Калькулятор закону Снелла
Введіть кут падіння та показники заломлення двох середовищ, щоб знайти кут заломлення за законом Снелла. Калькулятор також визначає граничний кут і попереджає, коли відбувається повне внутрішнє відбиття.
Знайдіть кут заломлення за законом Снелліуса
Формула закону Снелла
Де:
- \(n_1\) — показник заломлення першого середовища (того, звідки прийшло світло)
- \(\theta_1\) — кут падіння, виміряний між падаючим променем і нормаллю до поверхні
- \(n_2\) — показник заломлення другого середовища (того, куди входить світло)
- \(\theta_2\) — кут заломлення, виміряний між заломленим променем і нормаллю
Виражаючи кут заломлення, отримуємо \(\theta_2 = \arcsin\!\big(\tfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\big)\). Обидва кути завжди вимірюються від нормалі (лінії, перпендикулярної до поверхні), а не від самої поверхні.
Коли світло переходить з оптично густішого середовища в менш густе (\(n_1 > n_2\)), існує граничний кут:
\[ \theta_c = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \]
Для будь-якого кута падіння, більшого за \(\theta_c\), закон Снелла не має розв’язку, і промінь повністю відбивається назад — це повне внутрішнє відбиття.
Закон Снелла — приклад розрахунку
Приклад: світловий промінь у повітрі падає на пласку поверхню басейну з водою під кутом 40° до нормалі. Повітря має \(n_1 = 1\), вода — \(n_2 = 1.33\). Знайдіть кут заломлення променя всередині води.
\[ \sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 = \frac{1}{1.33} \times \sin 40^\circ = 0.7519 \times 0.6428 = 0.4833 \]
\[ \theta_2 = \arcsin(0.4833) = 28.90^\circ \]
Результат: промінь заломлюється під кутом 28,90° (приблизно 28° 54′, або 0,5044 рад) від нормалі. Оскільки вода оптично густіша за повітря, промінь заломлюється ближче до нормалі — 40° на вході, 28,90° на виході.
Як користуватися калькулятором
- Введіть кут падіння (θ₁) і виберіть його одиницю (градуси або радіани) з розкривного списку. Кут потрібно вимірювати від нормалі до поверхні, між 0° і 90°.
- Введіть показник заломлення середовища 1 (n₁) — середовища, звідки приходить світло (для повітря значення 1 цілком точне).
- Введіть показник заломлення середовища 2 (n₂) — середовища, куди входить світло.
- Зчитайте кут заломлення (θ₂) у градусах, градусах і хвилинах, а також у радіанах.
- Перевірте другий результат щодо граничного кута та повного внутрішнього відбиття: якщо він існує, будь-який кут падіння понад нього призводить до повного внутрішнього відбиття.
Що описує закон Снелла
Закон Снелла (його також називають законом заломлення) описує, як змінює напрямок світло, перетинаючи межу між двома прозорими матеріалами. Світло рухається з різною швидкістю в різних середовищах, і показник заломлення \(n\) це виражає: \(n = c/v\), де \(c\) — швидкість світла у вакуумі, а \(v\) — швидкість у матеріалі. Коли промінь входить у середовище з більшим показником, він сповільнюється та заломлюється ближче до нормалі; входячи в середовище з меншим показником, він прискорюється та заломлюється далі від нормалі.
Закон було відкрито експериментально у 1621 році голландським астрономом Віллебрордом Снелліусом, а пізніше виведено теоретично, найелегантніше — з принципу найменшого часу Ферма: світло рухається шляхом, який мінімізує час проходження між двома точками. Закон Снелла пояснює звичні явища: чому соломинка у склянці з водою здається зламаною, чому басейни видаються мілкими (предмети під водою здаються ближчими до поверхні, ніж є насправді), а також те, як лінзи фокусують світло в окулярах, фотоапаратах і мікроскопах.
Тлумачити результат просто: якщо \(\theta_2 < \theta_1\), промінь увійшов у густіше середовище і заломився ближче до нормалі; якщо \(\theta_2 > \theta_1\), він увійшов у менш густе середовище і заломився далі від нормалі. Зауважте, що промінь, який падає на поверхню прямо (\(\theta_1 = 0\)), проходить крізь неї не заломлюючись, незалежно від показників.
Граничний кут і повне внутрішнє відбиття
Коли світло йде з густішого середовища в менш густе (\(n_1 > n_2\), наприклад, з води в повітря або зі скла в повітря), заломлений промінь відхиляється далі від нормалі. Коли \(\theta_1\) зростає, \(\theta_2\) у певний момент досягає 90° — цей кут падіння і є граничним кутом \(\theta_c\). За його межами заломлений промінь існувати не може: усе світло відбивається назад у перше середовище майже без втрат. Це і є повне внутрішнє відбиття.
Для межі вода–повітря \(\theta_c = \arcsin(1/1.33) \approx 48.75^\circ\); для звичайного скла з повітрям — близько 41,8°. Повне внутрішнє відбиття є принципом дії оптичних волокон, якими передається інтернет-трафік, призмових біноклів і перископів, а також сяйва огранованих діамантів (\(n \approx 2.42\), граничний кут лише 24.4°).
Типові показники заломлення
| Середовище | Показник заломлення (приблизно, видиме світло) |
|---|---|
| Вакуум | 1.0000 |
| Повітря | 1.0003 |
| Лід | 1.31 |
| Вода | 1.33 |
| Етанол | 1.36 |
| Кронглас (кронне скло) | 1.52 |
| Сапфір | 1.77 |
| Діамант | 2.42 |
Припущення та обмеження
- Розрахунок припускає пласку, гладку межу та монохроматичне світло. Реальні матеріали є дисперсними: показник трохи змінюється з довжиною хвилі (синє світло заломлюється сильніше, ніж червоне), саме тому призми розкладають біле світло в спектр.
- Частина світла завжди відбивається на межі навіть за кутів, менших за граничний (зазвичай 4–8% для скла з повітрям за помірних кутів); закон Снелла описує лише напрямок заломленого променя, а не розподіл енергії.
- Кути потрібно вимірювати від нормалі. Типова помилка — введення кута від поверхні: перед введенням відніміть його від 90°.
- Показники заломлення мають бути додатними; введення 0 для будь-якого середовища не має фізичного сенсу і буде відхилено.
- Калькулятор не моделює поглинання, розсіювання або поведінку в анізотропних (двозаломлюючих) матеріалах, як-от кальцит, де єдиний показник заломлення не визначений.
Інші інструменти з фізики дивіться у нашому розв’язувач кінематичних рівнянь або в калькуляторі закону збереження енергії.
Часті запитання
Як обчислити кут заломлення вручну?
Запишіть \( n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \), потім перетворіть на \( \sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1 \). Обчисліть праву частину за таблицею синусів або науковим калькулятором, а потім візьміть арксинус результату. Переконайтеся, що калькулятор у режимі градусів, якщо ваші кути в градусах. Наприклад, з повітря в скло з \(\theta_1 = 30^\circ\): \( \sin\theta_2 = (1/1.52) \times 0.5 \approx 0.329 \), отже \( \theta_2 \approx 19.2^\circ \).
Чи працює закон Снелла у зворотному напрямку, для світла, що йде з води або скла в повітря?
Так. Заломлення є оборотним: якщо промінь заломлюється на певну величину, переходячи із середовища A у середовище B, то промінь, який іде точно протилежним шляхом з B в A, повторює його траєкторію. Просто поміняйте місцями два показники і два кути — рівняння залишається тим самим. Єдина різниця — напрям заломлення та можливість повного внутрішнього відбиття при переході з густішого середовища в менш густе.
Чому калькулятор каже, що для світла, що йде з повітря в скло, граничного кута не існує?
Граничний кут існує лише тоді, коли світло переходить з густішого середовища в менш густе (\( n_1 > n_2 \)), бо тільки тоді кут заломлення може досягти 90° зі зростанням кута падіння. Йдучи з повітря в скло, промінь заломлюється ближче до нормалі, тому кут заломлення ніколи не перевищує кут падіння і ніколи не сягає 90° — повне внутрішнє відбиття в цьому напрямку неможливе.
Що робити, якщо я виміряв кут від поверхні, а не від нормалі?
Перед введенням відніміть його від 90°. Закон Снелла вимагає кутів, виміряних від нормалі — уявної лінії, перпендикулярної до поверхні. Наприклад, промінь, що падає на воду під кутом 50° до поверхні, входить під кутом \( 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \) до нормалі. Це найпоширеніша причина неправильних відповідей у задачах на заломлення; це стосується і результату: він теж відраховується від нормалі.
Чи можна використовувати цей калькулятор для звуку, хвиль на воді чи інших хвиль?
Так, за умови, що кожне середовище можна описати одним показником (відношенням швидкостей хвиль). Закон Снелла застосовується до будь-якої хвилі, що перетинає межу між двома середовищами — звук між повітрям і водою, сейсмічні хвилі між шарами гірських порід або хвилі на воді між ділянками різної глибини. Використовуйте \( n = v_{ref}/v \) для кожного середовища, де \( v \) — швидкість хвилі, і та сама формула застосовується.
Як перетворювати кути між градусами та радіанами?
Помножте градуси на \( \pi/180 \), щоб отримати радіани, і помножте радіани на \( 180/\pi \), щоб отримати градуси. Наприклад, \( 40^\circ = 40 \times 0.01745 \approx 0.6981 \) рад, а \( 1 \) рад \( \approx 57.3^\circ \). Калькулятор приймає будь-яку з цих одиниць для вхідного кута через розкривний список і видає результати в обох, тому ручне перетворення зазвичай не потрібне.
Чи змінюється показник заломлення залежно від кольору світла?
Так, трохи — ця властивість називається дисперсією. У майже всіх матеріалах показник для синього світла вищий, ніж для червоного, саме тому призма розкладає біле світло в спектр. Різниця невелика (кілька відсотків для скла), тому для більшості цілей достатньо одного табличного значення. Якщо потрібна точність, знайдіть показник для вашої конкретної довжини хвилі, наприклад для лінії D натрію (589 нм), яку зазвичай використовують у довідникових таблицях.