EBOB Hesaplama – En Büyük Ortak Bölen

Q: EKOK'u EBOB'dan hesaplayabilir miyim?

Sıfırdan farklı iki tam sayı için evet: LCM(a,b)=|ab|/GCF(a,b). Elle çalışırken ara sayıyı küçük tutmak için önce bölmeyi yapın, sonra çarpın. Bu formül, toplam EBOB kullanılarak üç veya daha fazla girdinin çarpımına uygulanmamalıdır; genellikle yanlış EKOK verir. Bunun yerine sayıları ikişer ikişer birleştirin.

Güncellendi: 21 Ekim 2026

2–10 tam sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) hesaplayın; ayrıca en küçük ortak katları, asal çarpanlara ayırma sonuçları ve Öklid bölme adımlarını görün. Sayıları virgül veya boşlukla ayırarak girin.

2 ile 10 arası tam sayının en büyük ortak bölenini bulun

EBOB Formülü

Formül

\[\operatorname{GCF}(n_1,\ldots,n_k)=\prod_{p}p^{\min\left(v_p(|n_1|),\ldots,v_p(|n_k|)\right)}\]

Burada:

\(n_1,\ldots,n_k\) — girilen tam sayılardır.
\(p\) — en az bir girdiyi bölen asal sayıdır.
\(v_p(|n_i|)\) — \(|n_i|\) sayısının asal çarpanlara ayrılmış biçiminde \(p\) asalının kuvvetidir; \(p\) sayısı \(|n_i|\) değerini bölmüyorsa 0'dır.

EBOB, yalnızca tüm sayıların paylaştığı asal çarpanları, her birinin en küçük kuvvetiyle içerir. Ortak bir asal yoksa çarpım 1 olur.

EBOB – Hesaplama örneği

Örnek: hesap makinesinin varsayılan tam sayıları olan 48, 180 ve 300'ün EBOB'unu bulalım.

Her sayıyı çarpanlarına ayırın ve ortak asalların her birinden en küçük kuvveti alın:

\[48=2^4\times3,\qquad180=2^2\times3^2\times5,\qquad300=2^2\times3\times5^2\]

\[\operatorname{GCF}(48,180,300)=2^{\min(4,2,2)}\times3^{\min(1,2,1)}=2^2\times3=12\]

İlk çift için Öklid bölmesi şöyle ilerler: \(180=48\times3+36\), \(48=36\times1+12\) ve \(36=12\times3+0\). Bu çiftin EBOB'u 12'dir; 12 ile 300'ün EBOB'u da yine 12 kalır.

Sonuç: EBOB = 12. Hesap makinesi ayrıca EKOK = 3.600 olduğunu ve sayıların aralarında asal olmadığını ("Hayır") bildirir.

Hesap makinesi nasıl kullanılır

Tam sayılar alanına virgül veya boşlukla ayırılmış 2–10 adet sıfırdan farklı tam sayı girin. Örneğin 48, 180, 300 ya da 48 180 300 yazın.
En büyük ortak bölen (EBOB) alanında, tüm girişleri kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıyı görürsünüz.
En küçük ortak kat (EKOK) alanını, tüm girişlerin paylaştığı en küçük pozitif katı kontrol etmek için kullanın. Sayılar aralarında asal mı? sorusu, toplam EBOB 1 olduğunda "Evet" yanıtını verir.
İlk çift için Öklid bölme adımları bölümünde EBOB hesabının nasıl başladığını görebilirsiniz. Diğer sonuçlar, her sayının asal çarpanlara ayrılmış halini ve nihai EBOB'u oluşturan en küçük kuvvetleriyle ortak asalları gösterir.

En büyük ortak bölen ne anlama gelir

En büyük ortak bölen (EBOB), İngilizce literatürde GCD (greatest common divisor) olarak da geçen, verilen tüm tam sayıları kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır. 48, 180 ve 300 için bu sayı 12'dir: her biri 12'ye tam bölünür ve üçünü birden bölen daha büyük bir pozitif tam sayı yoktur. EBOB; kesirleri sadeleştirirken, miktarları artıksız eşit gruplara bölerken ya da ortak bir ölçü birimi belirlerken işe yarar.

Asal çarpanlara ayırma yöntemi sonucu görünür kılar. Bir asal sayı ancak her girdide yer alıyorsa EBOB'a girebilir; kuvveti de aralarındaki en küçük kuvvet olmalıdır. Örnekteki üç sayıda da 2 ve 3 bulunurken, 48'de 5 yoktur. \(2^2\) ve \(3^1\) alınınca sonuç 12 çıkar. Bir sayının çarpanlarını daha ayrıntılı incelemek için Asal Çarpanlara Ayırma Hesap Makinesi'ni kullanın; tek bir çarpanı doğrulamak için Asal Sayı Kontrolü yardımcı olabilir.

Öklid algoritması, önce asal çarpanları bulmaya gerek kalmadan aynı sonuca ulaşır. İlk iki mutlak değerin büyüğünü küçüğe bölün, sonra işlemi bölen ve kalanla sürdürün. Son sıfırdan farklı kalan, o çiftin EBOB'udur. İkiden çok sayı varsa, bu sonuç ile bir sonraki sayının EBOB'u alınarak listede ilerlenir. Hesap makinesi bölme adımlarını yalnızca ilk çift için gösterir; nihai EBOB ise tüm girişleri kapsar.

Toplam EBOB'un 1 olması, sayıların grup halinde aralarında asal olduğu anlamına gelir. Bunun her çiftin aralarında asal olduğu anlamına gelmediğini unutmayın: 6, 10 ve 15'in toplam EBOB'u 1'dir, oysa her çift ortak bir çarpan paylaşır. Aralarında asallık, bir sayıya göre çarpımsal ters hesaplarken de karşınıza çıkar; bu durumda iki tam sayının EBOB'unun 1 olması gerekir.

Girdi sınırları ve yorumlama ipuçları

En az 2, en fazla 10 tam sayı girin. Sıfır, ondalıklı sayı ve kesir kabul edilmez. Her sayının mutlak değeri en fazla 1.000.000.000.000 olabilir.
Negatif işaret kullanılabilir. Hesap makinesi mutlak değerlerle çalıştığından, bir sayının işaretini değiştirmek EBOB'u ya da EKOK'u değiştirmez. Bildirilen iki değer de pozitiftir.
1 veya −1 girdi olarak kabul edilir ve asal çarpanı yoktur. Girdiler arasında yer alırsa toplam EBOB 1 olur.
EBOB'u EKOK ile karıştırmayın. EBOB tüm girişleri böler; EKOK ise tüm girişlere bölünür. Her girdiye uygulanan üst sınırda bile birkaç sayının EKOK'u, tek tek sayılardan çok daha büyük olabilir.

Sıkça Sorulan Sorular

Asal çarpanlara ayırma kullanmadan EBOB'u elle nasıl bulabilirim?

Küçük sayılarda her sayının pozitif çarpanlarını listeleyin ve her listede ortak olan en büyüğü seçin. Örneğin 18 ve 30'un ortak çarpanları 1, 2, 3 ve 6'dır; EBOB'ları bu nedenle 6'dır. Büyük sayılarda çarpan listelemek yorucudur; kalanlı tekrarlı bölme genellikle daha hızlıdır.

EBOB'u kullanarak kesri nasıl sadeleştiririm?

Pay ve paydayı EBOB'larına bölün. Örneğin 42 ile 56'nın EBOB'u 14 olduğundan \(42/56=(42\div14)/(56\div14)=3/4\). Elde edilen pay ile payda 1'den büyük ortak çarpan paylaşmaz; yani kesir en sade halindedir. Negatif işareti bir çarpan gibi görmeyin; kesrin işareti olarak koruyun.

EKOK'u EBOB'dan hesaplayabilir miyim?

Sıfırdan farklı iki tam sayı için evet: \(\operatorname{LCM}(a,b)=|ab|/\operatorname{GCF}(a,b)\). Elle çalışırken ara sayıyı küçük tutmak için önce bölmeyi yapın, sonra çarpın. Bu formül, toplam EBOB kullanılarak üç veya daha fazla girdinin çarpımına uygulanmamalıdır; genellikle yanlış EKOK verir. Bunun yerine sayıları ikişer ikişer birleştirin.

Gruplama probleminde EBOB grup sayısını mı yoksa her grubun büyüklüğünü mü verir?

Neyin eşit olması gerektiğine bağlıdır. 24 kırmızı ve 36 mavi boncuk mümkün olan en çok sayıda özdeş gruba ayrılacaksa EBOB, yani 12, grup sayısıdır. Bu durumda her grupta 2 kıramızı ve 3 mavi boncuk bulunur. Uzunlukları artıksız en uzun eşit parçalara bölmek istiyorsanız EBOB parça uzunluğunu verir.

Sayılardan biri sıfırsa ne olur?

Bu hesap makinesi sıfır kabul etmez; ancak matematikteki genel kural şudur: \(a\ne0\) olduğunda \(\operatorname{GCF}(0,a)=|a|\) — a sayısının her pozitif böleni sıfırı da böler. Sıfır ile sıfırın EBOB'unun en büyük pozitif değeri yoktur; bu nedenle genellikle tanımsız bırakılır. Bu hesap makinesinde sıfırı yalnızca, onu çıkararak da çözmek istediğiniz problemi aynı şekilde temsil ediyorsanız listeden çıkarın.

Ondalık değerler için ortak bir ölçü adımı nasıl bulurum?

Tüm değerleri aynı birime çevirin ve önce tam sayılara ölçeklendirin. Ondalık birincinin onda birine yuvarlandığı 1,2 cm ve 0,8 cm ölçümleri için ikisini de 10 ile çarpın, \(\operatorname{GCF}(12,8)=4\) değerini bulun, sonra 10'a bölün. Bu hassasiyetteki en büyük ortak adım 0,4 cm'dir. Yanıt, ölçümler için seçtiğiniz hassasiyete bağlıdır.

EBOB ne zaman en küçük girdiye eşit olur?

EBOB, en küçük mutlak girdi diğer tüm sayıları tam olarak böldüğünde o girdiye eşittir. Örneğin 8, 24 ve 40'ın EBOB'u 8'dir. Bir girdiyi yinelemek EBOB'u değiştirmez; bu nedenle 8, 8 ve 24'ün EBOB'u da 8'dir. EBOB, en küçük mutlak girdiden asla büyük olamaz.