Calculadora de Triângulo Retângulo
Resolva um triângulo retângulo a partir de duas medidas conhecidas, incluindo pelo menos um lado. Informe os comprimentos dos lados, um ângulo agudo, a área ou o perímetro para encontrar as demais medidas.
Resolva um triângulo retângulo a partir de duas medidas
Fórmula do triângulo retângulo
Onde:
- \(a\) e \(b\) — os catetos, opostos aos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\), respectivamente
- \(c\) — a hipotenusa, oposta ao ângulo reto
- \(A\) — área; \(P\) — perímetro
- \(h\) — altura relativa à hipotenusa, lançada a partir do vértice do ângulo reto
- \(r\) — raio do círculo inscrito; \(R\) — raio do círculo circunscrito
As medidas dos lados e dos ângulos agudos são determinadas pelo teorema de Pitágoras e pela trigonometria. Uma vez resolvido o triângulo, seus lados também determinam a área, o perímetro, a altura e os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Triângulo retângulo – Exemplo de cálculo
Exemplo: os valores padrão são Cateto a = 3 e Cateto b = 4. Encontre as demais medidas.
\[c=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\approx36.8699^\circ,\qquad \beta\approx53.1301^\circ\]
\[A=\frac{3\cdot4}{2}=6,\qquad P=3+4+5=12\]
\[h=\frac{3\cdot4}{5}=2.4,\qquad r=\frac{3\cdot4}{12}=1,\qquad R=\frac{5}{2}=2.5\]
Resultado: os lados medem 3, 4 e 5 unidades; os ângulos agudos são de aproximadamente 36,8699° e 53,1301°. A área é de 6 unidades quadradas e o perímetro, de 12 unidades.
Como usar a calculadora
- Informe duas medidas conhecidas, incluindo pelo menos um lado. Os campos de lados são Cateto a, Cateto b e Hipotenusa c. O cateto a é oposto ao ângulo α; o cateto b, ao ângulo β.
- Para calcular com um lado e um ângulo, informe um lado e o Ângulo α ou o Ângulo β em graus. Outra opção é combinar um lado com a Área ou o Perímetro. Informe todos os comprimentos na mesma unidade e a área na unidade quadrada correspondente.
- Apague os valores padrão em Cateto a e Cateto b se não fizerem parte das medidas que você conhece. Deixe em branco os campos que não quiser usar.
- Consulte Triângulo resolvido para ver os lados, os ângulos em graus e radianos, a área, o perímetro, a altura relativa à hipotenusa e os raios dos círculos inscrito e circunscrito. Veja em Medidas utilizadas quais dados de entrada determinaram o resultado.
O que o triângulo resolvido mostra
Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90°. Os dois catetos se encontram nesse ângulo, e a hipotenusa é o lado oposto a ele. Os ângulos agudos α e β somam 90°. Conhecendo-se duas medidas adequadas, das quais pelo menos uma seja um lado, geralmente ficam determinados tanto a forma quanto o tamanho do triângulo. Dois ângulos sozinhos definem a forma, mas não permitem calcular os comprimentos dos lados.
A hipotenusa pode ser encontrada a partir dos dois catetos com \(a^2+b^2=c^2\). Se um cateto e um ângulo agudo são conhecidos, as razões trigonométricas os relacionam aos demais lados. Por exemplo, \(\tan\alpha=a/b\) e \(\sin\alpha=a/c\). Para um cálculo focado nessas relações, consulte a Calculadora de Teorema de Pitágoras ou a Calculadora de Trigonometria.
A área é metade do produto dos catetos, pois eles funcionam como base e altura perpendiculares entre si. Já a altura relativa à hipotenusa é uma altura diferente: ela vai do vértice do ângulo reto até a hipotenusa. O raio do círculo inscrito é o raio da circunferência que tangencia os três lados; o raio do círculo circunscrito é o da circunferência que passa pelos três vértices. Em um triângulo retângulo, o raio do círculo circunscrito é sempre a metade da hipotenusa. Se você precisar apenas da área a partir de outro conjunto de medidas, use a Calculadora de Área de Triângulo.
Regras de entrada e limites práticos
Informe medidas positivas e finitas. Cada ângulo agudo deve ser maior que 0° e menor que 90°, e a hipotenusa deve ser mais longa que qualquer cateto conhecido. Um lado combinado com a área ou o perímetro também precisa corresponder a um triângulo retângulo possível; quando não corresponde, a calculadora exibe um erro.
A calculadora usa apenas dois valores informados. Ela considera os dois primeiros lados disponíveis na ordem Cateto a, Cateto b, Hipotenusa c. Se apenas um lado for informado, ele é combinado com o primeiro valor disponível nesta ordem: Ângulo α, Ângulo β, Área, Perímetro. Os demais campos são ignorados, e não há verificação de consistência entre eles, portanto limpe os campos que não quiser usar e confira Medidas utilizadas.
Uma hipotenusa combinada com a área ou o perímetro pode admitir duas nomeações da mesma figura: trocando os catetos a e b, trocam-se também os ângulos α e β. O resultado e o desenho em escala mostram a nomeação com \(a\leq b\); uma observação em Medidas utilizadas indica quando a nomeação trocada também é possível. O desenho está em escala para mostrar as proporções, não para servir de medida física no tamanho da tela.
Perguntas frequentes
Como encontro um cateto faltante sabendo a hipotenusa e o outro cateto?
Subtraia o quadrado do cateto conhecido do quadrado da hipotenusa e extraia a raiz quadrada. Para uma hipotenusa de 13 e um cateto de 5, o cateto faltante é \(\sqrt{13^2-5^2}=12\). Se o cateto conhecido tiver o mesmo comprimento da hipotenusa ou for maior, essas medidas não formam um triângulo retângulo.
Como resolver um triângulo retângulo à mão com um lado e um ângulo?
Escolha uma razão trigonométrica de acordo com a posição do lado conhecido em relação ao ângulo. Por exemplo, se a hipotenusa mede 10 e um ângulo agudo é de 30°, o cateto oposto é \(10\sin 30^\circ=5\) e o cateto adjacente é \(10\cos 30^\circ\approx8.66\). Configure a calculadora em modo degraus ao trabalhar com ângulos em graus.
Como verifico se três lados medidos formam um triângulo retângulo?
Identifique o maior lado e compare o seu quadrado com a soma dos quadrados dos outros dois. Os comprimentos 6, 8 e 10 passam no teste porque \(6^2+8^2=10^2\). Medições do mundo real podem apresentar pequenas diferenças por causa de arredondamento ou erro de medição, de modo que uma coincidência aproximada não comprova um ângulo reto exato.
O que é especial no triângulo retângulo 45-45-90?
Seus dois catetos são iguais, logo cada ângulo agudo mede 45° e a hipotenusa é \(\sqrt{2}\) vezes qualquer cateto. Para catetos de comprimento 7, a hipotenusa é \(7\sqrt{2}\approx9.90\). Esse também é o triângulo retângulo de maior área possível para uma hipotenusa fixa; alongar um cateto em relação ao outro reduz a área.
Posso usar centímetros em um lado e metros em outro?
Converta todos os comprimentos para a mesma unidade antes de calcular. Por exemplo, 50 cm e 1 m devem ser informados como 50 cm e 100 cm, ou como 0,5 m e 1 m. A área usa o quadrado dessa unidade: \(10{,}000\text{ cm}^2=1\text{ m}^2\). Os ângulos são informados em graus; para converter radianos em graus, multiplique por \(180/\pi\).
Por que um triângulo com um ângulo muito pequeno pode dar um resultado inesperado?
Um ângulo agudo muito pequeno gera um triângulo fino, no qual um cateto pode ser minúsculo em relação ao outro. Pequenas variações de arredondamento no ângulo ou em um lado podem, então, alterar visivelmente o cateto minúsculo. Use as medidas mais precisas de que disponha e evite arredondar cálculos intermediários. Um ângulo exatamente igual a 0° ou 90° não produz um triângulo retângulo não degenerado.
Existe um limite para a área se eu conheço apenas a hipotenusa?
Sim. Para uma hipotenusa de comprimento \(c\), a área não pode exceder \(c^2/4\). A igualdade ocorre quando os catetos são iguais. Por exemplo, uma hipotenusa de 10 permite uma área de no máximo 25 unidades quadradas. Uma área positiva menor determina os comprimentos dos catetos, embora qualquer um deles possa receber o rótulo \(a\).