vers le haut lorsque \(a > 0\) et vers le bas lorsque \(a < 0\). Les racines réelles de l'équation sont exactement les points où cette parabole coupe l'axe des abscisses, c'est pourquoi la résolution des équations du second degré est la méthode standard pour trouver les intersections, les valeurs maximales ou minimales et les points optimaux dans les problèmes concrets.

Les équations du second degré apparaissent partout en algèbre, en géométrie, en physique, en ingénierie et en économie — le mouvement des projectiles, les problèmes d'aires et de dimensions, l'optimisation des recettes et l'analyse des circuits se ramènent tous à la recherche des racines d'un polynôme de degré deux. La formule quadratique fonctionne pour toutes les équations du second degré, même lorsque la factorisation est difficile ou impossible, ce qui en fait la méthode de résolution la plus fiable.

La nature de la réponse est déterminée par le discriminant \(D = b^2 - 4ac\). Si le calculateur renvoie deux nombres différents, la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points. Si les deux résultats sont égaux, la parabole touche simplement l'axe en son sommet. Si les résultats contiennent \(i\), il n'y a pas de solutions réelles : la parabole n'atteint jamais l'axe des abscisses, et les deux racines sont des complexes conjugués l'une de l'autre. Vous pouvez explorer ces valeurs plus en détail avec le calculateur de nombres complexes.

Hypothèses, limites et conseils

Le coefficient \(a\) doit être non nul. Si \(a = 0\), l'équation est linéaire, et non du second degré, et le calculateur affiche « Équation non quadratique ».
Les résultats sont arrondis à 4 décimales. Pour la plupart des usages pratiques, c'est largement suffisant, mais gardez cet arrondi à l'esprit si vous substituez les racines dans l'équation d'origine pour vérification.
Si votre équation n'est pas sous forme standard, réorganisez-la d'abord : déplacez tous les termes vers le membre de gauche pour obtenir \(ax^2 + bx + c = 0\), et seulement alors lisez les coefficients. Attention aux signes — saisir \(-3\) au lieu de \(3\) pour \(b\) change complètement la réponse.
Un moyen rapide de vérifier le résultat : d'après les formules de Viète, \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) et \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\). Si les deux égalités sont vraies, les racines sont correctes.
Pour les polynômes de degré supérieur, essayez le résolveur d'équation du troisième degré ou le résolveur d'équation du quatrième degré. Si vous souhaitez d'abord développer une forme factorisée vers la forme standard, le calculateur de méthode FOIL est utile.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du second degré à la main, sans la formule ?

Deux alternatives classiques existent. La factorisation : cherchez deux nombres dont le produit vaut \(ac\) et la somme \(b\) ; par exemple \(x^2 - 5x + 6\) se factorise en \((x-2)(x-3)\), ce qui donne les racines 2 et 3. La complétion du carré : réécrivez l'équation sous la forme \(a(x + \tfrac{b}{2a})^2 = \tfrac{b^2-4ac}{4a}\), puis prenez la racine carrée des deux membres. Les deux méthodes donnent les mêmes racines — la formule quadratique n'est que la complétion du carré effectuée une fois pour toutes les équations.

Que signifient les racines complexes sur le plan graphique et dans les problèmes concrets ?

Des racines complexes signifient que la parabole ne touche jamais l'axe des abscisses : elle est entièrement située au-dessus (si \(a > 0\)) ou en dessous (si \(a < 0\)). Dans des problèmes pratiques comme le mouvement des projectiles, une racine complexe signale que l'événement décrit est impossible — par exemple, une balle lancée avec une vitesse donnée n'atteint jamais la hauteur visée. Les racines \(p \pm qi\) satisfont néanmoins l'équation algébriquement, ce qui est utile en ingénierie et en analyse des signaux.

Qu'est-ce qu'une racine double et pourquoi est-elle importante ?

Une racine double apparaît lorsque le discriminant est nul, donc \(x_1 = x_2 = -\tfrac{b}{2a}\). Géométriquement, la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point — son sommet — sans le traverser. C'est un cas limite : par exemple, elle indique la hauteur exacte qu'un projectile atteint tout juste, ou le prix pour lequel la recette est exactement maximale. Une légère modification de \(c\) dans un sens ou dans l'autre sépare la racine en deux racines réelles ou rend les deux racines complexes.

Comment convertir une équation qui n'est pas sous forme standard ?

Déplacez tous les termes vers le membre de gauche pour que l'équation s'écrive \(ax^2 + bx + c = 0\), puis regroupez les termes semblables. Par exemple, \(2x^2 = 5 - 3x\) devient \(2x^2 + 3x - 5 = 0\), donc \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\). En présence de fractions, multipliez d'abord tous les termes par le dénominateur commun ; en présence de parenthèses, développez-les avant de lire les coefficients. Le membre de droite doit être nul avant toute saisie.

Comment trouver le sommet de la parabole à partir des coefficients ?

Le sommet se trouve en \(x = -\tfrac{b}{2a}\), qui est toujours à mi-chemin entre les deux racines (réelles ou complexes). Substituez cette valeur dans \(y = ax^2 + bx + c\) pour obtenir l'ordonnée. Si \(a > 0\), le sommet est le point minimum ; si \(a < 0\), c'est le maximum. Cela est très utile pour les problèmes d'optimisation — recette, aire ou hauteur d'un projectile — où la réponse est le sommet ou le point bas de la courbe plutôt que ses racines.

Quelles sont les erreurs les plus courantes lors de la saisie des coefficients ?

La plus grave est l'oubli des signes négatifs : dans \(x^2 - 3x + 2 = 0\), \(b\) vaut \(-3\), et non 3. Parmi les autres erreurs : oublier un coefficient égal à 1 (dans \(x^2 + 4 = 0\), \(b\) vaut 0, et non rien), saisir \(c\) avec le mauvais signe lorsqu'il se trouve dans le membre de droite de l'équation d'origine, et taper \(a = 0\) pour une équation linéaire. Effectuez toujours une rapide vérification de Viète : \(x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a}\) et \(x_1 x_2 = \tfrac{c}{a}\) doivent être vraies toutes les deux.