Calculateur de coefficient binomial
Calculez le coefficient binomial C(n, k), c’est-à-dire le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l’ordre. Saisissez n et k pour obtenir immédiatement le résultat, la formule et un exemple détaillé.
Calculer les combinaisons de « k parmi n »
Formule du coefficient binomial
Où :
- \(n\) — nombre total d’éléments (un entier positif ou nul)
- \(k\) — nombre d’éléments à choisir (\(0 \le k \le n\))
- \(n!\) — factorielle de \(n\), le produit \(1 \times 2 \times \dots \times n\), avec \(0! = 1\)
La formule donne le nombre de sous-ensembles distincts de taille \(k\) que l’on peut former à partir de \(n\) éléments lorsque l’ordre n’a pas d’importance. C’est le même coefficient que l’on retrouve dans le triangle de Pascal et dans le développement de \((a+b)^n\).
Coefficient binomial – exemple de calcul
Exemple : il faut choisir un comité de 2 personnes parmi un groupe de 5. Combien de comités différents peut-on former ? Ici, \(n = 5\) et \(k = 2\).
\[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \]
Résultat : \(\binom{5}{2} = 10\) — il y a 10 façons de choisir 2 personnes parmi 5.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez le nombre total d’éléments dans le champ n (nombre total d’éléments).
- Saisissez le nombre d’éléments à choisir dans le champ k (éléments sélectionnés). La valeur de \(k\) ne peut pas dépasser \(n\).
- Consultez le résultat sous Coefficient binomial : il correspond à \(\binom{n}{k}\), le nombre de sélections possibles.
Qu’est-ce que le coefficient binomial ?
Le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\), qui se lit « k parmi n », répond à une question fondamentale de dénombrement : de combien de façons peut-on choisir \(k\) objets parmi \(n\) lorsque l’ordre des objets choisis n’a pas d’importance ? Si vous avez 5 livres et souhaitez en emporter 2 en voyage, peu importe lequel vous prenez en premier : seule compte la paire qui se retrouve dans votre sac. C’est pourquoi les coefficients binomiaux dénombrent les combinaisons, par opposition aux arrangements, où l’ordre compte et où le nombre de possibilités est plus élevé.
Le nom vient du théorème du binôme : les coefficients du développement de \((a+b)^n\) sont précisément \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\). Par exemple, \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), où le coefficient 2 est égal à \(\binom{2}{1}\). Si vous souhaitez développer des produits d’expressions à deux termes, le calculateur de multiplication de binômes et le calculateur de la méthode FOIL permettent d’effectuer directement cette étape.
Les coefficients binomiaux sont également à la base du calcul des probabilités. Si une expérience comporte \(n\) essais indépendants, chacun ayant une probabilité de réussite \(p\), la probabilité d’obtenir exactement \(k\) réussites est \(\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\). Le coefficient dénombre les façons de déterminer lesquels des \(n\) essais sont réussis, d’où sa présence chaque fois que l’on dénombre des groupes de résultats.
Chaque ligne du triangle de Pascal donne les coefficients correspondant à une valeur de \(n\) : la ligne 5 contient 1, 5, 10, 10, 5, 1, dont \(\binom{5}{2} = 10\). Le triangle permet de voir facilement la symétrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) et la relation de Pascal, \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\). Ce même triangle est aussi lié à la suite de Fibonacci, car les sommes de ses diagonales peu inclinées donnent les nombres de Fibonacci.
Interpréter le résultat
Le résultat est toujours un nombre entier, car on ne peut pas avoir une fraction de sélection. Deux cas particuliers sont à retenir : \(\binom{n}{0} = 1\) (il n’existe qu’une seule façon de ne rien choisir) et \(\binom{n}{n} = 1\) (une seule façon de tout choisir). Si \(k > n\), la sélection est impossible et le calculateur affiche une erreur plutôt qu’un nombre.
Quelques identités utiles pour vérifier votre calcul : \(\binom{n}{1} = n\), \(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\) et, par symétrie, \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), donc \(\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = 10\).
Hypothèses et limites
- Entiers uniquement. \(n\) et \(k\) doivent être des entiers positifs ou nuls. L’interprétation combinatoire consistant à « choisir des éléments » ne s’applique pas à des valeurs fractionnaires.
- \(k \le n\). Si le nombre d’éléments à choisir dépasse le nombre d’éléments disponibles, le calculateur signale une erreur ; mathématiquement, \(\binom{n}{k} = 0\) lorsque \(k > n\).
- L’ordre n’est pas pris en compte. Ce calculateur dénombre les sélections sans ordre. Si l’ordre des éléments choisis compte, il faut calculer des arrangements, \(P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}\), dont le nombre est toujours supérieur ou égal à \(\binom{n}{k}\).
- Sans répétition. Chacun des \(n\) éléments ne peut être choisi qu’une seule fois. Les sélections avec répétition se calculent à l’aide d’une autre formule, \(\binom{n+k-1}{k}\).
- Limites de taille. Les factorielles augmentent extrêmement vite ; \(70!\) dépasse déjà \(10^{100}\). Pour de très grandes valeurs de \(n\), la précision numérique peut limiter les résultats, même si la valeur mathématique est exacte.
Valeurs courantes
| \(n\) | \(k\) | \(\binom{n}{k}\) | Interprétation |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 6 | Paires parmi 4 éléments |
| 5 | 2 | 10 | Paires parmi 5 éléments |
| 6 | 3 | 20 | Triplets parmi 6 éléments |
| 10 | 5 | 252 | La moitié de 10 éléments |
| 52 | 5 | 2 598 960 | Mains de poker de 5 cartes |
La dernière ligne montre pourquoi les coefficients binomiaux sont l’outil habituel pour les problèmes de cartes : le nombre de mains distinctes de 5 cartes que l’on peut tirer d’un jeu de 52 cartes est exactement \(\binom{52}{5}\).
Questions fréquentes
Comment calculer un coefficient binomial à la main sans calculer d’énormes factorielles ?
Utilisez la formule multiplicative simplifiée : \(\binom{n}{k} = \frac{n}{1} \times \frac{n-1}{2} \times \frac{n-2}{3} \times \dots\), avec exactement \(k\) facteurs au numérateur et au dénominateur. Pour \(\binom{8}{3}\) : \(\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\). Multipliez et divisez au fur et à mesure pour limiter la taille des nombres intermédiaires. Profitez aussi de la symétrie : calculez avec la plus petite des deux valeurs, \(k\) et \(n-k\).
Quelles notations désignent la même chose que C(n, k) ?
Toutes ces notations désignent la même quantité : \(C(n,k)\), \({}_nC_k\), \(C^n_k\), \(C^k_n\) et \(\binom{n}{k}\). Elles se lisent « k parmi n » ou « nombre de façons de choisir k éléments parmi n ». La notation \(\binom{n}{k}\) est courante en mathématiques avancées, tandis que \({}_nC_k\) et \(C(n,k)\) se rencontrent souvent dans les manuels scolaires et sur les calculatrices scientifiques, qui disposent souvent d’une touche nCr.
Pourquoi C(n, k) est-il inférieur au nombre d’arrangements P(n, k) ?
Les arrangements dénombrent les sélections ordonnées, tandis que les coefficients binomiaux dénombrent les sélections sans ordre. Chaque groupe non ordonné de \(k\) éléments correspond à \(k!\) ordres différents, donc \(P(n,k) = \binom{n}{k} \times k!\). Par exemple, choisir 2 gagnants parmi 8 concurrents en tenant compte de l’ordre donne \(8 \times 7 = 56\) résultats, mais si l’ordre n’a pas d’importance, il n’y a que \(\binom{8}{2} = 28\) paires.
Que se passe-t-il si k = 0 ou k = n ?
Dans les deux cas, le résultat est exactement 1. Il n’existe qu’une seule façon de ne rien choisir (la sélection vide) et une seule façon de tout prendre. Ce sont les première et dernière valeurs de chaque ligne du triangle de Pascal, qui commence et se termine toujours par 1. Ainsi, \(\binom{7}{0} = \binom{7}{7} = 1\), quelle que soit la grandeur de \(n\).
C(n, k) peut-il être négatif ou fractionnaire ?
Non. Lorsque \(n\) et \(k\) sont des entiers positifs ou nuls et que \(k \le n\), le résultat est toujours un entier positif ou nul, car il dénombre des possibilités. Si \(k > n\), on pose par convention \(\binom{n}{k} = 0\) : il n’y a aucune façon de choisir plus d’éléments que l’on en possède. Les valeurs négatives ou fractionnaires de \(n\) ou de \(k\) ont un sens en mathématiques avancées (coefficients binomiaux généralisés), mais ne représentent pas un nombre de sélections.
Comment utilise-t-on le coefficient binomial en probabilités ?
Il apparaît dans la loi binomiale : la probabilité d’obtenir exactement \(k\) réussites en \(n\) essais indépendants, chacun ayant une probabilité de réussite \(p\), est \(\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\). Le coefficient dénombre les façons de déterminer quels essais sont réussis. Par exemple, la probabilité d’obtenir exactement 3 fois pile en 10 lancers d’une pièce équilibrée est \(\binom{10}{3} (0.5)^{10} \approx 0.117\).
Jusqu’à quelle valeur de n le résultat reste-t-il fiable ?
Mathématiquement, la valeur est toujours un entier exact, mais les factorielles augmentent de façon vertigineuse : \(70!\) dépasse déjà \(10^{100}\), et \(\binom{100}{50}\) est un nombre à 30 chiffres. L’arithmétique standard en virgule flottante perd en précision ou dépasse ses limites bien avant cela. Si vous avez besoin de valeurs exactes pour de grandes valeurs de \(n\), utilisez un logiciel prenant en charge les entiers de précision arbitraire (Python, WolframAlpha) ou la méthode multiplicative avec des divisions exactes entre entiers.