Kalkulator szczęśliwej liczby
Wpisz dodatnią liczbę całkowitą, aby sprawdzić, czy jest liczbą wesołą. Kalkulator wielokrotnie sumuje kwadraty jej cyfr i sprawdza, czy ciąg dochodzi do 1.
Sprawdzanie szczęśliwej liczby
Wzór na szczęśliwą liczbę
Gdzie:
- \(n_0\) — dodatnia liczba całkowita, którą wpisujesz.
- \(n_j\) — liczba w kroku \(j\) ciągu.
- \(d_i\) — cyfra dziesiętna liczby \(n_j\), od 0 do 9.
- \(S(n)\) — suma kwadratów cyfr liczby \(n\).
Zastosuj sumę kwadratów cyfr wielokrotnie. Jeśli ciąg osiąga 1, liczba wyjściowa jest wesoła; jeśli jakaś liczba powtórzy się przed osiągnięciem 1, nie jest wesoła.
Szczęśliwa liczba – przykład obliczeń
Przykład: wpisz wartość domyślną, 7, i podnoś do kwadratu jej cyfry w każdym kroku.
\[\begin{aligned}7&\to 7^2=49\\49&\to 4^2+9^2=97\\97&\to 9^2+7^2=130\\130&\to 1^2+3^2+0^2=10\\10&\to 1^2+0^2=1\end{aligned}\]
Wynik: 7 jest wesołe, ponieważ jego ciąg osiąga 1.
Jak korzystać z kalkulatora
- Wpisz liczbę całkowitą większą od zera w polu Liczba całkowita dodatnia. Wartość domyślna to 7.
- Odczytaj Wynik: podaje, czy liczba jest wesoła, czy nie jest wesoła.
- Aby sprawdzić inną liczbę, zastąp wpis i odczytaj zaktualizowany wynik.
Wynik jest klasyfikacją, a nie punktacją. Nie pokazuje ciągu pośrednich kroków, więc jeśli chcesz zobaczyć, jak działa test, możesz prześledzić powyższy przykład obliczeń.
Czym jest liczba wesoła?
Liczba wesoła to dodatnia liczba całkowita, która po wielokrotnym zastępowaniu sumą kwadratów swoich cyfr dziesiętnych w końcu staje się 1. Gdy ciąg osiągnie 1, pozostaje tam: \(1^2=1\). Wartość domyślna, 7, jest wesoła, ponieważ jej ciąg osiąga 1 po pięciu zastąpieniach.
Ciąg, który nie osiąga 1, w końcu powtarza pewną liczbę i kontynuuje w cyklu. Na przykład 4 prowadzi przez \(4\to16\to37\to58\to89\to145\to42\to20\to4\). Ponieważ wraca do 4, nie osiągając 1, liczba 4 nie jest wesoła. Kalkulator zapamiętuje liczby, które już widział, i zatrzymuje się, gdy znajdzie 1 albo powtórzoną liczbę; nie musi działać w nieskończoność.
Mimo nazwy tej strony test dotyczy liczb wesołych. W matematyce „liczby szczęśliwe”
Najczęściej zadawane pytania
Jak sprawdzić ręcznie, czy liczba jest wesoła?
Zapisuj kolejne sumy kwadratów cyfr, aż osiągniesz 1 albo liczbę, którą już zapisałaś/zapisałeś. Na przykład \(19\to82\to68\to100\to1\), więc 19 jest wesołe. Prowadź krótką listę wyników po drodze; powtórzony wynik oznacza, że ciąg pójdzie tą samą ścieżką i nigdy nie osiągnie 1.
Czy wszystkie niewesołe liczby wchodzą w ten sam cykl?
Tak. W systemie dziesiętnym każda dodatnia liczba całkowita, która nie osiąga 1, w końcu wchodzi w cykl \(4\to16\to37\to58\to89\to145\to42\to20\to4\). Przy szybkim ręcznym sprawdzaniu możesz się zatrzymać, gdy tylko osiągniesz dowolną liczbę z tego cyklu. Liczba wyjściowa nie musi być 4.
Czy przestawienie cyfr liczby zmienia to, czy jest wesoła?
Nie. Przestawienie tych samych cyfr nie zmienia ich pierwszej sumy kwadratów cyfr, więc dalsza część ciągu jest identyczna. Na przykład 19 i 91 obie stają się najpierw \(1^2+9^2=82\); obie są wesołe. Dotyczy to dowolnej permutacji cyfr, o ile przedstawia dodatnią liczbę całkowitą.
Czy dodanie zer zmienia to, czy liczba jest wesoła?
Nie. Zero wnosi \(0^2=0\), więc wstawienie zera lub dopisanie go na końcu nie zmienia pierwszej sumy kwadratów cyfr. Zatem 19, 109 i 190 po jednym kroku podążają tym samym ciągiem i wszystkie są wesołe. Zera wiodące również nie zmieniają wartości liczby całkowitej.
Czy liczba wesoła to to samo co liczba pierwsza?
Nie. Wesołość zależy od ciągu obliczeń na cyfrach; pierwszość zależy od tego, czy liczba ma dzielniki inne niż 1 i ona sama. Liczba pierwsza 7 jest wesoła, ale liczba pierwsza 2 nie jest. Liczba złożona 10 jest wesoła. Żadna z tych własności nie pociąga za sobą drugiej.
Czy są jakieś jednostki do przeliczania, i czy system liczbowy ma znaczenie?
Liczby wesołe nie mają jednostek fizycznych, więc nie ma tu przeliczania jednostek. Podstawa systemu liczbowego ma natomiast znaczenie, ponieważ decyduje, które cyfry są podnoszone do kwadratu. Na przykład dziesiętne 3 nie jest wesołe, podczas gdy jego reprezentacja dwójkowa \(11_2\) osiąga \(10_2\), a potem \(1_2\) w dwójkowej wersji tej reguły. Ten kalkulator używa cyfr dziesiętnych.
Które liczby jednocyfrowe są wesołe?
Wśród dodatnich liczb jednocyfrowych tylko 1 i 7 są wesołe. Pozostałe w końcu wchodzą w powtarzający się cykl zamiast osiągnąć 1. Wynik „wesoła”