Kruskal–Wallis Testi Hesaplama Aracı
Üç ya da dört gruba ait gözlemleri girin; bu araç Kruskal–Wallis testini uygular: tüm değerleri birlikte sıralar, eşitlik düzeltilmiş H istatistiğini, serbestlik derecesini, p değerini ve seçtiğiniz anlamlılık düzeyine göre kararı hesaplar.
Üç veya daha fazla grubu sıralara göre karşılaştırın
Kruskal–Wallis Test Formülü
Burada:
- \(k\) — grup sayısı
- \(n_j\) — \(j\). gruptaki gözlem sayısı
- \(N\) — tüm gruplardaki toplam gözlem sayısı, \(N = \sum n_j\)
- \(R_j\) — \(j\). grubun sıra toplamı; tüm \(N\) gözlem en küçükten (1) en büyüğe (\(N\)) doğru birlikte sıralanır ve eşit değerler, kendi sıralarının ortalamasını alır
- \(t\) — eşit değerlerin oluşturduğu her bir kümenin büyüklüğü (\(C\) düzeltme çarpanında kullanılır)
- \(\chi^2_{k-1}\) — \(k-1\) serbestlik dereceli ki-kare dağılımı
\(H\) istatistiği, her grubun ortalama sırasını genel ortalama sıra olan \((N+1)/2\) değeriyle karşılaştırır. Tüm gruplar aynı dağılımdan geliyorsa her grubun ortalama sırası birbirine yakın olur ve \(H\) küçük çıkar; bir grupta daha büyük (ya da daha küçük) değerler birikiyorsa, o grubun ortalama sırası genel ortalamadan uzaklaşır ve \(H\) büyür. Sıfır hipotez altında \(H'\), \(k-1\) serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımını yaklaşık olarak izler; p değeri de buradan gelir.
Kruskal–Wallis Testi – Hesaplama Örneği
Örnek: bir araştırmacı üç tedavi altındaki hasta memnuniyet puanlarını (0–10) karşılaştırıyor. 1. grup: 7; 8; 9; 9; 10. 2. grup: 5; 6; 6; 7; 8. 3. grup: 3; 4; 4; 5; 6; 7. Burada \(k = 3\), \(N = 16\).
16 gözlemin hepsi birlikte sıralandığında (eşit değerler ortalama sıra alır) sıra toplamları \(R_1 = 67.5\), \(R_2 = 41\), \(R_3 = 27.5\) olur.
\[ H = \frac{12}{16 \cdot 17}\left(\frac{67.5^2}{5} + \frac{41^2}{5} + \frac{27.5^2}{6}\right) - 3 \cdot 17 = \frac{12}{272} \cdot 1373.4917 - 51 = 9.5952 \]
Verilerde eşit değerler var (büyüklükleri 2, 2, 3, 3, 2, 2 olan altı eşitlik grubu); bu yüzden \(\sum(t^3 - t) = 72\) ve \(N^3 - N = 4080\) olur:
\[ C = 1 - \frac{72}{4080} = 0.9824, \quad H' = \frac{9.5952}{0.9824} = 9.7674 \]
\(\nu = k - 1 = 2\) serbestlik derecesiyle ki-kare yaklaşımı \(p = 0.0076\) değerini verir.
Sonuç: \(H' = 9.7674\), \(p = 0.0076 \le \alpha = 0.05\) olduğundan sıfır hipotez reddedilir — en az bir tedavi farklı puanlar eğilimindedir. 1. grup en yüksek ortalama sıraya sahiptir (13,5; genel ortalama 8,5), yani genel olarak daha büyük değerler içerir.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
- İlk grubunuzun gözlemlerini 1. grup gözlemleri alanına girin. Sayıları boşluk, satır sonu ya da noktalı virgülle ayırabilirsiniz; ondalıklı virgül (ör. 7,5) kabul edilir.
- 2. grup gözlemleri ve 3. grup gözlemleri alanlarını aynı biçimde doldurun. Tüm gruplar aynı değişkeni aynı ölçek üzerinde ölçmelidir.
- Dördüncü bir grubunuz varsa 4. grup gözlemleri (isteğe bağlı) alanına girin; yalnızca üç grubu karşılaştırıyorsanız boş bırakın. Boş bıraktığınız gruplar hesaplamaya dahil edilmez.
- Anlamlılık düzeyini belirleyin (varsayılan 0,05) — p değerinin bu eşiğin altına düşmesi istatistiksel olarak anlamlı sayılır.
- Hesapla düğmesine basın. Eşitlik düzeltilmiş \(H'\) istatistiğini, düzeltilmemiş \(H\) değerini, serbestlik derecesini, p değerini, seçtiğiniz \(\alpha\) düzeyine göre kararı ve her grubun gözlem sayısı, sıra toplamı, ortalama sırası ile ortanca değerini gösteren bir tabloyu alırsınız.
Kruskal–Wallis testi nedir?
Kruskal–Wallis testi, üç ya da daha fazla bağımsız grubu karşılaştırmak için kullanılan parametrik olmayan bir yöntemdir. Tek yönlü varyans analizinin (ANOVA) t testini genelleştirmesi gibi, bu test de Mann–Whitney U testinin (iki grup durumu) genişletilmiş hâlidir. Grup ortalamalarını karşılaştırmak yerine tüm gözlemleri birleştirir, her değeri sırasıyla değiştirir ve sıraların gruplar arasında dengeli dağılıp dağılmadığını sorgular. Bir grup sistematik olarak en büyük değerleri içeriyorsa, ortalama sırası \((N+1)/2\) genel ortalama sıranın oldukça üstünde yer alır ve \(H\) istatistiği büyür.
Test sıralar üzerinde çalıştığı için, temel alınan dağılımların biçimi hakkında hiçbir varsayım yapmaz. Normallik gerektirmez, çarpık verilere dayanır ve uç değerlere karşı dayanıklıdır — tek bir aşırı değer bir ortalamayı bozabilir, ancak bir sırayı yalnızca sabit miktarda kaydırır. Bu yönüyle, ANOVA varsayımları (yaklaşık normal artıklar, benzer varyanslar) şüpheli olduğunda ya da veriler sıralı puanlar, dereceler veya keyfî bir ölçekteki puanlar olduğunda tek yönlü ANOVA yerine standart seçenektir. Sıra temelli karşılaştırma mantığı, Spearman sıra korelasyonu ile aynıdır.
Sıfır hipotez, tüm grupların aynı dağılımdan geldiğini, yani hiçbir grubun diğerlerinden daha büyük ya da küçük değerler üretme eğiliminde olmadığını söyler. Küçük bir p değeri (\(\alpha\) düzeyine eşit ya da altında), gözlenen sıra farklarının rastgele örnekleme altında beklenme olasılığının düşük olduğu anlamına gelir; bu durumda sıfır hipotezi reddeder ve en az bir grubun farklı olduğu sonucuna varırsınız. Testin neyi söylemediğine dikkat edin: hangi grupların hangilerinden farklı olduğunu. Bunun için Dunn testi gibi bir post-hoc işlem ya da Bonferroni düzeltmesiyle eşiği \(\alpha / (k(k-1)/2)\) olarak ayarlanmış ikili Mann–Whitney U testleri uygulanır. Sonucu nasıl yorumlayacağınızdan emin değilseniz, p değeri hesaplama aracı anlamlılık testinin mantığını daha ayrıntılı açıklar.
Ortanca yorumu dikkat ister. Katı biçimde söylemek gerekirse Kruskal–Wallis testi bütün dağılımları karşılaştırır (bir grubun değerleri diğerininkine baskın olma eğiliminde mi). Ortanca karşılaştırması olarak okunabilmesi, grup dağılımlarının biçim ve yayılımının kabaca benzer olmasına bağlıdır. Araç, her grubun ortancasını ve ortalama sırasını raporlayarak farkların nereden kaynaklandığını görmenizi sağlar; ancak biçimsel sonuç her zaman dağılımlar hakkındadır, tek bir özet istatistik hakkında değil.
Varsayımlar, sınırlamalar ve pratik öneriler
- Bağımsız örneklem. Gruplar birbiriyle ilişkisiz olmalıdır (her grupta farklı bireyler). Eşleştirilmiş ya da tekrarlı ölçüm tasarımlarında Kruskal–Wallis testi uygun değildir — bu durumlarda genellikle Friedman testi kullanılır.
- Gruplar içinde bağımsız gözlemler. Her değer farklı bir bireyden ya da deney biriminden gelmelidir; aynı birimin tekrarlanan ölçümleri etkin örneklem büyüklüğünü şişirir.
- Sıralı ya da sürekli veri. Değerler en azından sıralanabilir olmalıdır. Nominal kategoriler (renkler, kan grupları) bu şekilde test edilemez — kategorik veriler için bunun yerine ki-kare testi kullanın.
- Ki-kare yaklaşımı. p değeri, \(H'\) istatistiğinin \(\chi^2_{k-1}\) dağılımıyla yaklaşıklanmasından gelir. Bu yaklaşım, her grupta en az 5 gözlem olduğunda en iyi çalışır. Daha küçük gruplarda p değerine ihtiyatla yaklaşın; tam (exact) ya da permütasyona dayalı bir yöntem tercih edilir.
- Eşit değerler doğru işlenir. Eşit değerler ortalama sıra alır ve istatistik \(C\) düzeltme çarpanıyla ayarlanır; dolayısıyla ölçek puanlarında sık görüldüğü gibi orta sayıda eşitlik sorun yaratmaz. Araç hem \(H\) hem de düzeltilmiş \(H'\) değerini gösterir ki düzeltmenin büyüklüğünü görebilesiniz.
- Benzer dağılımlar yorumu kolaylaştırır. Grupların biçimleri ya da varyansları belirgin biçimde farklıysa, anlamlı bir \(H'\) tüm dağılımdaki farkı yansıtır; yalnızca konum farkı olduğunu söylemeyebilir.
- Grup büyüklüklerinin eşit olması gerekmez. Formül eşit olmayan \(n_j\) değerlerini hesaba katar; yalnızca çok küçük gruplar ki-kare yaklaşımını zayıflatır.
Sıkça Sorulan Sorular
Kruskal–Wallis H istatistiğini elle nasıl hesaplarım?
Önce tüm gruplardaki N gözlemi birlikte, en küçükten en büyüğe doğru sıralayın ve eşit değerlere sıralarının ortalamasını verin. Her grubun sıralarını toplayarak \(R_j\) değerlerini bulun, sonra \( H = \frac{12}{N(N+1)} \sum \frac{R_j^2}{n_j} - 3(N+1) \) formülünü uygulayın. Eşit değerler varsa H'yı \( C = 1 - \sum(t^3 - t)/(N^3 - N) \) düzeltme çarpanına bölün. p değerini elde etmek için \(H'\) değerini \(k-1\) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıyla karşılaştırın. Elle yaptığınız hesabı aracın ara sonuçlarıyla mutlaka kontrol edin.
Kruskal–Wallis H istatistiği için iyi ya da tipik bir değer var mıdır?
Evrensel bir "iyi" değer yoktur — H, grup sayısına ve toplam örneklem büyüklüğüne bağlıdır. Genel olarak H'nın 0'a yakın olması grupların sıra dağılımlarının çok benzer olduğunu, büyük H değerlerinin ise gerçek farklara işaret ettiğini gösterir. Asıl önemli olan, H'nın serbestlik derecenize karşılık gelen kritik ki-kare değerini aşıp aşmamasıdır: örneğin \(k=3\) grupta (2 sd), 0,05 düzeyindeki kritik değer 5,991'dir; bunun üzerindeki H′ değerleri %5 düzeyinde anlamlıdır. H'yı her zaman p değeriyle birlikte okuyun.
Kruskal–Wallis testi yalnızca iki grupla kullanılabilir mi?
Teknik olarak hesaplanabilir, ancak iki grup durumunda iki taraflı Mann–Whitney U testine matematiksel olarak eşdeğerdir ve alışılmış tercih Mann–Whitney testidir. Bu araç en az üç dolu grup gerektirir. Yalnızca iki grubunuz varsa Mann–Whitney U hesaplama aracını kullanın; koşullar arasında eşleştirilmiş ya da tekrarlı ölçüm veriniz varsa Kruskal–Wallis testi hiç uygun değildir — Friedman testini kullanın.
Kruskal–Wallis sonuçlarını, örneğin bir makalede, nasıl raporlamalıyım?
APA tarzında tipik bir cümle şöyledir: "Kruskal–Wallis testi, üç tedavi arasında memnuniyet açısından istatistiksel olarak anlamlı bir fark göstermiştir, \(H'(2) = 9.77\), \(p = .008\)." Eşitlik düzeltmesi uygulanmış istatistiği, parantez içinde serbestlik derecesini ve tam p değerini yazın. Okuyucular farkların nerede olduğunu görebilsin diye grup büyüklüklerini ve ortancaları (ya da ortalama sıraları) raporlayın; Dunn testi gibi post-hoc karşılaştırmaları ve düzeltilmiş p değerlerini de belirtin.
Kruskal–Wallis testi eşit grup büyüklükleri ya da eşit varyanslar mı varsayar?
Hayır. Formül eşit olmayan \(n_j\) grup büyüklüklerini doğrudan işler; test ham değerler yerine sıralar üzerinde çalıştığı için, ANOVA'nın gerektirdiği biçimde eşit varyans (varyansların homojenliği) varsayımı da gerekmez. Asıl pratik sınırlama ki-kare yaklaşımıdır: bir grupta yaklaşık 5'ten az gözlem varsa yaklaşık bozulur — bu durumda p değerini yaklaşık kabul edin ya da tam/permütasyon yöntemi kullanın. Çok küçük gruplarla yapılmış aşırı dengesiz tasarımlar en riskli kombinasyondur.
H′ değerim neden H'den büyük çıkıyor ve eşitlik düzeltmesi önemli mi?
Eşitlik düzeltmesi, eşit değerler bulunduğunda düzeltme çarpanı C'yi hep 1'in altına düşürür; dolayısıyla C'ye bölmek istatistiği yalnızca büyütebilir: \(H' \ge H\). Bu, eşit değerlerin veriyi daha az bilgilendirici kılması ve düzeltme yapılmazsa H'yı olduğundan küçük göstermesi telafi edilir. 1–5 ya da 0–10 gibi puan ölçeklerinde tipik olan çok sayıda eşitlikte ayarlama p değerini belirgin biçimde değiştirebilir ve sınırda bir sonucu anlamlılık eşiğinin öte yanına taşıyabilir. Araç bu yüzden hem H'yı hem H′yı raporlar ki düzeltmenin büyüklüğünü görebilesiniz.
Kruskal–Wallis testi kullanılırken yapılan yaygın hatalar nelerdir?
En sık görülen hatalar şunlardır: eşleştirilmiş ya da tekrarlı ölçüm verilerinde kullanmak (yerine Friedman testi kullanılmalı); aynı bireylere ait ölçümleri ayrı gruplar olarak girmek; anlamlı bir sonucu her grubun her gruptan farklı olduğunun kanıtı saymak (sonuç yalnızca en az bir grubun farklı olduğunu söyler — Dunn testi gibi post-hoc testler uygulayın); grup dağılımlarının biçimleri belirgin biçimde farklıyken testin ortancaları karşılaştırdığını iddia etmek. Ayrıca tek bir analizde farklı ölçeklerde ölçülmüş değişkenleri karıştırmaktan kaçının; büyük bir p değerinin de dağılımların özdeş olduğunun kanıtı olmadığını unutmayın.