Résolution d’équations cubiques

Q: Comment résoudre une équation cubique à la main sans la formule de Cardan ?

La méthode manuelle la plus rapide consiste à utiliser le théorème des racines rationnelles : testez comme racines possibles les diviseurs du terme constant d, divisés par les diviseurs de a. Si une valeur candidate r annule le polynôme, mettez (x − r) en facteur et résolvez l’équation du second degré restante à l’aide de la formule habituelle. Cette méthode fonctionne pour la plupart des équations cubiques d’exercice ayant des racines entières ou rationnelles et présente bien moins de risques d’erreur que l’application directe de la formule de Cardan.

Q: Comment savoir combien de racines réelles possède une équation cubique avant de la résoudre ?

Toute équation cubique possède une, deux (dont une racine double) ou trois racines réelles. Le discriminant du polynôme initial, D = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2, permet de le déterminer : D > 0 signifie trois racines réelles distinctes, D = 0 signifie des racines réelles multiples et D < 0 signifie exactement une racine réelle et deux racines complexes. Un rapide croquis de la courbe montre aussi combien de fois elle coupe l’axe des abscisses.

Q: Pourquoi le calculateur affiche-t-il « Racine complexe » au lieu de nombres ?

Lorsque le discriminant est positif, l’équation cubique possède une racine réelle et une paire de racines complexes conjuguées ; le calculateur n’affiche sous forme numérique que la racine réelle. Vous pouvez trouver vous-même la paire complexe à l’aide des formules de Viète : si la racine réelle est x_1, la paire vérifie x_2 + x_3 = -b/a - x_1 et x_2 x_3 = (d/a)/x_1. Vous obtenez ainsi une équation du second degré à résoudre dans les nombres complexes.

Q: Puis-je résoudre une équation cubique dont les coefficients sont des fractions ou des nombres décimaux ?

Oui. Saisissez les fractions sous forme décimale (par exemple 0,5 pour 1/2) : le calculateur accepte tous les coefficients réels. Pour éviter les surprises dues aux arrondis, il est souvent plus simple de multiplier d’abord toute l’équation par le dénominateur commun, car multiplier par une constante non nulle ne change pas les racines. Par exemple, 0.5x^3 + 1.5x = 0 a les mêmes racines que x^3 + 3x = 0.

Q: Qu’est-ce qu’une racine double et comment la reconnaître dans les résultats ?

Une racine double est une racine qui apparaît deux fois : la courbe touche l’axe des abscisses en ce point sans le traverser. Vous verrez deux valeurs identiques dans les résultats, par exemple x_2 = x_3 = -4. Notez que des valeurs comme 3,99998 et 4,00001 affichées ensemble correspondent généralement à l’arrondi d’une véritable racine double, puisque les résultats sont arrondis à 5 décimales. Vous pouvez le vérifier en déterminant si la dérivée s’annule également en ce point.

Q: Quelles erreurs courantes éviter lors de la saisie d’une équation cubique ?

L’erreur la plus fréquente consiste à oublier les termes absents : si votre équation est 2x^3 - 5 = 0, vous devez saisir a = 2, b = 0, c = 0, d = −5, sans omettre de champ. Faites aussi attention aux signes : le membre de droite doit être égal à zéro, donc commencez par tout ramener dans le membre de gauche. Si vous saisissez a = 0, l’équation n’est pas cubique ; utilisez alors le calculateur d’équations du second degré.

Q: Pourquoi la formule de Cardan posait-elle historiquement problème avec trois racines réelles ?

Lorsqu’une équation cubique possède trois racines réelles distinctes, la racine carrée intermédiaire √(Δ) de la formule de Cardan devient imaginaire, bien que les réponses finales soient réelles : c’est le paradoxe appelé casus irreducibilis. Les mathématiciens de la Renaissance ne pouvaient éviter ces étapes intermédiaires imaginaires avec les seuls radicaux. C’est pourquoi, dans ce cas, le calculateur passe à une forme trigonométrique utilisant cos et arccos, qui donne directement et avec précision les trois racines réelles.

Mis à jour : 03.10.2026

Saisissez les coefficients a, b, c et d pour résoudre toute équation cubique de la forme ax³ + bx² + cx + d = 0. Le calculateur trouve toutes les racines réelles à l’aide de la méthode de Cardan et indique quand les autres racines sont complexes.

Équation cubique

Formule de l’équation cubique

Formule

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0) \] \[ \text{Poser } x = t - \frac{b}{3a} \text{ pour obtenir l'équation cubique déprimée } t^3 + pt + q = 0 \] \[ p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \qquad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} \] \[ t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}, \qquad \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 \]

Où :

\(a, b, c, d\) — coefficients de l’équation cubique
\(x\) — inconnue ; chaque racine \(x_i\) est obtenue par \(x_i = t_i - \frac{b}{3a}\)
\(\Delta\) — discriminant de l’équation cubique déprimée : si \(\Delta > 0\), il y a une racine réelle et deux racines complexes ; si \(\Delta = 0\), toutes les racines sont réelles et au moins deux sont égales ; si \(\Delta < 0\), il y a trois racines réelles distinctes, obtenues à l’aide d’une forme trigonométrique de la formule de Cardan.

Le changement de variable \(x = t - \frac{b}{3a}\) élimine le terme du second degré, puis la formule de Cardan donne les racines de l’équation cubique déprimée ainsi obtenue.

Équation cubique – Exemple de calcul

Exemple : résoudre \(x^3 + 8x^2 + 16x = 0\), c’est-à-dire avec \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = 16\), \(d = 0\) (les valeurs par défaut du calculateur).

\[ p = \frac{3 \cdot 1 \cdot 16 - 8^2}{3 \cdot 1^2} = \frac{48 - 64}{3} = -\frac{16}{9} \]

\[ q = \frac{2 \cdot 8^3 - 9 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 16 + 27 \cdot 1^2 \cdot 0}{27 \cdot 1^3} = \frac{1024 - 1152}{27} = \frac{64}{27} \]

\[ \Delta = \left(\frac{64}{54}\right)^2 + \left(-\frac{16}{27}\right)^3 = \frac{4096}{729} - \frac{4096}{729} = 0 \]

Puisque \(\Delta = 0\), toutes les racines sont réelles et au moins deux sont confondues. Avec \(\sqrt[3]{q/2 + 0}\;=\;\sqrt[3]{64/27} = \frac{4}{3}\) et \(\frac{b}{3a} = \frac{8}{3}\) :

\[ x_1 = -\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{4}{3} = 0, \qquad x_2 = x_3 = -\left(\frac{4}{3} + \frac{8}{3}\right) = -4 \]

Résultat : \(x_1 = 0\), \(x_2 = x_3 = -4\). En effet, \(x^3 + 8x^2 + 16x = x(x + 4)^2 = 0\).

Comment utiliser le calculateur d’équations cubiques

Saisissez le coefficient a du terme en \(x^3\). Il ne doit pas être nul : sinon, l’équation n’est pas cubique (un message d’erreur explicatif s’affiche si vous saisissez 0).
Saisissez le coefficient b du terme en \(x^2\), le coefficient c du terme en \(x\) et le terme constant d. Saisissez 0 pour tout terme absent.
Les trois racines \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\) sont calculées instantanément à mesure que vous saisissez les coefficients.
Examinez les résultats : si deux racines sont égales, l’équation possède une racine double ; si un résultat affiche « Racine complexe », cette paire de racines est complexe et seule la racine réelle est affichée sous forme numérique.

Qu’est-ce qu’une équation cubique ?

Une équation cubique est toute équation qui peut s’écrire \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) avec \(a \neq 0\). Elle vient après l’équation du second degré et, contrairement à celle-ci, possède nécessairement au moins une racine réelle : en effet, la courbe d’un polynôme du troisième degré coupe toujours l’axe des abscisses quelque part.

D’après le théorème fondamental de l’algèbre, une équation cubique possède exactement trois racines si l’on compte les racines complexes. Trois cas sont possibles : trois racines réelles distinctes ; une racine réelle et une paire de racines complexes conjuguées ; ou des racines réelles dont l’une est répétée (une racine double), comme dans l’exemple détaillé ci-dessus. Le signe du discriminant \(\Delta\) de l’équation cubique déprimée détermine le cas rencontré.

La méthode de résolution utilisée ici remonte à l’Ars Magna (1545) de Jérôme Cardan. L’astuce essentielle est le changement de variable \(x = t - \frac{b}{3a}\), qui élimine le terme en \(x^2\) et ramène le problème à l’équation cubique déprimée \(t^3 + pt + q = 0\). Lorsque \(\Delta < 0\), les racines carrées de la formule de Cardan deviennent imaginaires alors même que les racines finales sont réelles — une situation appelée historiquement casus irreducibilis. Le calculateur passe donc à une variante trigonométrique utilisant \(\cos\) et \(\arccos\) pour obtenir directement les trois racines réelles.

Les équations cubiques apparaissent dès qu’une grandeur dépend d’un volume ou d’une puissance troisième : déterminer les dimensions d’une boîte de volume donné, calculer les intersections d’une droite et d’une courbe cubique, résoudre des problèmes de valeurs propres en ingénierie ou calculer des propriétés thermodynamiques.

Interpréter les résultats

Chaque racine \(x_i\) est une valeur de \(x\) pour laquelle le polynôme est nul ; géométriquement, c’est une abscisse d’intersection de la courbe \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec l’axe des abscisses. Une racine double (deux valeurs égales dans les résultats) signifie que la courbe touche l’axe en ce point sans le traverser. Lorsque « Racine complexe » s’affiche, les deux racines non réelles forment une paire de complexes conjugués : seule la racine réelle est donc donnée sous forme numérique. Les résultats sont arrondis à 5 décimales, ce qui suffit dans la plupart des cas pratiques.

Conseils, hypothèses et limites

Le coefficient a doit être non nul. Si \(a = 0\), l’équation est en réalité du second degré (ou du premier degré) : utilisez plutôt le calculateur d’équations du second degré.
Les racines complexes ne sont pas affichées sous forme numérique. Si votre équation possède une racine réelle et deux racines complexes, seule la racine réelle est affichée ; la paire complexe peut être trouvée à partir de \(x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} - x_1\) et \(x_2 x_3 = \frac{d/a}{x_1}\). Le calculateur de racines complexes traite les solutions complexes plus en détail.
Arrondi. Les racines sont arrondies à 5 décimales. Pour une équation aux solutions « simples », des valeurs affichées telles que 3,99999 ou −0,00001 sont simplement dues à l’arrondi.
Vérifiez par factorisation lorsque c’est possible. Si une racine \(r\) est trouvée, \((x - r)\) divise le polynôme et les autres racines s’obtiennent en résolvant une équation du second degré. Des outils comme la règle des signes de Descartes peuvent vous aider à prévoir le nombre de racines positives ou négatives avant la résolution.
Degrés supérieurs. Pour les équations du quatrième degré, utilisez le calculateur d’équations quartiques ; les polynômes généraux de degré cinq ou plus n’admettent aucune formule de résolution par radicaux.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation cubique à la main sans la formule de Cardan ?

La méthode manuelle la plus rapide consiste à utiliser le théorème des racines rationnelles : testez comme racines possibles les diviseurs du terme constant d, divisés par les diviseurs de a. Si une valeur candidate r annule le polynôme, mettez (x − r) en facteur et résolvez l’équation du second degré restante à l’aide de la formule habituelle. Cette méthode fonctionne pour la plupart des équations cubiques d’exercice ayant des racines entières ou rationnelles et présente bien moins de risques d’erreur que l’application directe de la formule de Cardan.

Comment savoir combien de racines réelles possède une équation cubique avant de la résoudre ?

Toute équation cubique possède une, deux (dont une racine double) ou trois racines réelles. Le discriminant du polynôme initial, \(D = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2\), permet de le déterminer : D > 0 signifie trois racines réelles distinctes, D = 0 signifie des racines réelles multiples et D < 0 signifie exactement une racine réelle et deux racines complexes. Un rapide croquis de la courbe montre aussi combien de fois elle coupe l’axe des abscisses.

Pourquoi le calculateur affiche-t-il « Racine complexe » au lieu de nombres ?

Lorsque le discriminant est positif, l’équation cubique possède une racine réelle et une paire de racines complexes conjuguées ; le calculateur n’affiche sous forme numérique que la racine réelle. Vous pouvez trouver vous-même la paire complexe à l’aide des formules de Viète : si la racine réelle est \(x_1\), la paire vérifie \(x_2 + x_3 = -b/a - x_1\) et \(x_2 x_3 = (d/a)/x_1\). Vous obtenez ainsi une équation du second degré à résoudre dans les nombres complexes.

Puis-je résoudre une équation cubique dont les coefficients sont des fractions ou des nombres décimaux ?

Oui. Saisissez les fractions sous forme décimale (par exemple 0,5 pour 1/2) : le calculateur accepte tous les coefficients réels. Pour éviter les surprises dues aux arrondis, il est souvent plus simple de multiplier d’abord toute l’équation par le dénominateur commun, car multiplier par une constante non nulle ne change pas les racines. Par exemple, \(0.5x^3 + 1.5x = 0\) a les mêmes racines que \(x^3 + 3x = 0\).

Qu’est-ce qu’une racine double et comment la reconnaître dans les résultats ?

Une racine double est une racine qui apparaît deux fois : la courbe touche l’axe des abscisses en ce point sans le traverser. Vous verrez deux valeurs identiques dans les résultats, par exemple \(x_2 = x_3 = -4\). Notez que des valeurs comme 3,99998 et 4,00001 affichées ensemble correspondent généralement à l’arrondi d’une véritable racine double, puisque les résultats sont arrondis à 5 décimales. Vous pouvez le vérifier en déterminant si la dérivée s’annule également en ce point.

Quelles erreurs courantes éviter lors de la saisie d’une équation cubique ?

L’erreur la plus fréquente consiste à oublier les termes absents : si votre équation est \(2x^3 - 5 = 0\), vous devez saisir a = 2, b = 0, c = 0, d = −5, sans omettre de champ. Faites aussi attention aux signes : le membre de droite doit être égal à zéro, donc commencez par tout ramener dans le membre de gauche. Si vous saisissez a = 0, l’équation n’est pas cubique ; utilisez alors le calculateur d’équations du second degré.

Pourquoi la formule de Cardan posait-elle historiquement problème avec trois racines réelles ?

Lorsqu’une équation cubique possède trois racines réelles distinctes, la racine carrée intermédiaire \(\sqrt{\Delta}\) de la formule de Cardan devient imaginaire, bien que les réponses finales soient réelles : c’est le paradoxe appelé casus irreducibilis. Les mathématiciens de la Renaissance ne pouvaient éviter ces étapes intermédiaires imaginaires avec les seuls radicaux. C’est pourquoi, dans ce cas, le calculateur passe à une forme trigonométrique utilisant \(\cos\) et \(\arccos\), qui donne directement et avec précision les trois racines réelles.