Çokgen iç açıları hesaplama aracı
Kenar sayısını girerek herhangi bir çokgenin iç açıları toplamını bulun. Düzgün çokgenlerde her bir iç açı ve dış açı da adım adım gösterilir.
Çokgenin iç açılar toplamını bulun
Çokgen iç açıları formülü
Burada:
- \(n\) — çokgenin kenar sayısı (\(n \ge 3\))
- \(\Sigma\alpha\) — tüm iç açıların toplamı (derece)
- \(\alpha\) — düzgün çokgenin her bir iç açısı (derece)
- \(\beta\) — düzgün çokgenin her bir dış açısı (derece)
İlk formül, düzgün olsun ya da olmasın, herhangi bir çokgenin tüm iç açılarının toplamını yalnızca kenar sayısına bakarak verir. Diğer iki formül ise tüm açıları eşit olan düzgün çokgenler için geçerlidir; bu durumda toplam, \(n\) açıya eşit olarak paylaştırılır.
Çokgen iç açıları – hesaplama örneği
Örnek: hesaplama aracının varsayılan değeri olan düzgün altıgen; \(n = 6\) eşit kenarı ve eşit açısı vardır.
\[ \Sigma\alpha = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \]
\[ \alpha = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \]
\[ \beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \]
Sonuç: bir altıgenin iç açıları toplamı 720°'dir; düzgün altıgenin her bir iç açısı 120°, her bir dış açısı ise 60°'dir. Dikkat ederseniz \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\) — iç ve dış açı çifti için her zaman böyledir.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
- Kenar sayısını (n) girin — 3'ten büyük herhangi bir tam sayı olabilir; örneğin altıgen için 6.
- Tüm kenarlar ve açılar eşitse Düzgün çokgen kutucuğunu işaretli bırakın; düzgün olmayan çokgen için işareti kaldırın.
- İç açıların toplamını derece cinsinden okuyun — bu değer, o kenar sayısına sahip her çokgen için geçerlidir.
- "Düzgün çokgen" işaretliyken ayrıca Her bir iç açı ve Her bir dış açı değerlerini de okuyun.
- Hesaplama adımlarını kontrol ederek işlemlerin tümünü görün; çokgen 12 kenardan azsa kenar sayısına göre adı da gösterilir.
Çokgenin iç açısı nedir?
İç açı, çokgenin bir köşesinde, orada buluşan iki kenar arasında oluşan ve çokgenin içinde kalan açıdır. \(n\) kenarlı her çokgenin tam olarak \(n\) iç açısı vardır — üçgenin 3, altıgenin 6 iç açısı vardır ve böyle gider.
Önemli nokta şudur: bu açıların toplamı yalnızca kenar sayısına bağlıdır, çokgenin şekline değil. İnce bir kılıf üçgen de olsa kusursuz bir eşkenar üçgen de, bir üçgenin açıları her zaman 180° toplamına ulaşır. Her ek kenar toplama 180° daha ekler: üçgende 180°, dörtgende 360°, beşgende 540°, altıgende 720°. \((n - 2) \cdot 180^\circ\) formülünün kodladığı şey tam olarak budur — bir çokgen \(n - 2\) üçgene bölünebilir ve her üçgen 180° katkısında bulunur.
Düzgün olmayan bir çokgende yalnızca toplam sabittir; tek tek açılar, toplama ulaştığı sürece her şey olabilir. Düzgün çokgende — eşit kenarlar ve eşit açılar — her açı basitçe toplamın \(n\)'e bölümüdür ve her dış açı \(360^\circ / n\)'dir; çünkü dış açılar, çokgenin çevresinde tam bir turu tamamlamak zorundadır.
Bu sonuç geometri ödevlerinde, döşeme ve tasarım işlerinde ve inşaatta işe yarar. Örneğin düzgün altıgenin her iç açısının 120° olduğunu bilmek, üç altıgenin bir noktanın çevresinde neden kusursuz birleştiğini (3 × 120° = 360°) açıklar; bal peteği desenlerinin de temeli budur.
Varsayımlar, sınırlamalar ve ipuçları
- Konveks çokgenler: formüller basit (kendini kesmeyen) bir çokgen varsayar. Konkav (konveks olmayan) çokgenlerde toplam formülü yine geçerlidir, ancak bir ya da birkaç iç açı 180°'yi aşar.
- Kendini kesen çokgenler (tek bir yol gibi çizilen beş köşeli yıldız gibi) bu formüllere uymaz.
- Yalnızca tam sayılar: bir çokgenin kenar sayısı kesirli olamayacağından araç en az 3 olan bir tam sayı ister.
- Dış açılar: gösterilen dış açı düzgün çokgen içindir. Herhangi bir konveks çokgende dış açıların toplamı yine 360°'dir, ancak çokgen düzgün değilse açılar tek tek farklıdır.
- Büyük değerler: \(n\) büyüdükçe düzgün çokgenin her iç açısı 180°'ye, her dış açısı 0°'ya yaklaşır — çok kenarlı bir düzgün çokgen neredeyse bir daireye benzer.
İşinize yarayabilecek ilgili bir bilgi: \(n\) kenarlı bir çokgenin köşegen sayısı \(\frac{n(n-3)}{2}\)'dir; bu, \(n\) köşe arasından 2 köşe seçmekten gelir — bu tür sayma hesaplarını Binom Katsayısı hesaplama aracımızla inceleyebilirsiniz. Sayı desenleriyle ilgili araçları seviyorsanız Büyülü Kare oluşturucumuzu da deneyin.
Sıkça Sorulan Sorular
Hesaplama aracı olmadan iç açıların toplamını nasıl bulurum?
Kenar sayısından 2 çıkarın ve 180° ile çarpın. Sekizgen için: \((8 - 2) \cdot 180° = 1080°\). Bu püf noktası şöyle çalışır: \(n\) kenarlı herhangi bir çokgen, bir köşeden çizilen doğru parçalarıyla \(n - 2\) üçgene bölünebilir ve her üçgen 180° katkısında bulunur. Düzgün çokgende her açıyı tek tek bulmak için toplamı \(n\)'e bölün: \(1080° / 8 = 135°\).
Düzgün çokgenin açıları radyan cinsinden kaçtır?
Formüllerin dönüşümü kolaydır: 180° yerine \(\pi\), 360° yerine \(2\pi\) yazın. Toplam \((n - 2)\pi\) radyan olur; düzgün çokgenin her iç açısı \(\frac{(n-2)\pi}{n}\), her dış açısı \(\frac{2\pi}{n}\) radyandır. Sonucu elle çevirmek için dereceyi \(\pi / 180\) ile çarpın. Örneğin 120°, \(2\pi/3 \approx 2.094\) radyandır.
Düzgün olmayan çokgende bilinmeyen bir iç açıyı nasıl bulurum?
Önce kenar sayısından sabit toplamı hesaplayın: \((n - 2) \cdot 180°\). Sonra bu toplamdan bilinen tüm açıları çıkarın — kalan, aradığınız açıdır. Örneğin açıları 90°, 85° ve 100° olan bir dörtgenin dördüncü açısı \(360° - 275° = 85°\)'dir. Bu yöntem konveks çokgenlerde ve konkav çokgenlerde de geçerlidir; konkav durumda bilinmeyen açı 180°'yi aşabilir (refleks açı).
Bir iç açı 180°'den büyük olabilir mi?
Evet, konkav bir çokgende olabilir. "Çöküntü" köşesinde iç açı refleks olur — 180°'den büyük, 360°'den küçük. Önemli olan, toplam formülünün yine geçerli olmasıdır: konkav bir dörtgenin açıları yine 360° toplamına ulaşır, yalnızca hepsi 180°'nin altında değildir. Formül yalnızca kendini kesen şekillerde — tek yol olarak çizilen beş köşeli yıldız gibi — geçersizdir; bunlar farklı kurallara uyar.
Herhangi bir çokgenin dış açıları neden toplamda 360° eder?
Çokgenin çevresinde bir kez dolaşıp başlangıç yönünüze döndüğünüzde, toplamda tam 360° dönüş yapmış olursunuz. Her dönüş, o köşedeki dış açıya eşittir; bu yüzden dış açılar — eşit olsun ya da olmasın — herhangi bir konveks çokgende toplamda 360° etmek zorundadır. Düzgün çokgende her dönüş aynı olduğundan her dış açı basitçe \(360° / n\)'dir ve her zaman iç açısıyla birlikte 180° oluşturur.
İç açı sorularında en sık yapılan hata nedir?
Başlıca hatalar şunlardır: toplam formülünde \(n - 2\) yerine \(n - 1\) veya \(n\) kullanmak; her açıyı bulurken toplamı yanlış sayıya bölmek; ve düzgün çokgen formülü \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\)'yi açıları farklı olan düzgün olmayan bir çokgene uygulamak. Ayrıca bir çokgenin en az 3 kenarı olması gerektiğini unutmayın — 2 kenarlı bir çokgen diye bir şey yoktur.
Yalnızca bir iç açı biliyorsam çokgenin kaç kenarı olduğunu nasıl bulurum?
Düzgün çokgen için iç açıyı \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\)'ye eşitleyip denklemi çözün: \(n = \frac{180°}{180° - \alpha}\). Örneğin iç açı 150° ise \(n = 180/30 = 12\) çıkar; bu bir on ikigendir. Hızlı bir sağlama: düzgün çokgenin iç açısı kesinlikle 60° (üçgen) ile 180° arasında olmalı ve \(n\) tam sayı olarak çıkmalıdır.