Çarpan Hesaplama – Bir Sayının Tüm Çarpanları

Q: Bir sayının tüm çarpanlarını elle nasıl bulurum?

1'den √(n)'e kadar her tam sayıyı deneyin ve n'yi her adaya bölün. Bölüm kalansız çıktığı her seferinde iki çarpan birden bulmuş olursunuz: aday d ve eşi n ÷ d. 60 örneği: √(60) ≈ 7,7'ye kadarki denemeler 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10 ikililerini verir. İkililerdeki tüm sayıları topladıktan sonra sıralayın; tam liste elinizde olur.

Q: Tam kare sayıların çarpan sayısı neden tektir?

Çarpanlar normalde d × (n ÷ d) ikilileri hâlinde gelir, bu yüzden toplam sayı çifttir. 36 gibi bir tam karede ortadaki eş √(36) = 6'dır ve 6 kendisiyle eşleşir — 6 × 6 = 36 — yani yalnızca bir kez sayılır. Bu tek başına kalan eşleşme toplamı tek yapar. Bunun tersi de doğrudur: çarpan sayısı tek olan her sayı tam kare olmak zorundadır.

Q: Çarpan ile kat arasındaki fark nedir?

İkisi birbirinin tersidir. n'in bir çarpanı onu tam böler; bu yüzden çarpanlar n'in kendisinden büyük olamaz. n'in bir katı ise çarpma yoluyla elde edilir; katlar n'den küçük olamaz. Örneğin 3, 12'nin çarpanıdır ve 12 de 3'ün katıdır. Sık yapılan bir yanılgı: 12, 3'ün çarpanı değildir, ama 3, 3'ün kendisinin de katıdır — her sayı hem kendisinin çarpanı hem katıdır.

Q: 1 her sayının çarpanı mıdır ve 1 asal mıdır?

Evet; 1 her tam sayıyı tam bölendiğinden, hem her zaman n'in bir çarpanıdır hem de çarpan listesinin başında n'in kendisiyle eşleşir. Buna karşılık 1 asal değildir: bir asalın tam olarak iki çarpanı olmalıdır, yani 1 ve kendisi; oysa 1'in tek çarpanı vardır. Bu yüzden 1 ne bileşik sayı olarak ne de mükemmel, artıklı ya da eksik olarak sınıflandırılır.

Q: Negatif sayılar çarpan sayılır mı?

Katı tam sayı aritmetiğinde evet: d, n'yi bölüyorsa -d de böler; dolayısıyla hem −2 hem 2, 10'un bölenidir ve sayı iki katına çıkar. Okul kullanımında ve ders kitaplarındaki soruların çoğunda "n'in çarpanları" yalnızca pozitif bölenler demektir; araç da varsayılan olarak onları listeler. Negatif bir girişte |n|'in çarpanlarını gösterir ve negatif karşılıkları ayrıca belirtir.

Güncellendi: 2 Kasım 2026

1 ile 10¹² arasında herhangi bir tam sayı girin; tüm çarpanlarını, çarpan (bölen) sayısını ve toplamını, asal çarpanlara ayrımını, çarpan ikililerini ve sayının asal, mükemmel, artıklı mı eksik mi olduğunu anında görün — ya da 2–5 sayıyı karşılaştırıp ortak çarpanlarını ve EBOB'larını bulun.

Tüm çarpanları, çarpan çiftlerini ve asal çarpanlara ayrımı bulun

Çarpan formülü

Formül

\[ d \text{, } n \text{ sayısının bir çarpanıdır} \iff n = d \cdot k \text{, burada } k \text{ bir tam sayıdır} \] \[ n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r} \;\Rightarrow\; \tau(n) = \prod_{i=1}^{r} (e_i + 1), \qquad \sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_i^{e_i + 1} - 1}{p_i - 1} \]

Gösterimler:

\(d\) — \(n\)'in bir çarpanı (böleni)
\(n\) — çarpanlarına ayrılacak sayı
\(p_i\), \(e_i\) — \(n\)'in birbirinden farklı asal çarpanları ve bunların asal çarpanlara ayırmadaki üsleri
\(\tau(n)\) — \(n\)'in tüm çarpanlarının sayısı
\(\sigma(n)\) — \(n\)'in tüm çarpanlarının toplamı

İlk satır çarpanın tanımıdır: \(d\) sayısı \(n\)'yi kalansız olarak tam böler. İkinci satır ise asal çarpanlara ayırmanın hem kaç çarpan bulunduğunu hem de bu çarpanların toplamını nasıl belirlediğini gösterir.

Çarpanlar – örnek hesaplama

Örnek: aracın varsayılan değeri olan \(n = 360\)'ın tüm çarpanlarını bulalım.

\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

\[ \tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24 \]

\[ \sigma(360) = \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1} \cdot \frac{5^2 - 1}{5 - 1} = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \]

Sonuç: 360'ın 24 çarpanı vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Bu çarpanların toplamı 1170'tir. Gerçek bölenlerin toplamı \(1170 - 360 = 810 > 360\) olduğundan 360 artıklı bir sayıdır. Çarpanlar \(1 \times 360\)'dan \(18 \times 20\)'ye kadar uzanan 12 ikili oluşturur.

Çarpan hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Mod seçin: Tek bir sayının tüm çarpanları ya da 2–5 sayının ortak çarpanları.
Tüm çarpanlar modunda Sayı (n) alanına 1 ile 10¹² arasında bir tam sayı yazın. Eksi işareti de kabul edilir; araç \(|n|\)'in çarpanlarını listeler ve negatif olanları da belirtir.
Sonuçları okuyun: küçükten büyüğe Tüm çarpanlar, Çarpan sayısı \(\tau(n)\), Çarpanların toplamı \(\sigma(n)\), Asal çarpanlara ayırma, Çarpan ikilileri tablosu ve sayının asal, mükemmel, artıklı ya da eksik olduğuna dair sınıflandırma.
Ortak çarpanlar modunda Sayılar kutusuna virgül, boşluk, noktalı virgül ya da satır sonuyla ayrılmış 2–5 sıfırdan farklı tam sayı girin (örneğin 12, 18, 30). Sonuçta sayıların paylaştığı tüm çarpanlar listelenir ve en büyük ortak bölen vurgulanır.

Çarpan nedir ve neden önemlidir?

\(n\) sayısının bir çarpanı, \(n\)'yi kalansız bölebilen her tam sayıdır. Örneğin 12; 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'ye tam bölünür, dolayısıyla çarpanları bunlardır. \(n\)'in her \(d\) çarpanının bir eşi vardır: \(n = d \times k\) olduğundan eş, \(k = n \div d\) sayısıdır. Bu yüzden çarpanlar kendiliğinden çarpan ikilileri biçiminde düzenlenir. \(6 \times 6\) ikilisine sahip 36 gibi tam kare bir sayının çarpan sayısı tektir, çünkü \(\sqrt{n}\) kendisiyle eşleşir.

Büyük bir sayının tüm çarpanlarını bulmanın en hızlı yolu asal çarpanlara ayırmadır. \(n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\) ise her çarpan, aynı asalların en çok \(e_i\) üsle kurulmuş bir çarpımıdır. Çarpan sayısı buradan hemen çıkar: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\). Adım adım asal çarpanlara ayırma için Asal Çarpanlara Ayırma Hesaplayıcısı'na bakın; tek bir adayı sınamak içinse Asal Sayı Testi daha hızlıdır.

Çarpanların toplamı \(\sigma(n)\) salt bir merak konusu değildir; sayıyı sınıflandırır. Gerçek bölenlerin (sayının kendisi hariç tüm çarpanların) toplamı tam olarak \(n\)'e eşitse sayı mükemmeldir, 6 ve 28 gibi. Toplam daha fazlaysa sayı artıklı, daha azsa eksik sayılır. Asal sayıların tek gerçek böleni 1 olduğundan asal sayılar her zaman eksiktir.

Ortak çarpanlar, iki ya daha fazla sayının paylaştığı çarpanlardır ve tam olarak en büyük ortak bölenin (EBOB) bölenleridir; araç bu yüzden önce EBOB'u bulur, sonra bölenlerini listeler. Ortak bölenler kesirleri sadeleştirmenin anahtarıdır; bunun eş kavramı olan en küçük ortak kat ise EKOK Hesaplayıcısı'nda ele alınır.

Varsayımlar, sınırlar ve ipuçları

Yalnızca tam sayılar. Kesirler ve ondalık sayılar kabul edilmez. Sıfır hariç tutulur, çünkü sıfırdan farklı her tam sayıya tam bölündüğünden sonsuz bir liste oluşurdu.
Büyüklük sınırı. Her sayının mutlak değeri en fazla 10¹² (1.000.000.000.000.000) olmalıdır. Binlerce çarpanı olan çok büyük girişler kırpılır: listede ilk 2.000 çarpan, ikili tablosunda en fazla 500 ikili gösterilir ve kalanın sayısı belirtilir.
Negatif sayılar. Negatif bir değer girildiğinde \(|n|\)'in pozitif çarpanları listelenir ve her birinin \(-d\) biçiminde bir negatif karşılığının da olduğu belirtilir; böylece tam sayı çarpanların toplam sayısı iki katına çıkar.
İpucu. Bir adayın \(n\)'yi bölüp bölmediğini her şeyi listelemeden hızlıca denetlemek için \(n\)'yi adaya bölün ve bölümün tam sayı olup olmadığına bakın. Yalnızca \(\sqrt{n}\)'e kadar olan adayların denenmesi yeterlidir, çünkü \(\sqrt{n}\)'den büyük her çarpan, daha önce bulduğunuz daha küçük bir çarpanın eşidir.
İpucu. Çarpan ikilileri kökleri sadeleştirmede ve ikinci dereceden ifadeleri çarpanlara ayırmada işe yarar: \(a \times b = n\) olacak ve \(a\) ile \(b\)'nin toplamı ya da farkı uygun çıkacak bir ikili bulursanız, \(n\)'in işinize yarayan bir ayrışımını bulmuş olursunuz.

Sıkça Sorulan Sorular

Bir sayının tüm çarpanlarını elle nasıl bulurum?

1'den \(\sqrt{n}\)'e kadar her tam sayıyı deneyin ve \(n\)'yi her adaya bölün. Bölüm kalansız çıktığı her seferinde iki çarpan birden bulmuş olursunuz: aday \(d\) ve eşi \(n \div d\). 60 örneği: \(\sqrt{60} \approx 7,7\)'ye kadarki denemeler \(1 \times 60\), \(2 \times 30\), \(3 \times 20\), \(4 \times 15\), \(5 \times 12\), \(6 \times 10\) ikililerini verir. İkililerdeki tüm sayıları topladıktan sonra sıralayın; tam liste elinizde olur.

Tam kare sayıların çarpan sayısı neden tektir?

Çarpanlar normalde \(d \times (n \div d)\) ikilileri hâlinde gelir, bu yüzden toplam sayı çifttir. 36 gibi bir tam karede ortadaki eş \(\sqrt{36} = 6\)'dır ve 6 kendisiyle eşleşir — \(6 \times 6 = 36\) — yani yalnızca bir kez sayılır. Bu tek başına kalan eşleşme toplamı tek yapar. Bunun tersi de doğrudur: çarpan sayısı tek olan her sayı tam kare olmak zorundadır.

Çarpan ile kat arasındaki fark nedir?

İkisi birbirinin tersidir. \(n\)'in bir çarpanı onu tam böler; bu yüzden çarpanlar \(n\)'in kendisinden büyük olamaz. \(n\)'in bir katı ise çarpma yoluyla elde edilir; katlar \(n\)'den küçük olamaz. Örneğin 3, 12'nin çarpanıdır ve 12 de 3'ün katıdır. Sık yapılan bir yanılgı: 12, 3'ün çarpanı değildir, ama 3, 3'ün kendisinin de katıdır — her sayı hem kendisinin çarpanı hem katıdır.

1 her sayının çarpanı mıdır ve 1 asal mıdır?

Evet; 1 her tam sayıyı tam bölendiğinden, hem her zaman \(n\)'in bir çarpanıdır hem de çarpan listesinin başında \(n\)'in kendisiyle eşleşir. Buna karşılık 1 asal değildir: bir asalın tam olarak iki çarpanı olmalıdır, yani 1 ve kendisi; oysa 1'in tek çarpanı vardır. Bu yüzden 1 ne bileşik sayı olarak ne de mükemmel, artıklı ya da eksik olarak sınıflandırılır.

Bir sayının en fazla kaç çarpanı olabilir?

Sabit bir üst sınır yoktur; bazı sayılar, benzer büyüklükteki öbürlerine göre çok daha fazla çarpan taşır. Bunlara yüksek derecede bileşik sayılar denir; örneğin 720720 tam 240 çarpan taşır ve 10¹²'in altındaki 963761198400 sayısının 6720 çarpanı vardır. Çarpan sayısı, farklı asal çarpanların sayısına ve üslerine bağlı olarak artar: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\); dolayısıyla yeni bir asal eklemek sayıyı her zaman katlar.

Negatif sayılar çarpan sayılır mı?

Katı tam sayı aritmetiğinde evet: \(d\), \(n\)'yi bölüyorsa \(-d\) de böler; dolayısıyla hem −2 hem 2, 10'un bölenidir ve sayı iki katına çıkar. Okul kullanımında ve ders kitaplarındaki soruların çoğunda "n'in çarpanları" yalnızca pozitif bölenler demektir; araç da varsayılan olarak onları listeler. Negatif bir girişte \(|n|\)'in çarpanlarını gösterir ve negatif karşılıkları ayrıca belirtir.

İlk mükemmel sayılar hangileridir ve neden bu kadar enderdirler?

Mükemmel sayı, gerçek bölenlerinin toplamına eşit olan sayıdır: en küçükleri 6 (1 + 2 + 3), 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 ve 8128'dir. Bilinen her çift mükemmel sayı Öklid–Euler biçimindedir: \(2^{p-1}(2^p - 1)\); burada \(2^p - 1\)'in Mersenne asalı olması gerekir — enderliklerinin nedeni de budur. Bugüne dek yalnızca 52 tanesi bilinir ve tek bir tek mükemmel sayının var olup olmadığı hâlâ kanıtlanmamıştır.