Açıklık Ortasına Tekil Yük Uygulanan Basit Mesnetli Kiriş
Açıklık ortasına tekil yük uygulanan basit mesnetli kirişin mesnet tepkilerini, en büyük eğilme momentini ve orta nokta sehimini hesaplayın. Açıklığı, yükü, Young modülünü ve atalet momentini girin.
Kiriş mesnet tepkileri, eğilme momenti ve sehim
Ortasından Yüklenmiş Basit Mesnetli Kiriş Formülü
Burada:
- \(R\) — her bir mesnetteki mesnet tepkisi (N)
- \(P\) — açıklık ortasına uygulanan tekil yük (N)
- \(L\) — iki mesnet arasındaki açıklık (m)
- \(M_{max}\) — yükün tam altında oluşan en büyük eğilme momenti (N·m)
- \(\delta_{max}\) — açıklık ortasındaki en büyük sehim (m)
- \(E\) — kiriş malzemesinin Young modülü (Pa)
- \(I\) — kesitin atalet momenti (m⁴)
Yük, birbirinin aynı iki mesnetin tam ortasına etki ettiği için simetri onu iki mesnete eşit paylaştırır. Eğilme momenti de sehim de, yükün uygulandığı açıklık ortasında en büyük değere ulaşır.
Ortasından Yüklenmiş Basit Mesnetli Kiriş – Hesaplama Örneği
Örnek: açıklığı 4 m olan bir çelik kirişin ortasına 10 kN'luk tekil yük uygulanıyor. Kirişin Young modülü \(E = 200\) GPa, atalet momenti \(I = 1000\) cm⁴ = \(1 \times 10^{-5}\) m⁴.
\[ R = \frac{P}{2} = \frac{10\,000\ \text{N}}{2} = 5\ \text{kN} \]
\[ M_{max} = \frac{P L}{4} = \frac{10\,000 \times 4}{4} = 10\ \text{kN·m} \]
\[ \delta_{max} = \frac{P L^3}{48 E I} = \frac{10\,000 \times 4^3}{48 \times 200 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-5}} \approx 6.67 \times 10^{-3}\ \text{m} \]
Sonuç: her mesnet 5 kN taşır, en büyük eğilme momenti açıklık ortasında 10 kN·m'dir ve kiriş yükün uygulandığı noktada yaklaşık 6,67 mm (yaklaşık 0,26 inç) sehim yapar.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
- Açıklığı (L) — iki mesnet arasındaki uzaklığı — girin ve birimini seçin (m veya ft).
- Açıklık ortasına uygulanan Tekil yükü (P) girin ve birimini seçin (kN, N veya lbf).
- Malzemenin Young modülünü (E) girin. Çelik için yaklaşık 200 GPa, alüminyum için 69 GPa, ahşap için 11 GPa.
- Kiriş kesitinin eğilme eksenine göre Atalet momentini (I) girin; cm⁴, mm⁴ veya in⁴ cinsinden.
- Sonuçları okuyun: mesnet tepkileri, en büyük eğilme momenti ve açıklık ortasındaki en büyük sehim.
Ortasından yüklenmiş basit mesnetli kiriş nedir?
Basit mesnetli kiriş iki mesnet üzerinde durur: genellikle bir uçta mafsal, diğer uçta makaralı mesnet bulunur. Mesnetler dönmeye karşı koymadığı için kiriş serbestçe eğilir, uçları dönebilir. Bu, yapı ve makine mühendisliğinin en yaygın idealleştirmelerinden biridir: iki duvar arasındaki döşeme kirişlerini, iki rulman arasındaki milleri ve birçok makine ile çerçeve elemanını oldukça iyi modeller.
Tek bir \(P\) tekil yükü tam açıklık ortasına uygulandığında problem simetrik hale gelir. Her mesnet yükün tam olarak yarısını taşır, yani \(R = P/2\). Eğilme momenti mesnetlerdeki sıfırdan doğrusal olarak artar ve yükün tam altında \(M_{max} = PL/4\) tepe değerine ulaşır — kirişte gerilmenin en büyük olduğu, kırılma ya da akmanın başlayacağı nokta burasıdır.
Sehim, açıklıkla kübik bir ilişki izler: \(\delta_{max} = PL^3/(48EI)\). Açıklık iki katına çıkarsa sehim sekiz katına çıkar; uzun açıklıkların rijit tutulmasının neden bu kadar zor olduğu da budur. Eğilme rijitliği adı verilen \(EI\) çarpımı, kirişin eğilmeye karşı direncini ölçer: daha rijit bir malzeme (daha büyük \(E\)) ya da daha derin bir kesit (daha büyük \(I\)) sehim azaltır. Malzeme sertliğiyle ayrıca çalışmak isterseniz Young modülü hesaplayıcısı ilgili malzeme özelliği hesaplarını kapsar.
Sonucu yorumlarken sehimi, uygulamanızın izin verilen sınırıyla karşılaştırın. Birçok yapı yönetmeliği hareketli yük sehimini açıklığın \(L/360\) ya da \(L/240\)'ı ile sınırlar; yukarıdaki 4 m'lik örnek için \(L/360 \approx 11.1\) mm olduğundan 6,67 mm'lik sehim bu sınırın içinde kalır.
Varsayımlar ve sınırlamalar
- Yükün tam açıklık ortasına etkinmesi gerekir. Rastgele bir konumdaki yük için formüller değişir — tepkiler \(R_1 = Pb/L\) ve \(R_2 = Pa/L\) olur.
- Kirişin prizmatik (kesiti sabit), homojen ve doğrusal elastik olduğu varsayılır; sehimler açıklığa kıyasla küçüktür.
- Kirişin öz ağırlığı yok sayılır. Kiriş, uygulanan yüke kıyasla ağırsa ayrı bir analizde yayılı yük olarak eklenmelidir.
- Mesnetler idealdir: yalnızca düşey yük taşırlar; dönme kısıtı veya ankastrelik sağlamazlar.
- Yalnızca düşey yüklenme dikkate alınmıştır; yatay yükler, burulma ve dinamik etkiler bu formüllerin kapsamı dışındadır.
Dinamik durumlarda — örneğin bir yay gibi davranan bir kiriş üzerinde taşınan kütle için — buradaki statik sonuç yalnızca başlangıç noktasıdır. Titreşim analizi için yay-kütle hesaplayıcısına ve yay rezonans frekansı hesaplayıcısına bakın.
Sıkça Sorulan Sorular
Açıklık ortasındaki sehimi elle nasıl hesaplarım?
Yükü açıklığın küpüyle çarpın, ardından eğilme rijitliğinin 48 katına bölün: \(\delta = P L^3 / (48 E I)\). Önce tüm değerleri tutarlı temel birimlere çevirin — newton, metre, paskal ve m⁴. Örneğin \(P = 10\,000\) N, \(L = 4\) m, \(E = 200\times10^9\) Pa ve \(I = 1\times10^{-5}\) m⁴ ile \(10\,000 \times 64 / (48 \times 2\times10^6) \approx 6.67\) mm bulunur. Değeri formüle yerleştirmeden önce \(I\)'nın m⁴ cinsinden olduğunu mutlaka kontrol edin.
Kirişte kabul edilebilir sehim miktarı nedir?
Bu uygulamaya bağlıdır; ancak yaygın yönetmelik sınırları, döşemelerdeki hareketli yükler için (sıva veya kırılgan kaplamaların çatlayabileceği durumlarda) \(L/360\), görünümün daha az önemli olduğu yerlerde \(L/240\)'dır. 5 m'lik açıklıkta \(L/360 \approx 13.9\) mm eder. Makine milleri ve hassas yapılar çoğu zaman çok daha sıkı sınırlar gerektirir. Yönetmelik sınırının içindeki bir sehim, kirişin otomatik olarak güvenli olduğu anlamına gelmez — eğilme gerilmesini ve kesme kuvvetini de malzemenin izin verilen değerleriyle ayrıca kontrol etmelisiniz.
Kirişimin atalet momentini (I) nasıl bulurum?
Genişliği \(b\), yüksekliği \(h\) olan dikdörtgen bir kesit yatay eksen etrafında eğilirken \(I = bh^3/12\) olur. Dolu dairesel kesit için \(I = \pi d^4/64\). Standart çelik, alüminyum veya ahşap profiller için tablolardaki değere bakın. Kirişin gerçekte hangi eksen etrafında eğildiğini kullanın — düşey yüklenen bir kirişte bu, yatay ağırlık merkezli eksendir. Güçlü ve zayıf ekseni karıştırmak en sık yapılan hatalardan biridir ve sehimi bir büyüklük mertebesi kadar saptırabilir.
Hesapladığım sehim neden çok büyük ya da çok küçük çıkıyor?
Neredeyse her zaman neden birim uyuşmazlığıdır. Formül \(I\)'nın m⁴ cinsinden olmasını ister ve çevrim katsayıları hiç affetmez: \(1\ \text{cm}^4 = 10^{-8}\ \text{m}^4\) ve \(1\ \text{mm}^4 = 10^{-12}\ \text{m}^4\). 1000 mm⁴'ü cm⁴ sanarak girmek sehimi 10.000 kat büyük gösterir. Benzer şekilde \(E\) paskal cinsinden olmalıdır — 200 GPa, \(2\times10^{11}\) Pa'dır; \(200\times10^9\) MPa değildir. Bu hesaplayıcı, doğru giriş birimlerini seçtiğinizde çevirimleri kendiliğinden yapar.
Bu hesaplayıcıyı merkez dışındaki bir yük veya iki tekil yük için kullanabilir miyim?
Hayır — bu formüller yalnızca tam açıklık ortasındaki tek bir yük için geçerlidir. Bir mesnetten \(a\) uzaklıkta bulunan merkez dışı bir yük için tepkiler \(R_1 = Pb/L\) ve \(R_2 = Pa/L\) olur ve sehim formülü de değişir. Bununla birlikte süperpozisyon kullanabilirsiniz: simetrik yerleştirilmiş iki eşit yük için her yükün etkisini ayrı ayrı hesaplayıp sehimleri toplayın. Orta noktadaki tek bir yüke kirişin öz ağırlığı da eklenecekse, yayılı yük sehimini \(5wL^4/(384EI)\) tekil yük sonucuna ekleyin.
En büyük momentten eğilme gerilmesini nasıl hesaplarım?
Eğilme formülünü kullanın: \(\sigma = M c / I\); burada \(c\), nötr eksenden en dışta kalan life kadarki mesafedir — simetrik kesitte yüksekliğin yarısı. Örnek kirişte \(M = 10\) kN·m ve \(I = 1\times10^{-5}\) m⁴ ile 200 mm derinlikte bir kesit \(\sigma = 10\,000 \times 0.1 / 10^{-5} = 100\) MPa verir; bu, yapı çeliğinin yaklaşık 250 MPa olan akma dayanımının oldukça altındadır. Gerilmeyi her zaman ayrıca doğrulayın — rijit bir kiriş yine de aşırı gerilmiş olabilir.
Kirişin kendi ağırlığı sonuçları etkiler mi?
Evet, ama çoğu zaman yalnızca az miktarda. Öz ağırlık, \(w\) (N/m) cinsinden düzgün yayılı bir yük gibi davranır; her uca \(wL/2\) tepki, açıklık ortasına \(wL^2/8\) moment ve \(5wL^4/(384EI)\) sehim ekler. Ağırlığı 30 kg/m olan 4 m'lik bir çelik kirişte bu, yalnızca yaklaşık 0,59 kN·m moment ekler — 10 kN'luk tekil yükün yanında küçüktür; ancak ağır beton kirişlerde veya uzun açıklıklı kirişlerde önemlidir. Ayrı ayrı hesaplayıp tekil yük sonuçlarına ekleyin.