Активний тиск ґрунту

Q: Як обчислити активний тиск ґрунту вручну, без калькулятора?

Спочатку знайдіть коефіцієнт: K_a = (1 - sinvarphi)/(1 + sinvarphi) або, що те саме, tan^2(45^circ - varphi/2). Далі обчисліть рівнодійну силу на метр стіни: P_a = tfrac12γ H^2 K_a. Наприклад, при varphi = 35^circ, γ = 18 кН/м³ і H = 4 м: K_a ≈ 0.271 і P_a ≈ 39 кН/м, прикладена на висоті H/3 ≈ 1.33 м над підошвою. Достатньо найпростішого кишенькового калькулятора з функцією синуса.

Q: Яке значення Ka вважається нормальним чи хорошим?

Для типових сипких засипок K_a лежить приблизно між 0,20 і 0,40 . Пухкий пісок при varphi = 30^circ дає 0,33; щільний пісок при varphi = 40^circ — 0,22; гравій при varphi = 45^circ — 0,17. Чим менший Ka, тим менший боковий тиск на стіну — саме тому щільний, вільно дренований сипкий матеріал є найкращою засипкою. Якщо ваш результат перевищує 0,5, імовірно, кут тертя взято надто малим або ґрунт не пасує до теорії Ранкіна.

Q: Чим відрізняються активний тиск, тиск у стані спокою та пасивний тиск?

Вони різняться тим, наскільки зміщується стіна. Активний тиск (цей калькулятор) — мінімальний випадок: стіна трохи відходить від ґрунту, і ґрунт «розслабляється». Тиск у стані спокою (K_0 ≈ 1 - sinvarphi) стосується жорстких стін, що не зміщуються, наприклад стін підвалів, розкріплених перекриттями, і зазвичай на 30–50 % більший за активний. Пасивний тиск — це опір ґрунту, коли його підпирають, наприклад перед заглибленим виступом підошви; K_p = 1/K_a, і він значно більший.

Q: Що станеться, якщо за стіною накопичиться вода?

Тиск води може подвоїти чи потроїти боковий тиск і нерідко саме він стає причиною руйнування. Повний стовп води висотою H додає гідростатичну силу tfrac12γ_w H^2 ≈ 5H^2 кН/м (за γ_w = 9.81 кН/м³), яка діє поверх зменшеного тиску ґрунту (нижче рівня води беріть питому вагу у зваженому стані γ' = γ - γ_w). Саме тому нормативи вимагають дренажного гравію, дренажних отворів або геокомпозитних дренажів за підпорними стінами — проєктуйте завжди й дренаж, а не лише стіну.

Q: Де прикладена рівнодійна сила Pa і чому саме на висоті H/3?

Епюра активного тиску — трикутник : нуль на поверхні й максимум (γ H K_a) біля підошви. Рівнодійна трикутного навантаження проходить через центр ваги, який лежить на одній третині висоти над підошвою (H/3). Ця точка прикладення важлива для перевірки на перекидання: момент перекидання відносно носика підошви становить P_a × H/3. Типова помилка — припустити, що сила прикладена посередині висоти H/2, що занижує момент.

Оновлено: 13.10.2026

Обчисліть активний тиск ґрунту за Ранкіном на підпорну стіну за висотою ґрунту, що утримується, його питомою вагою та кутом тертя. Введіть H, γ і φ, щоб отримати коефіцієнт активного тиску Ka та рівнодійну бокову силу Pa.

Активний тиск ґрунту за Ренкіном на підпірну стіну

Висота ґрунту за стіною (H)

Вертикальна висота ґрунту, що його утримує стіна

Питома вага ґрунту (γ)

Об’ємна вага засипки природної вологості; типові значення: піски 15–20 кН/м³, глини 16–21 кН/м³

Кут внутрішнього тертя (φ)

Ефективний кут тертя засипки; пухкий пісок 28–32°, щільний пісок 35–42°, гравій 35–45°

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Результати розрахунку активного тиску ґрунту

Коефіцієнт активного тиску ґрунтуKₐ

Рівнодійна бічна сила на одиницю довжини стіниPₐ

Формула і примітки

Формула активного тиску ґрунту

Формула

\[ K_a = \frac{1 - \sin\varphi}{1 + \sin\varphi} = \tan^2\!\left(45^\circ - \frac{\varphi}{2}\right) \\ \[ p_z = \gamma \, z \, K_a \\ \[ P_a = \tfrac{1}{2}\,\gamma\,H^2\,K_a \]

Де:

\(K_a\) — коефіцієнт активного тиску ґрунту (безрозмірна величина)
\(\varphi\) — кут внутрішнього (ефективного) тертя ґрунту засипки
\(\gamma\) — питома вага ґрунту засипки
\(H\) — вертикальна висота ґрунту, який утримується за стіною
\(p_z\) — боковий тиск на глибині \(z\) від поверхні ґрунту
\(P_a\) — рівнодійна бокова сила на одиницю довжини стіни

Це класичні формули Ранкіна (1857) для вертикальної гладкої стіни, що утримує незв’язний ґрунт за горизонтальної поверхні засипки. Боковий тиск лінійно зростає з глибиною, тому епюра тиску має вигляд трикутника, а рівнодійна сила \(P_a\) прикладена на висоті \(H/3\) над підошвою стіни.

Активний тиск ґрунту — приклад розрахунку

Приклад: підпорна стіна утримує 3 м сипкої засипки з питомою вагою 18 кН/м³ і кутом тертя 30°.

\[ K_a = \frac{1 - \sin 30^\circ}{1 + \sin 30^\circ} = \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} = 0.3333 \]

\[ P_a = \tfrac{1}{2} \times 18 \times 3^2 \times 0.3333 = 27 \ \text{kN/m} \]

Результат: коефіцієнт активного тиску становить \(K_a = 0.333\), а рівнодійна бокова сила — 27 кН на метр довжини стіни; вона прикладена на висоті \(H/3 = 1\) м над підошвою. Тиск біля підошви стіни дорівнює \(\gamma H K_a = 18 \times 3 \times 0.3333 = 18\) кПа.

Як користуватися калькулятором

Введіть висоту ґрунту, що утримується (H) — вертикальну висоту шару ґрунту за стіною — і виберіть одиницю (м або фут).
Введіть питому вагу ґрунту (γ) засипки та виберіть кН/м³ або lb/ft³. Типові піски мають питому вагу 15–20 кН/м³, глини — 16–21 кН/м³.
Введіть кут внутрішнього тертя (φ) у градусах. Пухкий пісок — приблизно 28–32°, щільний пісок — 35–42°, гравій — 35–45°.
Зчитайте коефіцієнт активного тиску ґрунту (Ka) та рівнодійну бокову силу на одиницю довжини стіни (Pa), а також точку її прикладення і тиск біля підошви.

Що таке активний тиск ґрунту?

Активний тиск ґрунту — це боковий вплив, який ґрунтовий масив чинить на підпорну конструкцію, коли та трохи зміщується або відхиляється від ґрунту, даючи йому змогу розширитися й вичерпати свій опір зсуву. Такого зміщення назовні — зазвичай лише кількох міліметрів або кількох сотих висоти стіни — достатньо, щоб клин ґрунту за стіною досяг граничного «активного» стану руйнування. Слово «активний» означає, що ґрунт активно тисне на стіну; це найменший із трьох класичних станів бокового тиску: активного, стану спокою та пасивного.

Теорія Ранкіна виводить коефіцієнт активного тиску суто з кута тертя ґрунту, виходячи з того, що лицьова грань стіни вертикальна й гладка, а поверхня засипки горизонтальна. За таких умов ґрунт руйнується по площині, нахиленій під кутом \(45^\circ + \varphi/2\) до горизонту, а відношення горизонтальних напружень до вертикальних на будь-якій глибині дорівнює \(K_a\). Чим менший кут тертя, тим більший \(K_a\): при \(\varphi = 30^\circ\) він становить \(K_a \approx 0.33\), а при \(\varphi = 40^\circ\) зменшується приблизно до 0,22 — саме тому за стінами так наполегливо рекомендують добре сортований, вільно дренований сипкий ґрунт.

Результат \(P_a\) — це сила на метр довжини стіни (кН/м), яку отримують інтегруванням трикутної епюри тиску за висотою. Вона діє горизонтально на висоті однієї третини висоти стіни над підошвою — у центрі ваги трикутника. У перевірках стійкості саме ця сила спричиняє зсув і перекидання, тому вона є ключовим вихідним даним для підбору розмірів стіни, тиску під підошвою фундаменту та армування. Для конструктивного розрахунку стовбура стіни як згинаного елемента трикутну епюру тиску можна розглядати як лінійно змінне навантаження на консоль; загальні співвідношення для згину див. у калькуляторі балки з рівномірно розподіленим навантаженням.

Припущення, обмеження та практичні поради

Лише сипка засипка. Коефіцієнт \(K_a\) за Ранкіном передбачає ґрунт без зчеплення (\(c = 0\)). Для зв’язних ґрунтів видиме зчеплення тимчасово зменшує активний тиск, але з часом може не діяти — для глин застосовуйте аналіз у повних напруженнях або складніші методи.
Вертикальна гладка стіна та горизонтальна поверхня засипки. Тертя об стіну, нахил лицьової грані або похила поверхня ґрунту змінюють \(K_a\); у таких випадках слід користуватися теорією Кулона або коефіцієнтом Ранкіна для засипки з похилим відкосом.
Без води та додаткового навантаження. Гідростатичний тиск за стіною (наприклад, через замулений дренаж) додає \(\tfrac{1}{2}\gamma_w H^2\) і нерідко саме він визначає проєктне рішення — завжди передбачайте дренаж. Рівномірно розподілене навантаження \(q\) додає до тиску на кожній глибині ще \(K_a\, q\).
Стіна має мати змогу трохи зміститися. Активний тиск виникає лише тоді, коли стіна може дещо відхилитися назовні. Жорсткі, розкріплені стіни або стіни підвалів, які не зміщуються, слід розраховувати на більший тиск у стані спокою.
Перевіряйте підошву. Тиск біля підошви \(\gamma H K_a\) і точка прикладення сили \(H/3\) — це дані, потрібні для перевірки на перекидання та зсув; далі розміри фундаменту визначають тиск ґрунту під підошвою.
Сейсмічний вплив. За сейсмічних навантажень боковий тиск зростає; метод Мононобе–Окабе поширює цей коефіцієнтний підхід на псевдостатичні умови.

Коли геометрію стіни визначено, переходять до конструювання армування: підберіть потрібну площу арматури за згинальним моментом і перевірте розміщення стержнів за допомогою калькулятора кроку та кількості арматурних стержнів і калькулятора ваги арматури.

Часті запитання

Як обчислити активний тиск ґрунту вручну, без калькулятора?

Спочатку знайдіть коефіцієнт: \(K_a = \frac{1 - \sin\varphi}{1 + \sin\varphi}\) або, що те саме, \(\tan^2(45^\circ - \varphi/2)\). Далі обчисліть рівнодійну силу на метр стіни: \(P_a = \tfrac{1}{2}\gamma H^2 K_a\). Наприклад, при \(\varphi = 35^\circ\), \(\gamma = 18\) кН/м³ і \(H = 4\) м: \(K_a \approx 0.271\) і \(P_a \approx 39\) кН/м, прикладена на висоті \(H/3 \approx 1.33\) м над підошвою. Достатньо найпростішого кишенькового калькулятора з функцією синуса.

Яке значення Ka вважається нормальним чи хорошим?

Для типових сипких засипок \(K_a\) лежить приблизно між 0,20 і 0,40. Пухкий пісок при \(\varphi = 30^\circ\) дає 0,33; щільний пісок при \(\varphi = 40^\circ\) — 0,22; гравій при \(\varphi = 45^\circ\) — 0,17. Чим менший Ka, тим менший боковий тиск на стіну — саме тому щільний, вільно дренований сипкий матеріал є найкращою засипкою. Якщо ваш результат перевищує 0,5, імовірно, кут тертя взято надто малим або ґрунт не пасує до теорії Ранкіна.

Чи можна користуватися калькулятором з одиницями США (psf, pcf, lb/ft³)?

Так. Калькулятор виконує перерахунок сам, але можна працювати й суто в імперських одиницях: введіть \(H\) у футах, \(\gamma\) у lb/ft³ (pcf) — і результат \(P_a\) вийде у lb/ft на фут довжини стіни, а тиск біля підошви — у lb/ft² (psf). Наприклад, \(\gamma = 115\) pcf, \(H = 10\) футів, \(\varphi = 32^\circ\) дають \(K_a \approx 0.307\) і \(P_a \approx 1766\) lb/ft. Просто дотримуйтеся однієї системи одиниць — ніколи не змішуйте pcf з метрами.

Чим відрізняються активний тиск, тиск у стані спокою та пасивний тиск?

Вони різняться тим, наскільки зміщується стіна. Активний тиск (цей калькулятор) — мінімальний випадок: стіна трохи відходить від ґрунту, і ґрунт «розслабляється». Тиск у стані спокою (\(K_0 \approx 1 - \sin\varphi\)) стосується жорстких стін, що не зміщуються, наприклад стін підвалів, розкріплених перекриттями, і зазвичай на 30–50 % більший за активний. Пасивний тиск — це опір ґрунту, коли його підпирають, наприклад перед заглибленим виступом підошви; \(K_p = 1/K_a\), і він значно більший.

Чи враховує калькулятор похилу засипку, тертя об стіну або зчеплення?

Ні — використано класичний випадок Ранкіна: вертикальна гладка стіна, горизонтальна незв’язна засипка, без води. Для похилої засипки під кутом \(\beta\) застосуйте коефіцієнт Ранкіна для похилого відкосу або теорію Кулона. Для тертя об стіну або похилої лицьової грані скористайтеся формулою Кулона. Для зв’язних ґрунтів (глини, \(c > 0\)) видиме зчеплення зменшує короткостроковий тиск, але з часом може зникнути, тож для надійного проектування потрібен довгостроковий аналіз в ефективних напруженнях.

Що станеться, якщо за стіною накопичиться вода?

Тиск води може подвоїти чи потроїти боковий тиск і нерідко саме він стає причиною руйнування. Повний стовп води висотою \(H\) додає гідростатичну силу \(\tfrac{1}{2}\gamma_w H^2 \approx 5H^2\) кН/м (за \(\gamma_w = 9.81\) кН/м³), яка діє поверх зменшеного тиску ґрунту (нижче рівня води беріть питому вагу у зваженому стані \(\gamma' = \gamma - \gamma_w\)). Саме тому нормативи вимагають дренажного гравію, дренажних отворів або геокомпозитних дренажів за підпорними стінами — проєктуйте завжди й дренаж, а не лише стіну.

Де прикладена рівнодійна сила Pa і чому саме на висоті H/3?

Епюра активного тиску — трикутник: нуль на поверхні й максимум (\(\gamma H K_a\)) біля підошви. Рівнодійна трикутного навантаження проходить через центр ваги, який лежить на одній третині висоти над підошвою (\(H/3\)). Ця точка прикладення важлива для перевірки на перекидання: момент перекидання відносно носика підошви становить \(P_a \times H/3\). Типова помилка — припустити, що сила прикладена посередині висоти \(H/2\), що занижує момент.