Длина медианы треугольника

Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре треугольника. В случае равнобедренного и равностороннего треугольников, медиана делит пополам любой угол в вершине у которого две смежные стороны равны.

Пример расчета медиан:

Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.

Получаем:

A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )

Решение:

Шаг 1:

Найдем длину сторон a,b,c используя формулу

d = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²⁾

Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )

a = √((5 — 8)² + (6 — 9)² )= 4.242

Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )

b = √((1 — 5)² + (5 — 6)²⁾ = 4.123

Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )

c = √((8 — 1)² + (9 — 5)²⁾ = 8.062

Шаг 2:

Полученные значения a,b,c применяем в формулы

m_a = (1/2) √2c² + 2b² — a²

m_b = (1/2) √(2c² + 2a² — b² )

m_c = (1/2) √(2a² + 2b² — c² )

• m_a = (1/2)√(2(8.062)² + 2(4.123)² — 4.242² )= 6.042
• m_b = (1/2)√(2(8.062)² + 2(4.242)² — 4.123² )= 6.103
• m_c = (1/2)√2(4.242)² + 2(4.123)² — 8.062² = 1.118

Свойства Медиан Треугольника

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равняется половине гипотенузы.
• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, то есть их длины удовлетворяют неравенству треугольника.