Einfeldträger mit Einzellast in Feldmitte
Berechnen Sie die Auflagerkräfte, das maximale Biegemoment und die Durchbiegung in Feldmitte für einen Einfeldträger mit einer Einzellast in der Trägermitte. Geben Sie Stützweite, Last, Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment ein.
Auflagerreaktionen, Biegemoment und Durchbiegung
Formel für den Einfeldträger mit mittiger Einzellast
Dabei ist:
- \(R\) — Auflagerkraft an jedem der beiden Auflager (N)
- \(P\) — Einzellast in Feldmitte (N)
- \(L\) — Stützweite zwischen den beiden Auflagern (m)
- \(M_{max}\) — maximales Biegemoment, das genau unter der Last auftritt (N·m)
- \(\delta_{max}\) — maximale Durchbiegung in Feldmitte (m)
- \(E\) — Elastizitätsmodul des Trägermaterials (Pa)
- \(I\) — Flächenträgheitsmoment des Querschnitts (m⁴)
Da die Last genau in der Mitte zwischen zwei gleichartigen Auflagern angreift, verteilt die Symmetrie sie gleichmäßig auf beide. Biegemoment und Durchbiegung erreichen beide ihr Maximum in Feldmitte — genau dort, wo die Last angreift.
Einfeldträger mit mittiger Einzellast – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Stahlträger mit einer Stützweite von 4 m trägt eine Einzellast von 10 kN in Feldmitte. Der Träger hat einen Elastizitätsmodul von \(E = 200\) GPa und ein Flächenträgheitsmoment von \(I = 1000\) cm⁴ = \(1 \times 10^{-5}\) m⁴.
\[ R = \frac{P}{2} = \frac{10\,000\ \text{N}}{2} = 5\ \text{kN} \]
\[ M_{max} = \frac{P L}{4} = \frac{10\,000 \times 4}{4} = 10\ \text{kN·m} \]
\[ \delta_{max} = \frac{P L^3}{48 E I} = \frac{10\,000 \times 4^3}{48 \times 200 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-5}} \approx 6.67 \times 10^{-3}\ \text{m} \]
Ergebnis: Jedes Auflager trägt 5 kN, das maximale Biegemoment beträgt 10 kN·m in Feldmitte, und der Träger senkt sich an der Lastangriffsstelle um etwa 6,67 mm (rund 0,26 in) durch.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die Stützweite (L) ein — den Abstand zwischen den beiden Auflagern — und wählen Sie die Einheit (m oder ft).
- Geben Sie die in Feldmitte angreifende Einzellast (P) ein und wählen Sie ihre Einheit (kN, N oder lbf).
- Geben Sie den Elastizitätsmodul (E) des Materials ein. Stahl liegt bei etwa 200 GPa, Aluminium bei rund 69 GPa, Holz bei etwa 11 GPa.
- Geben Sie das Flächenträgheitsmoment (I) des Trägerquerschnitts um die Biegeachse ein, in cm⁴, mm⁴ oder in⁴.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Auflagerkräfte, das maximale Biegemoment und die maximale Durchbiegung in Feldmitte.
Was ist ein Einfeldträger mit mittiger Einzellast?
Ein Einfeldträger liegt auf zwei Auflagern auf — üblicherweise ein Festlager an einem Ende und ein Loslager am anderen. Keines der Auflager nimmt ein Moment auf, sodass sich der Träger frei verformen und seine Enden drehen können. Es ist eine der häufigsten Idealierungen im Bau- und Maschinenbau: Sie bildet etwa Deckenbalken auf zwei Wänden, Wellen auf zwei Lagern und viele Maschinen- und Rahmenteile gut ab.
Greift eine einzelne Last \(P\) genau in Feldmitte an, wird das Problem symmetrisch. Jedes Auflager trägt genau die Hälfte der Last, also \(R = P/2\). Das Biegemoment steigt von null an den Auflagern linear an und erreicht seinen Höchstwert \(M_{max} = PL/4\) unmittelbar unter der Last — dort ist die Beanspruchung im Träger am größten, und genau dort würde ein Versagen oder Fließen beginnen.
Die Durchbiegung wächst mit der dritten Potenz der Stützweite: \(\delta_{max} = PL^3/(48EI)\). Verdoppelt man die Stützweite, verachtfacht sich die Durchbiegung — deshalb ist es bei langen Spannweiten so viel schwieriger, ausreichende Steifigkeit zu erreichen. Das Produkt \(EI\), die sogenannte Biegesteifigkeit, beschreibt den Widerstand des Trägers gegen Biegen: Ein steiferes Material (höheres \(E\)) oder ein höherer Querschnitt (größeres \(I\)) senken beide die Durchbiegung. Wenn Sie die Materialsteifigkeit separat betrachten möchten, deckt der Rechner für den Elastizitätsmodul verwandte Materialkennwerte ab.
Bei der Bewertung des Ergebnisses sollten Sie die Durchbiegung mit dem zulässigen Grenzwert Ihrer Anwendung vergleichen. Viele Bauvorschriften begrenzen die Durchbiegung unter Verkehrslast auf \(L/360\) oder \(L/240\) der Stützweite; beim 4-m-Beispiel oben ergibt \(L/360 \approx 11.1\) mm — eine Durchbiegung von 6,67 mm wäre also zulässig.
Annahmen und Grenzen
- Die Last muss exakt in Feldmitte angreifen. Bei einer Last an einer beliebigen Position ändern sich die Formeln — die Auflagerkräfte werden dann zu \(R_1 = Pb/L\), \(R_2 = Pa/L\).
- Der Träger wird als prismatisch (konstanter Querschnitt), homogen und linear-elastisch angenommen — die Durchbiegungen sind klein gegenüber der Stützweite.
- Das Eigengewicht des Trägers bleibt unberücksichtigt. Ist der Träger im Vergleich zur aufgebrachten Last schwer, sollten Sie es in einer separaten Berechnung als Streckenlast ansetzen.
- Die Auflager sind ideal: Sie nehmen nur vertikale Lasten auf und bieten keine drehbehindernde Wirkung oder Einspannung.
- Betrachtet werden ausschließlich vertikale Lasten; Horizontallasten, Torsion und dynamische Effekte sind in diesen Formeln nicht enthalten.
Bei dynamischen Situationen — etwa wenn eine Masse von einem Träger wie von einer Feder getragen wird — ist das statische Ergebnis hier nur der Ausgangspunkt. Für Schwingungsanalysen siehe den Feder-Masse-Rechner und den Rechner für die Feder-Resonanzfrequenz.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Durchbiegung in Feldmitte von Hand?
Multiplizieren Sie die Last mit der dritten Potenz der Stützweite und teilen Sie durch das 48-Fache der Biegesteifigkeit: \(\delta = P L^3 / (48 E I)\). Rechnen Sie zuvor alles auf konsistente Grundeinheiten um — Newton, Meter, Pascal und m⁴. Mit \(P = 10\,000\) N, \(L = 4\) m, \(E = 200\times10^9\) Pa und \(I = 1\times10^{-5}\) m⁴ ergibt sich \(10\,000 \times 64 / (48 \times 2\times10^6) \approx 6.67\) mm. Prüfen Sie immer, ob \(I\) in m⁴ vorliegt, bevor Sie es einsetzen.
Wie groß darf die Durchbiegung eines Trägers sein?
Das hängt von der Anwendung ab, doch übliche Grenzwerte in Bauvorschriften sind \(L/360\) für Verkehrslasten auf Decken (wo Putz oder spröde Oberflächen reißen könnten) und \(L/240\), wo es auf das Erscheinungsbild weniger ankommt. Bei einer Stützweite von 5 m entspricht \(L/360 \approx 13.9\) mm. Maschinenwellen und Präzisionsstrukturen erfordern oft deutlich strengere Grenzwerte. Eine Durchbiegung innerhalb des Grenzwerts bedeutet aber nicht automatisch, dass der Träger sicher ist — Sie müssen zusätzlich Biegespannung und Querkraft gegen die zulässigen Materialwerte prüfen.
Wie ermittel ich das Flächenträgheitsmoment (I) für meinen Träger?
Für einen rechteckigen Querschnitt mit der Breite \(b\) und der Höhe \(h\), der um die horizontale Achse biegt, gilt \(I = bh^3/12\). Für einen vollen Kreisquerschnitt ist \(I = \pi d^4/64\). Für genormte Stahl-, Aluminium- oder Holzprofile finden Sie den tabellierten Wert. Achten Sie auf die Achse, um die der Träger tatsächlich biegt — bei vertikal belasteten Trägern ist das die horizontale Schwerachse. Die Verwechslung von starker und schwacher Achse gehört zu den häufigsten Fehlern und kann die Durchbiegung um eine Größenordnung verfälschen.
Warum ist meine berechnete Durchbiegung viel zu groß oder viel zu klein?
Fast immer steckt ein Einheitenfehler dahinter. Die Formel verlangt \(I\) in m⁴, und die Umrechnungsfaktoren sind gewaltig: \(1\ \text{cm}^4 = 10^{-8}\ \text{m}^4\) und \(1\ \text{mm}^4 = 10^{-12}\ \text{m}^4\). Wer 1000 mm⁴ so eingibt, als wäre es cm⁴, erhält eine um den Faktor 10 000 zu große Durchbiegung. Ebenso muss \(E\) in Pascal vorliegen — 200 GPa sind \(2\times10^{11}\) Pa, nicht \(200\times10^9\) MPa. Dieser Rechner übernimmt die Umrechnungen automatisch, sobald Sie die richtigen Eingabeeinheiten wählen.
Kann ich diesen Rechner für eine Last außerhalb der Mitte oder für zwei Einzellasten verwenden?
Nein — diese Formeln gelten nur für eine einzelne Last genau in Feldmitte. Greift die Last im Abstand \(a\) von einem Auflager an, werden die Auflagerkräfte zu \(R_1 = Pb/L\) und \(R_2 = Pa/L\), und auch die Durchbiegungsformel ändert sich. Sie können jedoch mit dem Superpositionsprinzip arbeiten: Bei zwei symmetrisch angeordneten, gleich großen Lasten berechnen Sie die Wirkung jeder Last einzeln und addieren die Durchbiegungen. Bei einer mittigen Einzellast zusätzlich zum Eigengewicht des Trägers addieren Sie die Durchbiegung aus der Streckenlast \(5wL^4/(384EI)\) zum Ergebnis der Einzellast.
Wie berechne ich aus dem maximalen Moment die Biegespannung?
Mit der Biegeformel \(\sigma = M c / I\), wobei \(c\) der Abstand von der neutralen Faser zur äußersten Randfaser ist — bei einem symmetrischen Querschnitt also die halbe Höhe. Für den Beispielträger mit \(M = 10\) kN·m und \(I = 1\times10^{-5}\) m⁴ ergibt ein 200 mm hoher Querschnitt \(\sigma = 10\,000 \times 0.1 / 10^{-5} = 100\) MPa — deutlich unter der Streckgrenze von Baustahl mit rund 250 MPa. Prüfen Sie die Spannung immer separat: Ein steifer Träger kann trotzdem überbeansprucht sein.
Beeinflusst das Eigengewicht des Trägers die Ergebnisse?
Ja, aber oft nur geringfügig. Das Eigengewicht wirkt als gleichmäßig verteilte Streckenlast \(w\) (N/m); sie erhöht die Auflagerkräfte um \(wL/2\) an jedem Ende, das Feldmoment um \(wL^2/8\) und die Durchbiegung in Feldmitte um \(5wL^4/(384EI)\). Bei einem 4 m langen Stahlträger mit 30 kg/m kommen so nur rund 0,59 kN·m an Moment hinzu — wenig gegenüber einer Einzellast von 10 kN, aber relevant bei schweren Betonträgern oder großen Spannweiten. Werten Sie den Anteil gesondert aus und addieren Sie ihn zu den Ergebnissen der Einzellast.