Kalkulator wzoru Rydberga
Podaj początkową i końcową główną liczbę kwantową przejścia elektronu w atomie wodoru i otrzymaj długość fali, częstotliwość oraz energię fotonu linii widmowej, a także jej serię (Lymana, Balmera, Paschena…).
Obliczanie długości fali linii wodoru na podstawie liczb kwantowych
Wzór Rydberga
Gdzie:
- \(\lambda\) — długość fali emitowanego lub pochłanianego fotonu (m)
- \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\) — stała Rydberga dla wodoru (skorygowana o masę zredukowaną atomu)
- \(n_i\) — początkowa główna liczba kwantowa elektronu
- \(n_f\) — końcowa główna liczba kwantowa elektronu
Wzór wyraża odwrotność długości fali (liczbę falową) fotonu powstałego, gdy elektron w atomie wodoru przeskakuje między dwoma poziomami energetycznymi. Powiązane zależności \(\nu = c/\lambda\) oraz \(E = h\nu = hc/\lambda\) pozwalają przeliczyć długość fali na częstotliwość i energię fotonu.
Wzór Rydberga — przykład obliczenia
Przykład: elektron w atomie wodoru przechodzi z poziomu \(n_i = 3\) na poziom \(n_f = 2\) (przejście odpowiedzialne za słynną czerwoną linię Hα).
\[ \frac{1}{\lambda} = 1.0967758 \times 10^7 \times \left| \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right| = 1.0967758 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.5233 \times 10^6\ \text{m}^{-1} \]
\[ \lambda = \frac{1}{1.5233 \times 10^6} \approx 6.5647 \times 10^{-7}\ \text{m} = 656.47\ \text{nm} \]
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{2.9979 \times 10^8}{6.5647 \times 10^{-7}} \approx 4.568 \times 10^{14}\ \text{Hz} \]
Wynik: \(\lambda \approx 656.47\) nm, \(\nu \approx 456.81\) THz, energia fotonu \(E \approx 1.89\) eV \((3.03 \times 10^{-19}\) J) — czerwona linia Hα serii Balmera.
Jak korzystać z kalkulatora wzoru Rydberga
- Wpisz poziom początkowy (n_i) — główną liczbę kwantową, z której elektron startuje. Dla linii emisyjnej jest to poziom wyższy (np. 3).
- Wpisz poziom końcowy (n_f) — poziom, na którym elektron się znajduje po przejściu. Dla linii emisyjnej jest to poziom niższy (np. 2).
- Obie liczby muszą być liczbami całkowitymi od 1 do 100 i muszą się różnić — identyczne poziomy nie dają fotonu.
- Odczytaj wyniki: długość fali w nanometrach, częstotliwość w terahercach oraz energię fotonu w eV i dżulach, a także typ przejścia, serię widmową i zakres widma.
Jeśli \(n_i > n_f\), kalkulator opisuje linię emisyjną (elektron opada i emituje foton); jeśli \(n_i < n_f\) — linię absorpcyjną (elektron zostaje przeniesiony na wyższy poziom, pochłaniając foton o dokładnie tej samej długości fali).
Czym jest wzór Rydberga?
Wzór Rydberga, sformułowany przez Johannesa Rydberga w 1888 roku, przewiduje długości fal wszystkich linii widmowych atomu wodoru. Uogólnił on empiryczną formułę Balmera, opisującą linie widzialne, do jednego wyrażenia obejmującego całe widmo. W 1913 roku Niels Bohr wyjaśnił, dlaczego ten wzór działa: elektron w atomie wodoru może zajmować tylko dyskretne poziomy \(n = 1, 2, 3, \ldots\), a foton jest emitowany lub pochłaniany, gdy elektron przeskakuje między nimi, przenosząc dokładnie różnicę energii obu poziomów.
Ponieważ każdy poziom ma stałą energię, każda para poziomów odpowiada jednej konkretnej długości fali. Dlatego widmo wodoru nie jest ciągłą tęczą, lecz zbiorem ostrych linii — i dlatego linie te stanowią swego rodzaju odcisk palców wodoru, zarówno w analizie laboratoryjnej, jak i w astronomii.
Linie układają się w serie nazwane od poziomu końcowego: seria Lymana (do \(n = 1\), ultrafiolet), seria Balmera (do \(n = 2\), widzialne linie Hα 656 nm, Hβ 486 nm, Hγ 434 nm i Hδ 410 nm), serie Paschena (do \(n = 3\)), Bracketta (do \(n = 4\)) i Pfunda (do \(n = 5\)), wszystkie w podczerwieni. W miarę wzrostu poziomu górnego linie zbliżają się do siebie i zbiegają do granicy serii, powyżej której atom ulega jonizacji. Kalkulator rozpoznaje serię automatycznie i identyfikuje kilka znanych linii, takich jak Hα czy lymanowska alfa.
Warto też zinterpretować fizycznie energię fotonu: \(E \approx 1.89\) eV dla linii Hα odpowiada odległości między poziomami \(n = 2\) i \(n = 3\), a 13,6 eV — granica serii Lymana — to energia jonizacji wodoru ze stanu podstawowego.
Założenia i ograniczenia
- Wzór dotyczy wyłącznie atomu wodoru (\(Z = 1\)) w fazie gazowej. Dla jonów wodoropodobnych, takich jak He⁺ czy Li²⁺, należy pomnożyć prawą stronę przez \(Z^2\).
- Długości fal są wartościami dla próżni, obliczonymi stałą uwzględniającą masę zredukowaną \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\). W powietrzu linie przesuwają się mniej więcej o 0,1–0,3 nm (Hα obserwuje się przy 656,28 nm zamiast 656,47 nm).
- Struktura subtelna, przesunięcie Lamba i efekty izotopowe (deuter, tryt) są pomijane; powodują one rozszczepienia rzędu ułamków nanometra, istotne tylko w spektroskopii wysokiej rozdzielczości.
- Model zakłada atom złożony z jednego elektronu i jednego jądra — nie ma zastosowania do atomów wieloelektronowych, cząsteczek ani ciał stałych.
Jeśli analizujesz inne rodzaje widm lub przeliczasz energie, przydatne mogą być też nasze narzędzia: kalkulator prawa Bragga do analizy długości fal metodami dyfrakcyjnymi oraz kalkulator standardowego potencjału ogniwa do obliczeń elektrochemicznych. Aby opisać ruch atomów w fazie gazowej, zajrzyj do kalkulatora prędkości cząsteczek gazu.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć długość fali linii wodoru wzorem Rydberga na papierze?
Oblicz odwrotności kwadratów liczb kwantowych, odejmij je i pomnóż przez stałą Rydberga: \(1/\lambda = R_H \cdot |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Następnie odwróć wynik, aby otrzymać długość fali w metrach. Na przykład dla \(n_i = 4, n_f = 2\): \(1/\lambda = 1.0967758\times10^7 \times 3/16 = 2.056\times10^6\ \text{m}^{-1}\), czyli \(\lambda \approx 486\) nm — turkusowa linia Hβ.
Czy ma znaczenie, który poziom podam najpierw — początkowy czy końcowy?
Nie, długość fali, częstotliwość i energia fotonu będą takie same, ponieważ we wzorze występuje wartość bezwzględna. Zmienia się tylko interpretacja: podanie najpierw poziomu wyższego opisuje emisję (elektron opada i emituje foton), a podanie najpierw poziomu niższego — pochłonięcie fotonu o tej samej długości fali. Jedyny przypadek, którego należy unikać, to wpisanie dwa razy tej samej liczby — równe poziomy w ogóle nie dają fotonu.
Dlaczego kalkulator odrzuca dane, gdy obie liczby kwantowe są takie same?
Gdy \(n_i = n_f\), wyrażenie \(1/n_f^2 - 1/n_i^2\) wynosi zero, więc liczba falowa jest zerowa, a długość fali byłaby nieskończona — fizycznie nie zachodzi żadne przejście i nie powstaje foton, ponieważ energia elektronu się nie zmienia. Wybierz dwie różne liczby całkowite, każda co najmniej równa 1. Pamiętaj też, że n musi być liczbą całkowitą: wartości takie jak 1,5 nie są poprawnymi poziomami energetycznymi.
W jakim zakresie długości fal mogą mieścić się linie wodoru?
Najkrótszą możliwą linią jest granica Lymana, około 91,2 nm (daleki ultrafiolet), odpowiadająca pełnej energii jonizacji 13,6 eV ze stanu podstawowego. Linie o wyższym poziomie górnym mają dłuższe fale i gęstnieją, zbliżając się do granicy każdej serii. Przejścia kończące się na n = 2 mieszczą się między 410 nm a 656 nm — to jedyne linie wodoru widoczne dla oka; wszystko, co kończy się na n = 1, to ultrafiolet, a wszystko, co kończy się na n ≥ 3, to podczerwień.
Czy mogę użyć tego kalkulatora dla He⁺, Li²⁺ i innych jonów wodoropodobnych?
Nie bezpośrednio, ale poprawka jest prosta. Dla jonu jednoelektronowego o ładunku jądra Z pomnóż liczbę falową przez \(Z^2\): \(1/\lambda = R_H Z^2 |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Weź długość fali z tego kalkulatora, a następnie podziel ją przez \(Z^2\). Dla He⁺ (Z = 2) każda linia jest cztery razy krótsza niż odpowiednia linia wodoru. Wzór nie działa dla helu obojętnego ani żadnego atomu wieloelektronowego.
Dlaczego moja zmierzona długość fali Hα nieco różni się od obliczonej 656,47 nm?
Są dwie typowe przyczyny. Po pierwsze, kalkulator zwraca długości fal dla próżni; w powietrzu linia przesuwa się mniej więcej o 0,1–0,3 nm (Hα obserwuje się przy 656,28 nm w powietrzu standardowym). Po drugie, przyrządy o wysokiej rozdzielczości rozdzielają strukturę subtelną, przesunięcie Lamba i rozszczepienia izotopowe, których ten prosty model nie uwzględnia. W astronomii dodatkowo ruch gazu przesuwa linie wskutek efektu Dopplera — przesunięta ku czerwieni lub ku fioletowi linia Hα to zjawisko normalne, wykorzystywane wręcz do pomiaru prędkości.
Czym różni się R_H od stałej Rydberga R∞, którą widzę w podręcznikach?
\(R_\infty = 1.0973732\times10^7\ \text{m}^{-1}\) zakłada jądro o nieskończonej masie, natomiast \(R_H = 1.0967758\times10^7\ \text{m}^{-1}\) uwzględnia skończoną masę zredukowaną układu elektron–proton w rzeczywistym wodorze. Różnica wynosi około 0,05%, co przesuwa linię Hα mniej więcej o jedną trzecią nanometra. Ten kalkulator stosuje \(R_H\), więc jego wyniki lepiej odpowiadają obserwowanym liniom wodoru; \(R_\infty\) stosuj tylko wtedy, gdy jądro traktuje się jako nieruchome.