Çokgen iç açıları hesaplama aracı
Herhangi bir çokgenin iç açılarının toplamını bulmak için kenar sayısını girin. Düzgün çokgende her bir iç açıyı ve dış açıyı da, çözüm adımlarıyla birlikte öğrenebilirsiniz.
Çokgenin iç açılar toplamını bulun
Çokgen iç açıları formülü
Burada:
- \(n\) — çokgenin kenar sayısı (\(n \ge 3\))
- \(\Sigma\alpha\) — bütün iç açıların toplamı (derece)
- \(\alpha\) — düzgün çokgenin bir iç açısı (derece)
- \(\beta\) — düzgün çokgenin bir dış açısı (derece)
İlk formül, çokgen düzgün olsun ya da olmasın, iç açıların toplamını yalnızca kenar sayısına bakarak verir. Diğer iki formülse bütün açıları eşit olan düzgün çokgenler içindir; bu durumda toplam, \(n\) açıya eşit olarak paylaştırılır.
Çokgen iç açıları – hesaplama örneği
Örnek: düzgün altıgen (hesaplayıcının varsayılan değeri); \(n = 6\) eşit kenarı ve eşit açısı vardır.
\[ \Sigma\alpha = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \]
\[ \alpha = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \]
\[ \beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \]
Sonuç: bir altıgenin iç açılarının toplamı 720°'dir; düzgün altıgende her iç açı 120°, her dış açı 60°'dir. Bir iç açıyla dış açısının toplamının, her zaman olduğu gibi, \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\) ettiğine dikkat edin.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
- Kenar sayısını (n) girin — 3 ve üzeri herhangi bir tam sayı; örneğin altıgen için 6.
- Bütün kenarlar ve açılar eşitse Düzgün çokgen kutucuğunu işaretli bırakın; düzgün olmayan çokgenler için işareti kaldırın.
- İç açıların toplamını derece cinsinden okuyun — bu değer, o kenar sayısına sahip her çokgen için geçerlidir.
- "Düzgün çokgen" işaretliyken ayrıca bir iç açı ve bir dış açı değerlerini de okuyun.
- Hesaplama adımlarını inceleyerek işlemin nasıl yapıldığını görün; çokgen 12 ya da daha az kenarlıysa adı da yazılır.
Çokgenin iç açısı nedir?
İç açı, çokgenin bir köşesinde, orada buluşan iki kenar arasında kalan ve çokgenin içine bakan açıdır. \(n\) kenarlı her çokgenin tam \(n\) iç açısı vardır: üçgenin 3, altıgenin 6 iç açısı vardır ve bu böyle sürer gider.
Önemli nokta, bu açıların toplamının yalnızca kenar sayısına bağlı olması, çokgenin biçimine değil. İnce uzun bir dilim de tam bir eşkenar üçgen de olsa, bir üçgenin açıları her zaman 180° eder. Her yeni kenar toplama 180° daha ekler: üçgende 180°, dörtgende 360°, beşgende 540°, altıgende 720°. \((n - 2) \cdot 180^\circ\) formülünün anlattığı şey tam olarak budur: bir çokgen \(n - 2\) üçgene bölünebilir ve her üçgen 180° katkı verir.
Düzgün olmayan bir çokgende yalnızca toplam sabittir; tek tek açılar, toplamı tutturduğu sürece her şey olabilir. Düzgün çokgende — eşit kenar, eşit açı — her açı toplamın \(n\)'e bölümü, her dış açı da \(360^\circ / n\)'dir; çünkü dış açılar, çokgenin çevresinde tam bir turu tamamlamak zorundadır.
Sonuç, geometri ödevlerinde, döşeme ve tasarım işlerinde ve inşaatta işe yarar. Örneğin düzgün altıgende her iç açının 120° olduğunu bilmek, üç altıgenin bir noktanın çevresinde nasıl kusursuzca birleştiğini (3 × 120° = 360°) açıklar; petek desenlarının temeli de budur.
Varsayımlar, sınırlamalar ve ipuçları
- Konveks çokgenler: formüller basit bir çokgen varsayar. Konkav (konveks olmayan) çokgenlerde toplam formülü yine geçerlidir; ancak bir ya da birden fazla iç açı 180°'yi aşar.
- Kendiyle kesişen çokgenler (tek bir yol olarak çizilen beş köşeli yıldız gibi) bu formüllere uymaz.
- Yalnızca tam sayılar: bir çokgenin kenar sayısı kesirli olamayacağından hesaplayıcı, en az 3 olan bir tam sayı ister.
- Dış açılar: gösterilen dış açı düzgün çokgen içindir. Herhangi bir konveks çokgende dış açıların toplamı yine 360°'dir; ancak çokgen düzgün değilse açılar tek tek farklıdır.
- Büyük değerler: \(n\) büyüdükçe düzgün çokgenin her iç açısı 180°'ye, her dış açısı 0°'ye yaklaşır — çok kenarlı bir düzgün çokgen neredeyse bir daire gibi görünür.
İşinize yarayacak ilgili bir bilgi: \(n\) kenarlı bir çokgenin köşegen sayısı \(\frac{n(n-3)}{2}\)'dir; bu, \(n\) köşeden 2 tanesini seçmekten gelir — bu tür sayma sorularını Binom katsayısı hesaplayıcımızla inceleyebilirsiniz. Sayı örüntüsü araçlarını seviyorsanız büyülü kare oluşturucumuzu da deneyin.
Sıkça Sorulan Sorular
Hesaplayıcı olmadan iç açıların toplamı nasıl hesaplanır?
Kenar sayısından 2 çıkarın ve 180° ile çarpın. Sekizgen için: \((8 - 2) \cdot 180° = 1080°\). Bu yöntem çalışır, çünkü \(n\) kenarlı herhangi bir çokgen, tek bir köşeden bakıldığında \(n - 2\) üçgene bölünebilir ve her üçgen 180° katkı verir. Düzgün çokgende tek tek açıları bulmak için toplamı \(n\)'e bölün: \(1080° / 8 = 135°\).
Düzgün çokgenin bir açısı radyan cinsinden kaçtır?
Dönüşüm kolaydır: 180° yerine \(\pi\), 360° yerine \(2\pi\) yazın. Toplam \((n - 2)\pi\) radyan olur; düzgün çokgenin her iç açısı \(\frac{(n-2)\pi}{n}\), her dış açısı \(\frac{2\pi}{n}\) radyandır. Bir sonucu elle çevirmek için dereceyi \(\pi / 180\) ile çarpın. Örneğin 120°, \(2\pi/3 \approx 2.094\) radyan eder.
Düzgün olmayan çokgende bilinmeyen bir iç açı nasıl bulunur?
Önce kenar sayısından sabit toplamı hesaplayın: \((n - 2) \cdot 180°\). Sonra bu toplamdan bilinen bütün açıları çıkarın — kalan, aradığınız açıdır. Örneğin bir dörtgenin açıları 90°, 85° ve 100° ise dördüncü açı \(360° - 275° = 85°\)'tir. Bu yöntem konveks çokgenlerde olduğu gibi konkav çokgenlerde de işler; orada bilinmeyen açı 180°'yi aşabilir (refleks açı).
Bir iç açı 180°'den büyük olabilir mi?
Evet, konkav bir çokgende olur. Bir "çöküntü" köşesinde iç açı refleks olur: 180°'den büyük, 360°'den küçük. Önemli olan, toplam formülünün yine geçerli olmasıdır: konkav bir dörtgenin açıları yine 360° eder; yalnızca hepsi 180°'nin altında değildir. Formül yalnızca kendiyle kesişen şekillerde geçersizdir; tek bir yol olarak çizilen beş köşeli yıldız gibi şekiller başka kurallara uyar.
Herhangi bir çokgenin dış açıları neden toplamda 360° eder?
Çokgenin çevresinde bir tur atın; başladığınız yöne geri dönmüş olursunuz, yani toplamda tam 360° dönmüşsünüzdür. Her dönüş, o köşedeki dış açıya eşittir; dolayısıyla dış açılar — eşit olsun ya da olmasın — herhangi bir konveks çokgende toplamda 360° etmek zorundadır. Düzgün çokgende her dönüş aynı olduğundan her dış açı \(360° / n\) olur ve her zaman iç açısıyla birlikte 180°'yi tamamlar.
İç açı sorularında en sık yapılan hata nedir?
Başlıca hatalar şunlardır: toplam formülünde \(n - 2\) yerine \(n - 1\) ya da \(n\) kullanmak; her açıyı bulurken toplamı yanlış sayıya bölmek; ve düzgün çokgen formülü \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\)'yi, tek tek açıları farklı olan düzgün olmayan bir çokgene uygulamak. Bir de çokgenin en az 3 kenarı olması gerektiğini unutmayın: 2 kenarlı bir çokgen diye bir şey yoktur.
Yalnızca bir iç açıyı biliyorsam çokgenin kenar sayısı nasıl bulunur?
Düzgün çokgende her iç açıyı \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\)'ye eşitleyip denklemi çözün: \(n = \frac{180°}{180° - \alpha}\). Örneğin iç açı 150° ise \(n = 180/30 = 12\) bulunur; yani çokgen on iki kenarlıdır. Hızlı bir sağlama: düzgün çokgenin iç açısı kesinlikle 60° (üçgen) ile 180° arasında olmalı ve \(n\) tam sayı olarak çıkmalıdır.