Calculadora de projeção de vetores 3D

Q: Como calcular a projeção de um vetor 3D à mão?

Primeiro calcule o produto escalar a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z e o quadrado do módulo lvertmathbfbrvert^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2. Divida o produto escalar por lvertmathbfbrvert^2 para obter o fator de escala k e multiplique cada componente de mathbfb por k. Esse produto kmathbfb é a projeção vetorial. Subtraia-o de mathbfa para obter a componente perpendicular.

Q: Qual é a diferença entre projeção escalar e projeção vetorial?

A projeção escalar é um único número com sinal: (mathbfa·mathbfb)/lvertmathbfbrvert, o comprimento da sombra ao longo de mathbfb (negativo se o ângulo passar de 90°). A projeção vetorial é um vetor 3D completo kmathbfb apontando na direção de mathbfb com exatamente esse comprimento. Elas se relacionam por lvertproj_mathbfbmathbfarvert = lvertcomp_mathbfbmathbfarvert.

Q: O que acontece se o vetor de direção for o vetor nulo?

A fórmula divide por lvertmathbfbrvert^2, que é 0 no caso do vetor nulo, então a projeção fica indefinida — um vetor nulo não tem direção sobre a qual projetar. A calculadora detecta isso e pede que você digite um vetor de direção não nulo. O vetor que está sendo projetado pode ser qualquer um, mas os dois vetores precisam ter ao menos uma componente não nula para que o ângulo também fique definido.

Q: A projeção muda se eu escalar o vetor de direção?

Não. Multiplicar mathbfb por qualquer constante não nula deixa a projeção vetorial inalterada, porque o produto escalar e lvertmathbfbrvert^2 escalam juntos e se cancelam. Só a direção de mathbfb importa, não o seu comprimento. A projeção escalar, porém, muda de sinal se você inverter mathbfb (multiplicar por uma constante negativa), pois ela é sinalizada em relação à orientação de mathbfb.

Atualizado: 14 outubro 2026

Digite as componentes de dois vetores 3D e esta calculadora projeta um sobre o outro, mostrando a projeção escalar, a projeção vetorial, a componente perpendicular, o produto escalar, os módulos e o ângulo entre os vetores.

Projetar um vetor 3D sobre outro

Fórmula da projeção de vetores 3D

Fórmula

\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2}\, \mathbf{b} \]

Onde:

\(\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\) — o vetor que será projetado
\(\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\) — o vetor que fornece a direção
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) — o produto escalar
\(\lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\) — o módulo (comprimento) de \(\mathbf{b}\)

A fórmula expressa quanto de \(\mathbf{a}\) aponta na direção de \(\mathbf{b}\). A fração \(k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2}\) escala \(\mathbf{b}\) de modo que o resultado é a sombra que \(\mathbf{a}\) projeta sobre a reta que passa por \(\mathbf{b}\).

Da mesma projeção saem duas grandezas relacionadas:

\[ \operatorname{comp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert} \qquad \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} \]

A projeção escalar (componente) é o comprimento com sinal da sombra, e a componente perpendicular (rejeição) é a parte de \(\mathbf{a}\) que sobra — sempre ortogonal a \(\mathbf{b}\).

Projeção de vetores 3D – exemplo de cálculo

Exemplo: projetar \(\mathbf{a} = (2, 3, 1)\) sobre \(\mathbf{b} = (1, 0, 2)\) (os valores padrão da calculadora).

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 4 \]

\[ \lvert \mathbf{a} \rvert = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \approx 3.742, \qquad \lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.236 \]

\[ k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = 0.8 \cdot (1, 0, 2) = (0.8,\ 0,\ 1.6) \]

\[ \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\ 3,\ -0.6) \]

Resultado: a projeção escalar é \(4 / \sqrt{5} \approx 1.789\), a projeção vetorial é \((0.8, 0, 1.6)\) e a componente perpendicular é \((1.2, 3, -0.6)\), com módulo \(\approx 3.286\). O ângulo entre os vetores é \(\arccos\!\left(\tfrac{4}{\sqrt{70}}\right) \approx 61.4°\).

Como usar a calculadora

Digite a componente x (aₓ), a componente y (aᵧ) e a componente z (a_z) do primeiro vetor em "Vetor a — componentes".
Digite as três componentes do segundo vetor em "Vetor b — componentes". Use 0 para qualquer eixo ausente.
Escolha a opção de Projetar: "a sobre b" determina quanto de \(\mathbf{a}\) está na direção de \(\mathbf{b}\); "b sobre a" inverte os papéis.
Leia os resultados: a projeção escalar, a projeção vetorial, a componente perpendicular, além do produto escalar, dos dois módulos, do ângulo entre os vetores e do cálculo passo a passo.

O que é a projeção de um vetor 3D?

Geometricamente, a projeção do vetor \(\mathbf{a}\) sobre o vetor \(\mathbf{b}\) é a sombra que \(\mathbf{a}\) projeta na reta que passa por \(\mathbf{b}\), como se a luz incidisse perpendicularmente a essa reta. O resultado é um novo vetor que aponta exatamente na mesma direção (ou exatamente na direção oposta) de \(\mathbf{b}\), com comprimento igual ao quanto \(\mathbf{a}\) se estende nessa direção. Isso também é chamado de componente vetorial de \(\mathbf{a}\) ao longo de \(\mathbf{b}\).

Toda projeção decompõe um vetor em duas partes ortogonais: a própria projeção (paralela a \(\mathbf{b}\)) e a componente perpendicular, frequentemente chamada de rejeição. As duas partes sempre somam de volta o vetor original: \(\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} + \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\), e o produto escalar entre elas é zero. Essa decomposição é a base do processo de Gram–Schmidt, da resolução de forças em componentes na física e do ajuste por mínimos quadrados na estatística.

A projeção escalar responde à pergunta "até onde \(\mathbf{a}\) alcança ao longo de \(\mathbf{b}\)?" com um único número com sinal. Ela é positiva quando o ângulo entre os vetores é menor que 90°, zero quando os vetores são perpendiculares e negativa quando o ângulo passa de 90° — ou seja, \(\mathbf{a}\) aponta parcialmente contra \(\mathbf{b}\). O próprio ângulo decorre do produto escalar por meio de \(\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert\mathbf{a}\rvert\,\lvert\mathbf{b}\rvert}\), e é por isso que a calculadora o exibe junto com a projeção.

Observe que a projeção escala com o comprimento de \(\mathbf{b}\), mas não com sua direção: dobrar \(\mathbf{b}\) reduz à metade o fator de escala \(k\), de modo que a projeção vetorial em si não muda. Em outras palavras, a projeção depende da reta que passa por \(\mathbf{b}\), e não do vetor específico — uma relação de proporcionalidade direta entre \(k\) e \(\lvert\mathbf{b}\rvert^{-2}\). Você pode explorar relações proporcionais desse tipo com a calculadora de Proporcionalidade Direta.

Premissas, limitações e dicas

Vetores não nulos são obrigatórios. O vetor de direção precisa ter módulo positivo, porque a fórmula divide por \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\). Um vetor nulo não tem direção sobre a qual projetar; a calculadora indicará qual vetor precisa ser corrigido.
O sinal importa. Uma projeção escalar negativa é um resultado válido: significa que a projeção aponta no sentido oposto a \(\mathbf{b}\), e a projeção vetorial conterá múltiplos negativos das componentes de \(\mathbf{b}\).
A ordem importa. Projetar \(\mathbf{a}\) sobre \(\mathbf{b}\) e \(\mathbf{b}\) sobre \(\mathbf{a}\) geralmente dá vetores diferentes (apenas as projeções escalares se relacionam por \(\lvert\mathbf{a}\rvert\) e \(\lvert\mathbf{b}\rvert\)). Use o menu suspenso "Projetar" para trocar de direção.
Teste de perpendicularidade. Se o produto escalar for 0, os vetores são ortogonais: a projeção é o vetor nulo e a componente perpendicular é igual ao vetor original.
Módulos como RMS. O módulo \(\lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\) é a média quadrática das três componentes multiplicada por \(\sqrt{3}\); a mesma ideia de média aparece na calculadora de Média Quadrática (RMS).
Vetores paralelos. Se os dois vetores são paralelos (ângulo de 0° ou 180°), a projeção é igual ao próprio \(\mathbf{a}\) (a menos do sinal), e a componente perpendicular é o vetor nulo.

Perguntas frequentes

Como calcular a projeção de um vetor 3D à mão?

Primeiro calcule o produto escalar \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) e o quadrado do módulo \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\). Divida o produto escalar por \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) para obter o fator de escala \(k\) e multiplique cada componente de \(\mathbf{b}\) por \(k\). Esse produto \(k\mathbf{b}\) é a projeção vetorial. Subtraia-o de \(\mathbf{a}\) para obter a componente perpendicular.

Qual é a diferença entre projeção escalar e projeção vetorial?

A projeção escalar é um único número com sinal: \((\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/\lvert\mathbf{b}\rvert\), o comprimento da sombra ao longo de \(\mathbf{b}\) (negativo se o ângulo passar de 90°). A projeção vetorial é um vetor 3D completo \(k\mathbf{b}\) apontando na direção de \(\mathbf{b}\) com exatamente esse comprimento. Elas se relacionam por \(\lvert\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert = \lvert\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert\).

Uma projeção pode ser negativa ou zero?

Sim. A projeção vetorial é negativa (um múltiplo negativo de \(\mathbf{b}\)) quando o ângulo entre os vetores é maior que 90°, ou seja, \(\mathbf{a}\) aponta parcialmente contra \(\mathbf{b}\). Ela é o vetor nulo quando os vetores são perpendiculares, pois nesse caso o produto escalar é 0. Um resultado negativo é válido — não é um erro, então não descarte o sinal.

Por que projetar a sobre b dá um resultado diferente de b sobre a?

As duas operações respondem a perguntas diferentes. Projetar \(\mathbf{a}\) sobre \(\mathbf{b}\) mede até onde \(\mathbf{a}\) alcança ao longo da reta de \(\mathbf{b}\), e o resultado sempre fica sobre \(\mathbf{b}\). Trocar os papéis gera um vetor na direção de \(\mathbf{a}\). Somente quando os vetores são paralelos (ou um é múltiplo do outro) as duas projeções coincidem, por isso confira sempre qual direção você selecionou.

O que acontece se o vetor de direção for o vetor nulo?

A fórmula divide por \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\), que é 0 no caso do vetor nulo, então a projeção fica indefinida — um vetor nulo não tem direção sobre a qual projetar. A calculadora detecta isso e pede que você digite um vetor de direção não nulo. O vetor que está sendo projetado pode ser qualquer um, mas os dois vetores precisam ter ao menos uma componente não nula para que o ângulo também fique definido.

Como a projeção vetorial é usada na física e em outras áreas?

Na física, ela decompõe forças e velocidades em componentes ao longo de um eixo — por exemplo, separando a gravidade em partes paralela e perpendicular a um plano inclinado. Na computação gráfica, projeta objetos sobre direções de visualização, e na estatística a mesma matemática está por trás da regressão por mínimos quadrados, em que os dados são projetados sobre um modelo. A decomposição em partes paralela e perpendicular também é a etapa-chave do processo de ortogonalização de Gram–Schmidt.

A projeção muda se eu escalar o vetor de direção?

Não. Multiplicar \(\mathbf{b}\) por qualquer constante não nula deixa a projeção vetorial inalterada, porque o produto escalar e \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) escalam juntos e se cancelam. Só a direção de \(\mathbf{b}\) importa, não o seu comprimento. A projeção escalar, porém, muda de sinal se você inverter \(\mathbf{b}\) (multiplicar por uma constante negativa), pois ela é sinalizada em relação à orientação de \(\mathbf{b}\).