Калькулятор закону збереження енергії
Цей калькулятор застосовує закон збереження механічної енергії для порівняння двох станів рухомого тіла. Введіть масу, висоту та швидкість у стані 1 і висоту у стані 2, щоб знайти швидкість у стані 2 і переконатися, що повна енергія зберігається.
Обчислити повну механічну енергію
Формула закону збереження енергії
Де:
- \(m\) — маса тіла (кг)
- \(v_1\), \(v_2\) — швидкість тіла у стані 1 та стані 2 (м/с)
- \(h_1\), \(h_2\) — висота тіла у стані 1 та стані 2 (м)
- \(g\) — прискорення вільного падіння (9,81 м/с\(^2\) на Землі)
- \(KE = \tfrac{1}{2}mv^2\) — кінетична енергія (Дж)
- \(PE = mgh\) — гравітаційна потенціальна енергія (Дж)
Це рівняння стверджує, що повна механічна енергія \(E = KE + PE\) залишається сталою, коли тіло рухається без тертя та опору повітря: скільки потенціальної енергії втрачається під час падіння, стільки ж додається кінетичної, і навпаки.
Збереження енергії — приклад обчислення
Приклад: тіло масою 5 кг відпускають з висоти 10 м без початкової швидкості, і воно вільно падає на землю (\(h_2 = 0\)). Знайдемо його швидкість безпосередньо перед ударом об землю.
\[ m = 5\ \text{кг},\quad h_1 = 10\ \text{м},\quad v_1 = 0\ \text{м/с},\quad h_2 = 0\ \text{м},\quad g = 9.81\ \text{м/с}^2 \]
Енергія у стані 1 (вся потенціальна, оскільки \(v_1 = 0\)):
\[ KE_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 0^2 = 0\ \text{Дж},\qquad PE_1 = 5 \cdot 9.81 \cdot 10 = 490.5\ \text{Дж},\qquad E_1 = 490.5\ \text{Дж} \]
Виразимо \(v_2\) з рівняння збереження енергії:
\[ v_2 = \sqrt{\frac{2\,(E_1 - mgh_2)}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot (490.5 - 0)}{5}} = \sqrt{196.2} \approx 14.007\ \text{м/с} \]
Результат: повна енергія в обох станах дорівнює 490,5 Дж, а тіло вдаряється об землю зі швидкістю \(v_2 \approx 14.007\) м/с (близько 50,4 км/год).
Як користуватися калькулятором
- Введіть масу (m) тіла та виберіть одиницю вимірювання (кг або г).
- У розділі Стан 1 заповніть Висоту 1 (h₁) і Швидкість 1 (v₁) з відповідними одиницями (м або см для висоти, м/с або км/год для швидкості). Стан 1 — це початкова точка руху.
- У розділі Стан 2 введіть Висоту 2 (h₂) — точку, яку ви хочете проаналізувати. Ви також можете змінити одиницю вимірювання Швидкості 2 (v₂); її значення обчислює калькулятор, а вибрана одиниця лише визначає, у якому вигляді буде показано відповідь.
- Перевірте прискорення вільного падіння (g). Значення за замовчуванням 9,81 м/с\(^2\) стосується Землі; за потреби змініть його для Місяця (1,62) або іншого небесного тіла.
- Натисніть Обчислити. Калькулятор покаже повну енергію у стані 1, швидкість у стані 2 та повну енергію у стані 2 — два значення енергії мають збігатися, що підтверджує збереження енергії.
Що таке закон збереження енергії?
Закон збереження енергії — один із найфундаментальніших принципів фізики: енергія не може виникати з нічого або зникати безслідно, вона лише перетворюється з однієї форми в іншу. У механіці найважливішими є дві форми: кінетична енергія — енергія руху — та гравітаційна потенціальна енергія, яка залежить від висоти тіла над обраним рівнем відліку. Їхня сума, механічна енергія, залишається сталою, доки енергія не залишає систему.
Тіло, що падає, ілюструє цю ідею ідеально. У верхній точці траєкторії воно рухається повільно і перебуває високо над землею, тож більша частина його енергії — потенціальна. У міру падіння висота зменшується, а швидкість зростає: потенціальна енергія перетворюється на кінетичну з точно такою ж швидкістю. У момент удару об землю вся початкова потенціальна енергія стала кінетичною. Якщо котити кульку вгору похилою площиною, процес відбувається у зворотному напрямку.
Оскільки повна енергія є фіксованою, можна передбачити швидкість на будь-якій висоті, не знаючи деталей траєкторії. М’яч, підкинутий вертикально вгору, шайба, що ковзає вниз по кривій без тертя, і маятник, що коливається, — усі підпорядковуються одному й тому ж рівнянню: швидкість залежить лише від енергетичного балансу, а не від форми траєкторії. Саме тому закон збереження енергії є таким потужним інструментом розв’язування задач: він замінює детальний аналіз сил простим обліком енергії у двох станах.
Інтерпретуючи результат, пам’ятайте, що обидві енергії вимірюються відносно обраного рівня відліку висоти. Калькулятор вважає \(h = 0\) рівнем, на якому потенціальна енергія дорівнює нулю, і значення повної енергії мають зміст лише відносно того самого рівня відліку. У двох станах має збігатися саме сума, а не окремі кінетична чи потенціальна складові.
Припущення та обмеження
- Без тертя та опору повітря. Калькулятор припускає абсолютно консервативну систему. За наявності опору або тертя реальна швидкість у стані 2 буде нижчою за розраховану; для падіння в повітрі скористайтеся калькулятором граничної швидкості.
- Абсолютно тверде тіло, без обертання. Враховується лише поступальна кінетична енергія. Якщо тіло котиться або обертається, частина енергії переходить в обертання — цей випадок охоплює калькулятор кінетичної енергії обертання.
- Стале прискорення вільного падіння. Значення \(g\) вважається однаковим на обох висотах, що є чудовим наближенням поблизу поверхні Землі.
- Рівень відліку висоти довільний. Рівень \(h = 0\) можна обрати де завгодно; на результат впливають лише різниці висот. Використовуйте той самий рівень відліку для обох станів.
- Якщо введені числа передбачають більше енергії у стані 2, ніж у стані 1 (наприклад, більша висота і більша швидкість без підведення енергії), вираз під квадратним коренем стає від’ємним і фізичного розв’язку не існує — перевірте вхідні дані.
Практичні поради
- Для чистої задачі вільного падіння задайте \(v_1 = 0\) і \(h_2 = 0\); відповідь тоді дорівнює класичній швидкості вільного падіння \(v = \sqrt{2gh}\). Калькулятор вільного падіння опрацьовує повний рух у часі.
- Щоб знайти, на яку висоту підніметься підкинуте тіло, уявно задайте \(v_2 = 0\), залишивши у стані 2 нульову швидкість — введіть швидкість кидка у стані 1 і знайдіть висоту, на якій уся енергія є потенціальною.
- Той самий принцип керує коливаннями маятника й американськими гірками; для споріднених задач руху спробуйте калькулятор руху тіла, кинутого під кутом та калькулятор математичного маятника.
- Реальні механізми завжди втрачають частину енергії на тертя та нагрівання. Щоб визначити, скільки корисної енергії зберігається, скористайтеся калькулятором механічного ККД.
Часті запитання
Як застосувати закон збереження енергії вручну?
Запишіть енергетичний баланс \(\tfrac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \tfrac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2\), підставте відомі значення і розв’яжіть рівняння відносно невідомої величини. Для швидкості: \(v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2g(h_1 - h_2)}\). Спочатку обчисліть кожен доданок у джоулях (кінетичну та потенціальну енергію окремо), щоб перевірити обчислення — обидві суми мають збігатися, інакше десь помилка у вхідних даних.
Чому маса скорочується під час вільного падіння?
Якщо тіло починає рух зі стану спокою, маса міститься в обох частинах рівняння енергії та скорочується, даючи \(v = \sqrt{2g\Delta h}\). Перо й молоток, відпущені з однакової висоти у вакуумі, вдаряються об землю з однаковою швидкістю. Маса все ж має значення в цьому калькуляторі для абсолютних значень енергії в джоулях — важче тіло накопичує більше енергії на тій самій висоті та швидкості.
Що означає від’ємне число під квадратним коренем?
Якщо ваші вхідні дані передбачають, що стан 2 потребує більше енергії, ніж стан 1 (більша висота й більша швидкість) без підведення енергії, рівняння не має фізичного розв'язку — такий рух неможливий. Перевірте висоти: класична помилка — плутанина одиниць або переставлені місцями стани. Також переконайтеся, що \(h_1\) і \(h_2\) відлічуються від одного нульового рівня.
Чи важливий рівень відліку висоти (h = 0)?
Ні — на швидкість впливає лише різниця висот. Нуль можна обрати на рівні землі, столу або навіть нижче за тіло; обчислене \(v_2\) буде однаковим. Абсолютні значення енергії в джоулях справді змінюються разом із рівнем відліку — тому дві людини можуть назвати різні значення повної енергії для однієї задачі, і обидві будуть праві.
Яке значення g використовувати для Місяця, Марса чи інших планет?
Земля: \(g \approx 9.81\ \text{м/с}^2\) (9,78 на екваторі, 9,83 на полюсах). Місяць: 1,62. Марс: 3,71. Юпітер: 24,79. Просто замініть значення за замовчуванням у полі прискорення вільного падіння. На Місяці таке саме падіння з 10 м дає лише близько 5,7 м/с замість 14 м/с.
Коли закон збереження механічної енергії не виконується?
Щоразу, коли енергія витікає з механічної форми: тертя, опір повітря, непружні зіткнення чи робота двигуна. Тоді \(KE_2 + PE_2\) буде меншим за \(KE_1 + PE_1\), і реальна швидкість у стані 2 нижча за ідеальне значення калькулятора. Для побутових падінь з висоти меншої за кілька сотень метрів опір повітря дає лише малу похибку для компактних тіл.
Чому швидкість на заданій висоті не залежить від траєкторії?
Тому що гравітаційна сила є консервативною: енергетичний баланс порівнює лише початкову й кінцеву висоти, а не траєкторію між ними. Кулька, що ковзає без тертя по похилій площині, маятник і тіло, яке вільно падає, набувають однакової швидкості на однаковій висоті падіння. Саме це робить енергетичні методи швидшими за аналіз сил уздовж криволінійної траєкторії.