Калькулятор електричного потенціалу точкового заряду
Обчисліть електричний потенціал V на будь-якій відстані від точкового заряду. Введіть заряд джерела Q, відстань r і відносну діелектричну проникність середовища, щоб отримати результат у вольтах та кіловольтах.
Електричний потенціал точкового заряду
Потенціал точкового заряду
Де:
- \(V\) — електричний потенціал у цій точці, у вольтах (В)
- \(k = 8.988 \times 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2\) — стала Кулона
- \(Q\) — заряд джерела, у кулонах (Кл)
- \(\varepsilon_r\) — відносна діелектрична проникність середовища (1 для вакууму або повітря)
- \(r\) — відстань від заряду до точки вимірювання, у метрах (м)
Формула дає потенціал відносно нескінченності (\(V(\infty) = 0\)): це робота на одиницю заряду, яку потрібно виконати, щоб перенести малий додатний пробний заряд з нескінченно далекої точки на відстань \(r\).
Потенціал точкового заряду — приклад обчислення
Приклад: заряд \(Q = 1\ \mu\text{C}\) перебуває в повітрі, і треба знайти потенціал на відстані \(r = 10\ \text{cm}\).
\[ V = \frac{8.988 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6}}{1 \times 0.1} = \frac{8.988 \times 10^3}{0.1} \]
Результат: \(V \approx 89\,876\ \text{V} \approx 89.9\ \text{kV}\).
Як користуватися калькулятором
- Введіть значення заряду джерела (Q) і виберіть одиницю (нКл, мкКл, мКл або Кл). Знак потенціалу збігається зі знаком заряду.
- Введіть відстань (r) від заряду до точки вимірювання та виберіть одиницю (мм, см, м, дюйми або фути).
- За потреби задайте відносну діелектричну проникність (εr) навколишнього середовища — залиште 1 для вакууму або повітря, або вкажіть ≈2,2 для олії, ≈4,7 для скла, ≈80 для води.
- Натисніть «Обчислити». Ви отримаєте потенціал у вольтах (В) та кіловольтах (кВ) разом із покроковим розв’язанням.
Що таке електричний потенціал точкового заряду?
Електричний потенціал \(V\) у точці простору показує, яку електричну потенціальну енергію мав би там заряджений об’єкт у розрахунку на одиницю заряду. Це скалярна величина: на відміну від електричного поля, яке має певний напрямок, потенціал — це просто одне число: додатне поблизу додатних зарядів і від’ємне поблизу від’ємних. Потенціал завжди вимірюють відносно обраного нульового рівня, і для ізольованого точкового заряду за домовленістю приймають \(V = 0\) на нескінченності.
Для точкового заряду потенціал спадає як \(1/r\): подвоєння відстані вдвічі зменшує потенціал. Це повільніше, ніж спад електричного поля, яке зменшується як \(1/r^2\). Оскільки потенціал є скаляром, сумарний потенціал від кількох зарядів у точці — це просто алгебраїчна сума окремих потенціалів, тому працювати з ним значно легше, ніж із векторними полями.
Корисна інтерпретація результату: \(V\) дорівнює роботі на кулон, яку потрібно виконати, щоб перенести малий додатний пробний заряд з нескінченно далекої точки в дану. Якщо калькулятор повертає \(V = 90\ \text{kV}\), то заряд \(+1\ \mu\text{C}\), принесений у цю точку, матиме \(90 \times 10^3 \times 10^{-6} = 0.09\ \text{J}\) електричної потенціальної енергії. Потенціал також визначає електричне поле через \(E = -dV/dr\), тож крутий градієнт потенціалу означає сильне поле.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Припущення про точковий заряд: формула точна для точкового заряду і так само справедлива поза однорідно зарядженою кулею (заряджена провідна куля поводиться так, ніби весь її заряд зосереджений у центрі).
- Нульовий рівень на нескінченності: результати припускають \(V(\infty) = 0\). У колах або поблизу великих заземлених об’єктів виміряні потенціали можуть відрізнятися, бо використовується інший рівень відліку (наприклад, заземлення).
- Однорідне середовище: обчислення припускає, що весь простір навколо заряду заповнений одним однорідним лінійним діелектричним середовищем. Якщо заряд перебуває на межі двох середовищ, проста формула вже не застосовується.
- Відстань має бути додатною: точно в місці розташування точкового заряду потенціал не визначений (він розбігається при \(r \to 0\)), тож відстань має бути більшою за нуль.
- Знак має значення: введіть від’ємний заряд, щоб отримати від’ємний потенціал; модуль результату при цьому не зміниться.
- Діелектричні середовища зменшують потенціал у \(\varepsilon_r\) разів — наприклад, вода знижує потенціал приблизно у 80 разів порівняно з повітрям.
Щоб дослідити векторний аналог цієї величини, скористайтеся калькулятором напруженості електричного поля точкового заряду. Якщо вас цікавлять інша фізика обернених квадратів і енергетика, калькулятор гравітаційної сили та калькулятор кінетичної енергії обертання охоплюють споріднені поняття.
Часті запитання
Як обчислити електричний потенціал точкового заряду вручну?
Помножте заряд на сталу Кулона \(k = 8.988 \times 10^9\) і поділіть на відстань. Наприклад, для \(Q = 2\ \mu\text{C}\) при \(r = 0.5\ \text{m}\) у повітрі: \( V = (8.988 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}) / 0.5 \approx 35\,950\ \text{V}\). Спочатку завжди переводьте заряд у кулони, а відстань — у метри, а якщо середовище не вакуум і не повітря, поділіть результат на відносну діелектричну проникність.
Яке типове або «нормальне» значення електричного потенціалу?
Однакового нормального значення не існує — потенціал повністю залежить від величини заряду і відстані. Побутова статична електрика може сягати тисяч вольтів (заряд 1 мкКл на відстані 10 см дає приблизно 90 кВ), тоді як заряд 1 Кл на відстані 1 м створює близько 9 ГВ. Висока напруга не обов’язково означає небезпеку: важлива й потенціальна енергія \(U = qV\), а малі заряди накопичують дуже мало енергії.
Чи може потенціал бути від’ємним і що означає від’ємний результат?
Так. Знак потенціалу завжди збігається зі знаком заряду джерела: від’ємний заряд створює від’ємний потенціал. Від'ємне значення означає, що додатний пробний заряд мав би в цій точці від’ємну потенціальну енергію — його притягує до неї, а не відштовхує. Цей калькулятор приймає значення заряду за модулем, тож якщо вам потрібен потенціал зі знаком, застосуйте знак заряду до результату вручну.
Чому потенціал спадає як 1/r, а напруженість електричного поля — як 1/r²?
Електричне поле — це від’ємний градієнт потенціалу, \( E = -dV/dr \). Похідна від \( V = kQ/r \) дає \( E = kQ/r^2 \) — закон обернених квадратів. На практиці це означає, що потенціал з відстанню зменшується повільніше: на потрійній відстані потенціал становить третину початкового значення, тоді як поле — лише дев’яту частину.
Як знайти сумарний потенціал від кількох точкових зарядів?
Оскільки потенціал — скаляр, окремі потенціали просто додаються алгебраїчно, без жодних векторних складових. Обчисліть \( V = kQ_i/\varepsilon_r r_i \) для кожного заряду в потрібній точці й складіть результати зі знаками. Наприклад, заряди +2 мкКл і −1 мкКл на однаковій відстані 10 см дають сумарний потенціал \( 179\,752 - 89\,876 \approx 89\,876\ \text{V}\).
Що станеться, якщо ввести відстань нуль або дуже близьку до нуля?
Формула розбігається при \( r \to 0 \): потенціал зростає необмежено, а точно в точці розташування точкового заряду він не визначений. Фізично справжній точковий заряд має нульовий розмір, тож у його місці скінченного потенціалу не існує. Калькулятор вимагає додатної відстані й нуль не прийме. Для реальних заряджених об’єктів скінченного радіуса використовуйте відстань від центра, яка не менша за радіус об’єкта.
Як перевести одиниці заряду або відстані перед обчисленням?
Використовуйте \(1\ \text{nC} = 10^{-9}\ \text{C}\), \(1\ \mu\text{C} = 10^{-6}\ \text{C}\), \(1\ \text{mC} = 10^{-3}\ \text{C}\), а для відстані \(1\ \text{cm} = 0.01\ \text{m}\), \(1\ \text{in} = 0.0254\ \text{m}\), \(1\ \text{ft} = 0.3048\ \text{m}\). Найпоширеніша помилка — забути про перерахунок, через що відповідь відрізняється у 10–1000 разів; швидка перевірка для себе: 1 мкКл на відстані 1 м у повітрі завжди дає приблизно 8988 В.